CU RSO:
DISCI P L INA :
DISCIPLINAS OTIMIZADAS
A SS.:
NOME:
DATA :
08
ESTA TÍ ST I CA I
Nº de or dem
GR AU :
PROV A:
2 CH
12 10
TU RM A
M ATR ÍCU LA :
1TEC10A
1a Questão(valor: 2,0 pontos): Escolhe-se ao acaso um comitê de três entre cinco médicos e duas
enfermeiras. Determinar a distribuição de probabilidade da v.a. X que representa o número de
médicos.
2a Questão(valor: 2,0 pontos): A probabilidade de que um vôo regular marcado parta na hora
é 0,83; a probabilidade de que chegue na hora é 0,82; e a probabilidade de que o vôo parta e
chegue na hora é 0,78. Determine a probabilidade de que:
(a) o avião chegue na hora, dado que partiu na hora;
(b) o avião partiu na hora, dado que chegou na hora.
3a Questão (valor: 2,0 pontos): Uma valise contém dois frascos de aspirinas e três de tabletes
para a tireóide. Uma segunda sacola contém três frascos de aspirinas, dois tabletes para tireóide
e um frasco de laxantes. Se um frasco for retirado aleatoriamente de cada uma das sacolas,
determine a probabilidade de que:
(a) ambos contenham tabletes para a tireóide;
(b) nenhum dos frascos contenha tabletes para a tireóide.
4a Questão (valor: 2,0 pontos): Em certa linha de montagem, três máquinas B1 , B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiências anteriores,
que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina são, respectivamente defeituosos.
Se um produto for selecionado aleatoriamente e descobrir-se que apresenta defeitos, qual é a
probabilidade de que o produto tenha sido fabricado pela máquina B2 ?
5a Questão[ICMS/RJ - 2008 (adaptada)] (valor: 2,0 pontos): Um candidato se submete a
uma prova contendo quatro questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas
para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Qual
a probabilidade de ser aprovado no concurso se o candidato não se preparou e decide responder
a cada questão ao acaso?
1
Formulário:
∑
x i Fi
x=
,
N
∑ )
(
)
− Fi
∆1
h,
x
b = lxb +
h,
x
e = lxe +
fi
∆ 1 + ∆2
√∑
∑
(∑
)2
|xi − x|Fi
x2i Fi
x i Fi
s
,
s=
−
DM =
,
CV = ,
N
N
N
x
(n
2
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
P (A/B) =
Pn,k =
Cn,k =
n!
(n − k)!
n!
k!(n − k)!
P (A ∩ B)
,
P (B)
P (A ∩ B) = P (A)P (B) se A e B são eventos independentes
P (Bi /A) =
(
n
k
)
P (Bi )P (A/Bi )
P (B1 )P (A/B1 ) + P (B2 )P (A/B2 ) + . . . + P (Bn )P (A/Bn )
n!
=
,
k!(n − k)!
(
P (X = k) =
P (X = k) =
e−α αk
k!
n
k
)
pk (1 − p)n−k ,
k = 0, 1, 2, . . . n
k = 0, 1, 2, . . . n, . . .
Gabarito:
1a Questão: Temos que os valores possı́veis da v.a. X são: 1,2 e 3. Sem considerar a ordem nós
temos que o total de possibilidades é C7,3 = 35 comitês. Assim sendo, temos para:
• X = 1 ⇒ (um médico e duas enfermeiras)⇒ M EE que corresponde a 5 × C2,2 = 5 comitês.
• X = 2 ⇒ (dois médicos e uma enfermeira)⇒ M M E que corresponde a C5,2 × 2 = 20 comitês.
• X = 3 ⇒ (3 médicos e nenhuma enfermeira)⇒ M M M que corresponde a C5,3 = 10 comitês.
∑
xi
1
2
3
Logo
P (X = xi ) 5/35 20/35 10/35 1
2a Questão: Sejam os eventos:
A: o avião parte na hora.
B: o avião chega na hora.
Temos dado pelo problema que: P (A) = 0, 83,
(a) P (B/A) =
P (A ∩ B)
0, 78
=
= 0,9398
P (A)
0, 83
(b) P (A/B) =
0, 78
P (A ∩ B)
=
= 0,9512
P (B)
0, 82
P (B) = 0, 82 e
2
P (A ∩ B) = 0, 78
3a Questão: Considere os eventos:
A: tablete de tireóide da valise 1
B: tablete de tireóide da valise 2.
(a) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) =
3 2
6
· =
5 5
25
(b) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) =
2 3
6
· =
5 5
25
4a Questão: Considere os seguintes eventos:
A: o produto apresenta defeito;
B1 : o produto foi produzido pela máquina B1 ⇒ P (B1 ) = 0, 3 e P (A/B1 ) = 0, 02
B2 : o produto foi produzido pela máquina B2 ⇒ P (B2 ) = 0, 45 e P (A/B2 ) = 0, 03
B3 : o produto foi produzido pela máquina B3 ⇒ P (B3 ) = 0, 25 e P (A/B3 ) = 0, 02
Pede-se P (B2 /A) =
P (A ∩ B2 )
. Como B1 , B2 , B3 formam uma partição temos que
P (A)
P (A) = P (B1 )P (A ∩ B1 ) + P (B2 )P (A ∩ B2 ) + P (B3 )P (A ∩ B3 )
= 0, 3 · 0, 02 + 0, 45 · 0, 03 + 0, 25 · 0, 02 = 0, 0245
0, 0135
= 0,5510
0, 0245
5a Questão: Seja a v.a. X: o número de questões certas. Temos que X tem uma distribuição de
probabilidade binomial onde n = 4 e p = 0, 2. Sua função de probabilidade é:
e portanto P (B2 /A) =
P (X = k) = C4,k (0, 2)k (0, 8)4−k , k = 0, 1, . . . , 4.
Sendo assim,
P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
P (X = 0) = C4,0 (0, 2)0 (0, 8)4 = 0, 4096
P (X = 1) = C4,1 (0, 2)1 (0, 8)3 = 0, 4096
P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 8192 ⇒ P (X ≥ 2) = 1 − 0, 8192 = 0,1808
3