UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
Probabilidades e Estatı́stica
2012/2013
GESTÃO E ECONOMIA
FICHA DE TRABALHO 3: Variáveis Aleatórias Contı́nuas.
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1. Considere a v.a. X, contı́nua, com função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:

 1
x, se 0 < x ≤ 2,
f (x) =
2
 0, se x ≤ 0 ∨ x > 2.
a) Deduza a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
b) Calcule P (X ≤ 1), P 41 < X ≤ 21 e P X > 32 .
c) Calcule P X < 1 | 21 < X < 2 .
d) Determine E(X), E (X 2 ), Var(X) (por dois processos distintos) e ηX .
2. O tempo de vida, em anos, de um componente electrónico tem função densidade de probabilidade:

2


x, se 0 ≤ x ≤ 1;

 3
x
f (x) =
1 − , se 1 ≤ x ≤ 3;


3


0,
se x < 0 ∨ x > 3.
a) Qual a probabilidade de um componente durar entre 6 e 18 meses?
b) A empresa que produz os componentes electrónicos comprometeu-se a substituir todos
aqueles que tenham um tempo de vida inferior a 1 ano. Preveja qual a percentagem de
componentes que a empresa terá que substituir.
(Teste 1 2009/2010)
3. Considere a função:
f (x) =
ke−3x (1 − e−3x ), se x ≥ 0,
0,
se x < 0.
a) Mostre que f é uma função de densidade de probabilidade se, e somente se, k = 6.
b) Calcule P (X < 1).
(Exame Época Especial 2007/2008)
4. Considere a v.a. X cuja f.d.p. é definida por:

k

x − , se 1 < x ≤ 2,
f (x) =
2
 0,
se x ≤ 1 ∨ x > 2,
onde k é um parâmetro real.
Determine k e calcule P (X < 3/2 |X ≥ 5/4).
1
5. O resultado lı́quido, em milhares de euros,
aleatória com a seguinte função densidade de

 1
(x + 2),
f (x) =
12

0,
de uma operação comercial é uma variável
probabilidade:
se − 1 < x < 3,
se x ≤ −1 ∨ x ≥ 3.
a) Calcule a probabilidade de a operação comercial ter um resultado lı́quido não inferior a
2000 euros.
b) Espera-se lucro na operação comercial? Justifique.
6. A percentagem de álcool (100% X) num certo composto é uma variável aleatória, onde X
tem a função densidade de probabilidade:
20x3 (1 − x) , se 0 < x < 1,
f (x) =
0,
se x ≤ 0 ∨ x ≥ 1.
Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo em álcool: se 21 < x < 1,
o preço é c1 euros por litro; caso contrário é c2 euros por litro. Sabendo que o custo da
produção é c3 euros por litro, determine a distribuição de probabilidade do lucro lı́quido por
litro e a respectiva média.
7. O salário anual dos trabalhadores do sector A, em milhares de euros, é uma variável aleatória
com função de densidade

 3
20x − x2 , se 0 < x ≤ 20,
f (x) =
4000

0,
se x ≤ 0 ∨ x > 20.
a) Calcule a percentagem de trabalhadores do sector A que têm um salário anual superior
a 10000 euros.
b) Foi seleccionado ao acaso um trabalhador do sector A e observou-se que o seu salário
anual é inferior a 10000 euros. Qual é a probabilidade desse trabalhador ter um salário
não inferior a 5000 euros?
(2o Mini-teste 2004/2005)
8. Admita que, para as acções de uma determinada empresa cotada na bolsa de Nova York,
o lucro anual por acção, depois de impostos, aqui denotado por x (US $), tem a seguinte
função densidade de probabilidade:

