Distribuição Normal
Tatiene Correia de Souza / UFPB
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September 28, 2014
Souza ()
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Função densidade
Dizemos que a variável aleatória X segue distribuição normal com
parâmetros µ e σ 2 , se sua função densidade é dada por:
f (x) = √
1
2πσ 2
−
exp
(x−µ)2
2σ 2
, −∞ < x < ∞
Notação
Usaremos a notação X ∼ N (µ, σ 2 ) para indicar que X segue
distribuição normal com parâmetros µ e σ 2 .
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Algumas propriedades da densidade da normal
1
f (x) é simétrica;
2
f (x) → 0, quando x → ±∞;
3
O valor máximo de f (x) é obtido para x = µ.
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Sobre os parâmetros
Os parâmetros µ e σ 2 representam a média e a variância,
respectivamente, a variável aleatória X que segue distribuição normal.
Assim quando indicamos que X ∼ N (µ, σ 2 ), segue imediatamente
que E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2
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Cálculo das probabilidades
Considere:
Z
b
√
1
−
exp
(x−µ)2
2σ 2
dx
2πσ 2
Entretanto a integral acima só pode ser resolvida de modo aproximado
e por métodos numéricos. Por essa razão as probabilidades para o
modelo Normal são calculadas com o auxı́lio de tabelas. Utiliza-se
uma transformação que conduz sempre ao cálculo de probabilidades
com uma variável de parâmetros (0, 1), i.e., média 0 e variância 1.
P(a 6 X 6 b) =
a
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Transformação
Considere X ∼ N (µ, σ 2 ) e defina uma nova variável Z = X −µ
σ . Pelas
propriedades do valor esperado e da variância, segue que:
X −µ
1
E(Z ) = E
= [E(X ) − µ] = 0
σ
σ
X −µ
1
Var(Z ) = Var
= 2 [Var(X )] = 1
σ
σ
Essa transformação não afeta em nada a normalidade e, assim, a
variável aleatória Z terá distribuição N (0, 1) e será denominada
normal padrão ou normal reduzida.
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Determinado as probabilidades...
Para determinar a probabilidade de X ∈ [a, b], faremos:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a − µ ≤ X − µ ≤ b − µ) =
P
a−µ
X −µ
b−µ
≤
≤
σ
σ
σ
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=P
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a−µ
b−µ
≤Z ≤
σ
σ
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Valores tabelados da distribuição normal padrão
Para tabelas que disponibilizam valores para P(0 ≤ Z ≤ z), z ≥ 0,
devido a simetria, podemos calcular valores de probabilidades em
outros intervalos. Note que a simetria também implica que a
probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.
Exemplo 1
Considere X ∼ N (2, 9). Obtenha:
P(2 < X < 5)
P(0 ≤ X < 2)
P(X > 3)
Exemplo 2: Utilizando a tabela no sentido inverso
P(0 < Z < c) = 0, 4)
P(Z > d) = 0, 8
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Exemplo 3
Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento
intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma variável aleatória
que segue distribuição normal com média 15 e desvio-padrão 2 (em
dias).
Qual a proporção desses pacientes demora mais do que 17 dias
para se recuperar?
Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?
Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25%
dos pacientes?
Considere agora que 100 pacientes são escolhidos ao acaso,
qual seria o número esperado de doentes curados em menos e
11 dias?
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Exemplo 4
Encontre os percentis a seguir para distribuição normal.
91◦
95◦
90◦
50◦
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Exemplo 5
Dada distribuição normal padrão, determine a área abaixo da curva
que fica:
à esquerda de z = 1, 43.
à direita de z = −0, 89.
entre z = −2, 16 e z = −0, 65.
entre z = −0, 48 e z = 1, 74.
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Exemplo 6
Seja X ∼ N (18; 2, 52 ). Determine:
P(X < 15).
o valor de k de modo que P(X < k ) = 0, 2236.
o valor de k de modo que P(X > k ) = 0, 1814.
P(17 < X < 21).
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Exemplo 7
Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica
mensal, em perı́odos de seca numa certa região, segue distribuição
normal com média 30 mm e variância 16 mm2 . Qual seria o valor da
precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de
probabilidade de haver precipitação inferior a esse valor? Admitindo
esse modelo correto para os próximos 50 meses, em quantos deles
esperarı́amos uma precipitação pluviométrica superior a 34mm?
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