Sistemas Lineares
1a Questão: Considere o seguinte sistema linear
¯


 kx1
+ 3x2 + x3 = 1
kx1 + 6x2 + x3 = 2

 x
+ 6x2 + 7x3 = 3
1
(a) Para quais valores de k temos a garantia de convergência do Método de Gauss-Seidel?
(b) Escolha o menor valor inteiro positivo de k e faça duas iterações com o Método de Gauss-Seidel.
Utilize x(0) = (0, 0, 0)T .
(c) Usando a norma || · ||∞ , qual o erro relativo cometido no ı́tem (b).
(d) Considerando o valor de k escolhido no ı́tem (b), o que podemos dizer sobre a velocidade de
convergência, segundo o critério de Sassenfeld?
2a Questão: Calcule a solução do sistema linear por um método direto de escalonamento estudado
¯
que forneça o menor erro possı́vel.
(
0.3333x1 + x2 = 1
0.6667x1 + 2x2 = 2
3a Questão: Dado o sistema linear
¯


 2x1 + x3 = 5
1.2x1 + 6x2 + 0.6x3 = 12

 x +x +x =6
1
2
3
Use um método iterativo adequado (justifique a escolha) e aproxime a solução deste sistema, adotando x0 = (0.5, 1.4, 3.9)T e o critério de parada kx(k+1) − x(k) k∞ < 0.12.
4a Questão: Dado o sistema linear
¯


 4x2 + 3x3 = 0
2x − 7x = 4
1
3

 x − x + αx = 0
1
2
3
(a) Utilizando o Método de Eliminação de Gauss com pivotamento parcial , determine o valor de
α para o qual a solução do sistema apresente x3 = 1.
(b) Para o valor de α obtido no item (a), obtenha os valores de x1 e x2 .
1
5a Questão: Usando o método de Eliminação de Gauss, calcule a inversa da matriz
¯


1 −2 2


 2 −3 2 
2 −2 1
6a Questão: Seja k um número inteiro, positivo, considere:
¯

kx1 + x2 = 2



k
kx1 + 2x2 + x3 = 3

5


kx1 + x2 + 2x3 = 2
a-) Verifique para que valores de k (inteiro e positivo), a convergência do Método de Gauss (GaussJacobi) pode ser garantida.
b-) Verifique para que valores de k (inteiro e positivo), a convergência do Método de Gauss-Seidel
pode ser garantida.
c-) Utilize um método iterativo adequado para calcular a aproximação da solução deste sistema de
equações considerando:
(i) xo = ( 1.0, 1.0,1.0)T
(ii) Escolha k como o menor inteiro que satisfaça as condições de convergência.
(iii) Faça duas iterações e calcule o erro absoluto cometido, usando a norma. ( kxk∞ = max1≤i≤n |xi |
).
7a Questão: Dada a matriz A abaixo, resolva os sistemas lineares Ax = b1 , Ax = b2 e Ax = b3 ,
¯
onde o vetor b1 = (1, 0, 0)T , b2 = (0, 2, 0)T e b3 = (0, 0, 3)T


1 −2 2


A =  2 −3 2 
2 −2 1
8 a Questão: Dado o sistema abaixo.
¯
(
1.12x1 + 6x2 = 1.3
2.2395x1 + 12x2 = 2.6
Ache a solução por um método direto usando 4 casas decimais e comente os resultados.
2