 4
9x − 6x2 + x3 , se 0 ≤ x ≤ 3,
f (x) =
27

0,
se x < 0 ∨ x > 3.
a) Represente graficamente esta função.
b) Calcule as seguintes probabilidades:
P (X ≤ 1.5), P (X ≥ 2) e P (1 < X ≤ 2.5).
c) Calcule a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
9. O verdadeiro peso de sacos de um quilo de café de certa marca é aleatório e (segundo uma
organização de defesa do consumidor) apresenta uma densidade de probabilidade uniformemente distribuı́da entre 0.8 Kg e 10.5 Kg:
k, se 0.8 < x < 1.05,
f (x) =
0, se x ≤ 0.8 ∨ x ≥ 1.05.
2
a)
b)
c)
d)
Calcule k.
Determine F (x).
Qual a probabilidade de um saco de café da referida marca pesar menos de 1 Kg?
Da produção total dessa marca, qual a percentagem de sacos com peso superior ao
indicado no rótulo?
10. Uma estação de gasolina enche os depósitos uma vez por semana. A quantidade de combustı́vel procurada por semana, expressa em milhões de litros, é uma v.a. X com distribuição
especificada pela seguinte f.d.p.:
k(1 − x)4 , se 0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0,
se x < 0 ∨ x > 1.
Qual deve ser a capacidade dos depósitos de forma a que a probabilidade de se esvaziarem
em certa semana seja 0.05?
11. O director de compras de certa empresa pretende definir uma polı́tica de aquisição de matéria
prima para o próximo ano. As necessidades de matéria prima por dia (em milhares de toneladas) traduzem uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade definida
por:
(
x
1 − , se 0 < x < 2,
2
f (x) =
0,
se x ≤ 0 ∨ x ≥ 2.
a) Pretendendo-se uma probabilidade de ruptura da matéria prima igual a 0.01, qual o nı́vel
de aquisição diária necessária?
b) Suponha que o director decide manter o nı́vel de stock que lhe assegura a probabilidade
de ruptura de 0.01. A Administração propôs-lhe um prémio de 10 u.m. por cada dia sem
ruptura, cobrando-lhe, no entanto, uma multa de 500 u.m. sempre que ela se verifique.
Acha aceitável a proposta? Justifique.
12. Uma certa liga metálica contém uma percentagem de chumbo X, que pode ser considerada
uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por

 3 −5
10 x(100 − x), se 0 ≤ x ≤ 100,
f (x) =
5

0,
o.v. de x.
Suponha que L, lucro lı́quido obtido na venda desta liga (por unidade de peso), depende da
percentagem de chumbo através da relação:
L = 30 + 50X.
Calcule o valor esperado do lucro lı́quido por unidade de peso.
13. Uma entidade bancária sabe que os valores, em milhares de euros, das operações diárias nas
suas caixas automáticas é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é
definida por:
 3
 x +x
, se 0 ≤ x ≤ 6;
f (x) =
342

0,
se x < 0 ∨ x > 6.
a) Calcule a média dos valores das operações diárias nas caixas automáticas da entidade
bancária.
3
b) Qual o valor máximo que uma caixa automática deve ter disponı́vel para que satisfaça
95% das operações diárias.
(Teste 1 2008/2009)
14. A quantidade de pão, em centenas de quilos, vendido diariamente, é uma variável aleatória
cuja função de densidade é definida por:

x

se 0 ≤ x ≤ 3


9
1
f (x) =
(6 − x) se 3 < x ≤ 6


 9
0
o.v. de x
Considere os seguintes acontecimentos:
A=“a quantidade de pão vendido num dia é superior a 300 Kg”
B=“a quantidade de pão vendido num dia está entre 150 e 450 Kg”
Estes dois acontecimentos são independentes? Justifique.
(Exame 2a Chamada 2008/2009)
15. Numa determinada localidade, a distribuição do rendimento mensal (em milhares de euros)
é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade definida por:

1
1

x + , se 0 ≤ x ≤ 2,


 10
10
3
9
f (x) =
− x + , se 2 < x ≤ 6,


20

 40
0,
se x < 0 ∨ x > 6.
a) Calcule a probabilidade de, em 10 habitantes escolhidos ao acaso na população, exista
no máximo 1 com rendimento mensal inferior a 1000 euros.
b) Numa lista de 120 habitantes com rendimento mensal inferior a 1000 euros foram seleccionados 20 ao acaso e foi-lhes enviada uma carta. Qual a probabilidade de que 15, que
tenham recebido a carta, tenham um rendimento superior a 500 euros?
(Teste 1 2006/2007)
16. A vida útil, em anos, de um computador pessoal fabricado pela empresa PC-M é uma variável
aleatória com função de densidade dada por:
(
2
2
− x se 0 < x < 5,
f (x) =
5 25
0
se x ≤ 0 ∨ x ≥ 5.
Dita marca oferece uma garantia de dois anos, de modo que se o computador falhar nesse
perı́odo será substituı́do por um novo.
a) Calcule a probabilidade de que seja necessário substituir um computador no perı́odo de
garantia.
b) Qual deveria ser o perı́odo de garantia, se a empresa deseja substituir somente 5% dos
computadores?
c) Se um cliente da empresa recebeu 50 computadores, determine a probabilidade, aproximada, de que menos de 25 se avariem no perı́odo de garantia.
(Exame Ép. de Recurso 2004/2005)
4
17. O tempo de espera (em minutos) numa certa central entre duas chamadas telefónicas é
aleatório, sendo caracterizado pela seguinte f.d.p.
(k − 2)e−x , se x ≥ 0,
f (x) =
0,
se x < 0.
a) Calcule k.
b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas seja inferior a 3
minutos?
18. Suponha que o tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo segue uma lei
exponencial com λ = 0.03.
a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100 horas
de funcionamento.
b) Sabendo que o dispositivo não falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidade de
não falhar nas 200 horas seguintes?
19. A duração de vida de um satélite é uma v.a. com distribuição exponencial de média 1.5
anos.
a) Qual a probabilidade de o satélite estar em órbita após 2 anos?
b) Se três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual a probabilidade de que pelo
menos dois ainda estejam em órbita após 2 anos?
20. O tempo que certo tipo de bolo, fabricado numa pastelaria, permanece em condições para
ser comercializado tem distribuição exponencial de média igual a 3 dias. Qual é a probabilidade de um desses bolos, acabado de ser confeccionado, permanecer em condições para ser
comercializado após 4 dias?
21. Suponha que a duração de vida de um dispositivo electrónico (em milhares de horas) é uma
variável aleatória com distribuição exponencial de média igual a 2 milhares de horas. O custo
de um desses dispositivos é de 100 euros; o fabricante vende-o por 250 euros, garantindo, no
entanto, o reembolso total sempre que o dispositivo dure menos de 1.8 milhares de horas.
Qual o lucro esperado do fabricante por dispositivo?
22. Uma empresa vende um determinado tipo de peças cuja duração em centenas de horas é
uma variável aleatória contı́nua com a seguinte função distribuição:
1 − e−λx , se x > 0,
F (x) =
0,
se x ≤ 0.
A empresa dispõe de um stock de duas qualidades A e B do mesmo tipo de peças; à qualidade
A corresponde um parâmetro λ = 0.5 e à qualidade B corresponde um parâmetro λ = 1. De
um lote formado por 100 peças do tipo A e 50 peças do tipo B, retirou-se, ao acaso, uma
peça cuja duração foi testada. Relativamente ao teste apenas se conhece que a duração da
peça foi inferior a 90 horas. Calcule a probabilidade de que a peça escolhida seja do tipo B.
23. O tempo de duração T, em minutos, de uma chamada telefónica é uma variável aleatória
com distribuição exponencial de média 2 minutos. O custo, em euros, de cada chamada,
C(T), é função da duração e é dado por
0, 2
se 0 < T ≤ 3,
C(T ) =
0, 2 + 0, 6(T − 3) se T > 3.
5
a) Calcule a probabilidade de a duração de uma chamada telefónica durar mais de 3.5
minutos.
b) Qual a probabilidade de o custo de uma chamada ser superior a 0,5e?
(Exame 1a Chamada 2006/2007)
24. O número de chamadas telefónicas que chegam a um “call-center” é uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de média 2 em 3 minutos.
a) Calcule a probabilidade de que cheguem no mı́nimo 3 chamadas em 9 minutos.
b) Qual a média e o desvio padrão do número de chamadas que chegam ao “call-center” em
um minuto?
c) Se o tempo entre duas chamadas consecutivas pode ser modelado por uma distribuição
exponencial de média 1.5 minutos, determine a probabilidade de que, em 10 tempos entre
chamadas consecutivas, haja um com mais de 2 minutos.
(Teste 2 2007/2008)
25. a) Seja X uma v.a. com distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. Calcule:
ii) P (X ≥ 0)
i) P (X = 1)
iii) P (0 ≤ X < 1.35)
iv) P (0.56 < X < 2.33)
v) P (X ≥ 3.47)
vii) P (X < −2.45)
vi) P (−4.15 < X ≤ −1.3)
viii) P (−2.1 ≤ X < 1.05 ∨ X ≥ −1.68)
ix) P (−1.55 < X ≤ 2.13)
x) P (−3.27 < X < −2.89, −2.97 < X < −1.65)
b) Seja X uma v.a. com distribuição normal de média 12 e variância 6.25. Calcule:
i) P (X ≥ 15.5)
iii) P (9.5 < X ≤ 17.134)
v) P (10.1 < X ≤ 16.78 ∨ X ≥ 17)
ii) P (8.5 < X ≤ 11.56)
iv) P (X ≥ 6.35)
vi) P (8.88 ≤ X ≤ 9.39, 7.16 < X ≤ 12.31)
vii) P (X ≥ 10.35 |8.65 < X ≤ 13.1) viii) P (X < 7.45 ∨ X > 12.68 |7 ≤ X ≤ 14.95)
26. Um fabricante produz parafusos com diâmetros especificados entre 1.19 e 1.21 polegadas.
Se o processo de produção resulta em parafusos com diâmetro seguindo uma distribuição
normal com média 1.2 polegadas e desvio padrão 0.005 polegadas, estime a percentagem de
parafusos produzidos que não cumprem o que está especificado.
(Teste 2 2007/2008)
27. Em determinada empresa, a utilização semanal da matéria-prima F é uma v.a. com distribuição normal de média 600 kg e desvio padrão 40 kg. No inı́cio de determinada semana, a
empresa tem em stock 634 kg de matéria-prima, não sendo viável, no decurso dessa semana,
realizar mais aprovisionamento.
a) Determine a probabilidade de ruptura do stock de matéria-prima.
b) Qual deveria ser o stock, de modo a que a probabilidade de ruptura fosse não superior a
0.01?
28. Num guiché de informação de uma repartição de finanças o tempo que dedicam a cada pessoa
segue uma distribuição normal de média igual a 3 minutos e variância igual a 0.25 minutos2 .
6
a) Das pessoas que pedem informações no guiché, 69.5% permanecem mais de x minutos.
Calcule o valor de x.
b) Se durante um certo dia atenderem 12 pessoas no guiché, qual é a probabilidade de
dedicarem mais de 3 minutos e meio a 3 delas?
c) Sabe-se que o número de pessoas que pedem informações no guiché por hora é uma
variável aleatória com distribuição de Poisson de média igual a duas pessoas. Sabendo
que a repartição de finanças permanece aberta durante sete horas diárias, calcule a probabilidade de, num dado dia, serem atendidas 14 pessoas no guiché de informações.
(3o Mini-teste 2004/2005)
29. O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma variável aleatória normalmente distribuı́da com média µ mm e variância σ 2 mm2 . Uma peça é defeituosa se o seu
comprimento diferir do valor médio mais do que σ. Sabe-se que 51.2% das peças produzidas
têm comprimento inferior a 0.25 mm e 46.35% das peças produzidas têm comprimento entre
0.126 mm e 0.25 mm.
a) Calcule µ e σ.
b) Calcule a probabilidade de em 10 peças, escolhidas ao acaso de entre as produzidas, haver
pelo menos 9 peças não defeituosas.
30. O tempo, em minutos, que um operário demora a executar certa tarefa é uma v.a. com
distribuição aproximadamente normal. Sabe-se que a probabilidade de um operário demorar
mais de 13 minutos é de 0.0668 e a de demorar menos de 8 minutos é de 0.1587. Determine:
a) o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrão;
b) a probabilidade de o operário demorar entre 9 e 12 minutos a executá-la.
31. Suponha que a carga de ruptura, X, em Kg, de um cabo tenha distribuição N (100, 16).
Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de 5e, desde que a carga seja superior a 95
Kg. Caso contrário, o cabo é utilizado para fins diferentes, obtendo-se um lucro unitário de
2e.
Determine o lucro esperado por rolo.
32. Um fabricante de envelopes sabe, por experiência, que o peso dos envelopes que fabrica é
normalmente distribuı́do com média 1.95 gramas e desvio padrão 0.05 gramas.
a) Qual é a probabilidade de num pacote com 20 envelopes haver 1 com peso superior a 2
gramas?
b) Calcule, aproximadamente, a probabilidade de em 2500 pacotes, de 20 envelopes cada,
haver entre 300 e 400 pacotes com 1 envelope de peso superior a 2 gramas.
33. Na zona industrial A trabalham 10000 operários. O seu salário segue uma distribuição
normal. Admite-se que metade deles ganhe menos de 200 u.m. e que 400 ultrapassem 217.5
u.m..
a) Qual a percentagem de operários que ganham mais de 230 u.m.?
b) Qual a probabilidade de em 100 operários seleccionados ao acaso, encontrar mais de 60
ganhando mais de 202.5 u.m.?
34. O gasto semanal total em manutenção e reparação em determinada companhia verificou-se
ter distribuição normal com média 2000 euros e desvio padrão 100 euros.
a) Se o orçamento da próxima semana, para esse tipo de gastos, for de 2050 euros, qual a
probabilidade de que o verdadeiro gasto exceda o orçamento?
7
b) Calcule a probabilidade, aproximada, de que num ano (52 semanas) existam mais de 10 e
no máximo 20 semanas em que o gasto em manutenção e reparação exceda o orçamento
de 2050 euros.
c) Suponha que o número de reparações na companhia pode ser modelado por uma distribuição de Poisson de média igual a 2 reparações por hora. Calcule a probabilidade de
ser necessário proceder a 17 reparações em oito horas.
35. Amostras de 20 partes de uma peça metálica são seleccionadas a cada hora. Tipicamente,
1% dessas partes necessita ser refeita. Seja X a variável aleatória que representa o número
de partes, em 20, que necessitam ser refeitas.
a) Um problema no processo de fabrico é quando se suspeita que X excede a sua média em
mais do triplo do seu desvio padrão. Calcule a probabilidade deste problema ocorrer.
b) Determine a probabilidade, aproximada, de ocorrer no máximo 18 vezes o problema
referido na alı́nea anterior em 1000 amostras.
(Exame Ép. Especial 2006/2007)
36. O número de chamadas que chegam num perı́odo de 5 minutos à central telefónica de uma
empresa é uma v.a. com distribuição de Poisson de parâmetro λ = 10. Calcule a probabilidade de em meia hora chegarem:
a) 65 chamadas;
b) pelo menos 70 chamadas.
37. No contexto do problema 36, calcule a probabilidade de num dia (8 horas) chegarem:
a) menos de 900 chamadas;
b) entre 900 e 1000(inclusivé) chamadas.
38. Num processo de fabricação de placas de vidro produzem-se pequenas bolhas que se distribuem aleatoriamente segundo uma lei de Poisson com uma média de 0.4 bolhas/m2 .
a) Calcule a probabilidade de, numa placa com 1.5 × 3.0 m2 , haver pelo menos uma bolha.
b) Calcule a probabilidade de, num conjunto de 100 placas de 1.5×3.0 m2 , haver pelo menos
25 sem bolhas.
39. O número de defeitos num cabo eléctrico fabricado por uma máquina tem distribuição de
Poisson de média igual a 2 por 50 metros de cabo.
a) Calcule a probabilidade de 50 metros de cabo eléctrico ter pelo menos 3 defeitos.
b) Sabendo que o fabricante destes cabos eléctricos obtém, por 50 metros de cabo, um lucro
de 100e, se o cabo não tem defeitos, 75e, se o cabo tem 1 ou 2 defeitos, e 50e, se o cabo
tem mais de 2 defeitos, qual é o lucro esperado por 50 metros de cabo?
c) Determine a probabilidade, aproximada, de haver entre 20 e 42 defeitos em 1000 metros
de cabo eléctrico.
40. Uma empresa do ramo alimentar disponibilizou aos seus clientes um número de telefone pelo
qual paga 5 cêntimos à empresa de telecomunicações por cada chamada recebida. Sabe-se
que o número de chamadas recebidas tem uma distribuição de Poisson cuja média é igual a
4.5 chamadas num perı́odo de 15 minutos.
a) Calcule a probabilidade de, numa hora, o número de chamadas recebidas ser no mı́nimo
16 e menos de 18.
8
b) Determine a probabilidade, aproximada, de que entre as 9 horas e as 20 horas seja pago
à empresa de telecomunicações pelo menos 10 euros.
c) Se em qualquer dia útil o telefone está disponı́vel entre as 9 horas e as 20 horas, qual é
o valor que a empresa espera pagar num mês (22 dias úteis) pelo dito telefone?
41. A variação relativa diária da cotação de fecho de um determinado fundo transaccionado
numa bolsa de valores pode ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal
com média 0.2% e desvio padrão 1.6%.
a) Calcule a probabilidade de haver pelo menos 3 dias numa semana (5 dias úteis) em que
a variação diária do preço de fecho ultrapasse 1%.
b) Determine a probabilidade de haver menos de 40 semanas num ano (52 semanas) em que,
em cada semana, haja menos de três dias com uma variação (diária) do preço de fecho
superior a 1%.
42. Na empresa M, o montante diário de vendas de dois dos seus vendedores a domicı́lio é
aleatório e segue distribuição aproximadamente normal de média 500e e desvio padrão 50e,
para o vendedor A e de média 150e e desvio padrão 15e, para o vendedor B.
a) Calcule a probabilidade de:
i) num ano (245 dias úteis), o vendedor A realizar vendas em montante superior a
50.000e;
ii) num dia, A e B realizarem, em conjunto, vendas inferiores a 225e;
iii) num dia, o vendedor B vender mais do que A.
b) Resolva a alı́nea a)i) para o caso em que a distribuição da variável em estudo seja
desconhecida.
43. As distribuições das despesas mensais (em u.m.) em habitação, alimentação, transporte,
educação e diversos, dos agregados familiares, em certo bairro, são satisfatoriamente representadas por leis normais, cujos parâmetros são indicados a seguir:
Habitação
Média
20
Variância
5
Alimentação
50
10
Transporte
7
3
Educação
5
1
Diversos
6
1
Suponha que os gastos são independentes. Calcule a probabilidade de que cada famı́lia desse
bairro gaste, mensalmente, mais de 100 u.m..
44. Um posto de transformação permite uma carga total de 2800 KW. Sabe-se que esse posto
de transformação alimenta uma fábrica com um consumo permanente de 2533 KW. Além
disso, alimenta 100 consumidores domésticos, gastando cada um, em média, 2 KW com
desvio padrão de 0.5 KW em electrodomésticos e, em média, 0.5 KW com desvio padrão
0.25 KW, em iluminação.
Qual a probabilidade de o transformador disparar por excesso de carga:
a) sabendo que os consumos seguem uma lei normal?
b) desconhecendo a lei de variação dos consumos?
45. Uma empresa desenvolve um conjunto restrito de actividades A1 , A2 e A3 . Admite-se que os
lucros semanais, em euros, associados às diferentes actividades Ai , i = 1, 2, 3, são variáveis
aleatórias independentes que seguem distribuições normais cujos parâmetros constam da
tabela seguinte:
9
µ
σ
A1
1500
150
A2
1625
125
A3
2625
225
a) Determine a probabilidade de o lucro global semanal da empresa ser pelo menos 5500e.
b) Calcule a probabilidade, aproximada, da actividade A3 ter um lucro semanal superior a
2750e em pelo menos metade das 52 semanas de um ano.
c) Qual a probabilidade de que, numa dada semana, o lucro da actividade A1 seja superior
ao lucro da actividade A2 ?
46. Uma fábrica produz artigos compostos por três peças cada. Suponha que os pesos de cada
uma dessas peças são variáveis aleatórias independentes com distribuições normais cujos
parâmetros constam da tabela seguinte:
Peça
1
Média (Kg)
2.05
Desvio padrão (Kg) 0.03
2
3
3.1 10.5
0.04 0.12
a) Mostre que a percentagem de artigos produzidos nesta fábrica com peso superior a 16
Kg é aproximadamente igual a 0.36%.
b) Qual a probabilidade de em 10 artigos, seleccionados ao acaso na produção total, encontrar no máximo um com peso superior a 16 Kg?
47. Uma fábrica produz três tipos de peças, 1, 2 e 3, cujos preços de venda são 2,40 euros, 1,25
euros e 2,56 euros, respectivamente. Os números de peças vendidas semanalmente de cada
um dos tipos podem ser considerados independentes e com distribuições (aproximadamente)
normais de valores médios 2000, 2400 e 2450 e variâncias 2304, 4096 e 3600, respectivamente.
a) Calcule a probabilidade de, em dada semana, serem vendidas entre 1950 e 2100 peças do
tipo 1.
b) Determine a probabilidade de que o valor total de vendas semanal exceda 14.500,00 euros.
(Exame 1a Chamada 2005/2006)
48. O tempo de baixa mensal por doença dos empregados de certa firma é normalmente distribuı́do com média 100 horas e desvio padrão 20 horas.
a) Calcule a probabilidade de, no próximo mês, o tempo que um empregado permanece de
baixa por doença está entre 50 e 80 horas.
b) Qual o tempo máximo que um empregado permanece de baixa por doença, em certo mês,
com probabilidade 0.975.
c) Determine a probabilidade de o tempo total que 5 empregados permanecem de baixa por
doença em certo mês ultrapasse as 600 horas.
(Teste 3 2007/2008)
10
Soluções da Ficha de Trabalho 2
1.

 0,2 se x ≤ 0;
x
, se 0 < x ≤ 2;
a) F (x) =
 4
1, se x > 2.
b) 1/4; 3/64; 7/16.
c) 1/5
d) E(X) = 4/3; E(X 2 ) = 2; V ar(X) = 2/9; ηX =
2.
a) 13/24
b) ≈ 33%
3.
a)
b) 1 − 2e−3 + e−6
4. k = 1 e P (X < 3/2|X ≥ 5/4) = 7/27.
5.
a) 3/8
b) Espera-se lucro, porque E(X) = 13/9 > 0.
6.
l
c1 − c3
P (L = l) 13/16
E(L) =
7.
13
(c
16 1
− c3 ) +
c2 − c3
3/16
3
(c
16 2
− c3 )
a) 1/2
b) 11/16
8.
a)
b) 11/16; 1/9; 83/144.

0,
se x ≤ 0;

1 4
8 3
2 2
x
−
x
+
x
,
se 0 < x < 3;
c) F (x) =
27
3
 27
1,
se x ≥ 3.
9.
a) k = 4


0,
se x ≤ 0.8;
4
(x
−
0.8)
,
se 0.8 < x < 1.05;
b) F (x) =

1,
se x ≥ 1.05.
11
√
2.
c) 4/5
d) 20%
10. 1 −
11.
√
5
0.05 ≈ 0.451 milhões de litros.
a) 9/5
b) Sim, porque E(L) = 4.9 > 0, com L v.a. rep. lucro do director.
12. E(L) = 2530.
13.
a) 452/95
p√
b)
1300.6 − 1 ≈ 5.921 milhares de euros.
14. São independentes, porque P (A ∩ B) =
15.
3
8
=
a) ≈ 0.5443
b)
70 C 50
C15
5
120
C20
16.
a) 16/25
√
b) 5 −
95
2
≈ 0.1266 anos.
c) ≈ 0.01355
17.
a) k = 3
b) 1 − e−3
18.
a) e−3
b) e−6
19.
a) e−4/3
b) 3e−8/3 − 2e−4 ≈ 0.1718
20. e−4/3
21. ≈ 1.6424
22. ≈ 0.4502
23.
a) e−1.75
b) e−1.75
24.
12
3
4
×
1
2
= P (A)P (B).
a) 1 − 25e−6
b) µ = 2/3 e σ =
p
2/3.
c) ≈ 0.1679
25.
a)
ii) 0.5
iii) 0.41149
iv) 0.27784
v) 0.00026
vii) 0.00714
viii) 0.98214
ix) 0.92284
x) 0.00044
i) 0.08076
ii) 0.34782
iii) 0.82116
iv) 0.98809
v) 0.77105
vi) 0.04352
vii) 0.71632
viii) 0.33348
i) 0
vi) 0.09680
b)
26. 4.55%
27.
a) 0.19766
b) Stock≥ 693.2 kg.
28.
a) x = 2.745
b) ≈ 0.1856
c) ≈ 0.1060
29.
a) µ ≈ 0.2478 e σ ≈ 0.074.
b) ≈ 0.1242
30.
a) µ = 10 e σ = 2.
b) 0.5328
31. E(L) = 3, 87e
32.
a) ≈ 0.1191.
b) ≈ 0.5620
33.
a) 0.00135.
b) ≈ 0
34.
13
a) 0.30854.
b) ≈ 0.86142
c) ≈ 0.0934
35.
a) ≈ 0.0169.
b) ≈ 0.65173
36.
a) ≈ 0.0403 ou ≈ 0.04211.
b) ≈ 0.10935
37.
a) ≈ 0.02559
b) ≈ 0.87931
38.
a) ≈ 0.8347
b) ≈ 0.01578
39.
a) ≈ 0.3233
b) ≈ 70, 30e
c) ≈ 0.59379
40.
a) ≈ 0.1820
b) ≈ 0.4562
c) 217, 80e
41.
a) ≈ 0.1746
b) ≈ 0.10565
42.
a)
i) ≈ 1
ii) ≈ 0
iii) ≈ 0
b) ≈ 1
43. 0.00368
44.
a) 0.00118
14
b) ≈ 0.00118
45.
a) 0.79955
b) ≈ 0.00062
c) 0.26109
46.
a)
b) ≈ 0.9994
47.
a) 0.83207
b) 0.01970
48.
a) 0.15245
b) 139.2 horas.
c) 0.01255
15