UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Disciplina: Geometria Euclidiana
Curso: Licenciatura em Matemática.
Décima Lista de Exercı́cios - 2014/1
Volumes e áreas.
Questão 1: São dados um cilindro circular reto de raio R e altura 2R, um cone circular reto duplo (veja
a figura) de altura 2R e raio R e a esfera de raio R. Sejam Vcilindro , Vcone e Vesf era respectivamente os
volumes do cilindro, do cone e da esfera. Mostre que Vcilindro = Vcone + Vesf era .
Questão 2: Uma piscina tem 10 m de comprimento, 6 m de largura e 1,6 m de profundidade.
a) Calcule o volume em litros.
b) Determine quantos latrilhos quadrados com 20 cm de lado são necessários para ladrilhar essa piscina.
Questão 3: Um cubo de aresta a é seccionado por oito planos. Cada plano contém os pontos médios das
três arestas que concorrem em um vértice. Retirando-se os tetraedros formados obtemos um poliedro P .
a) Descreva as faces de P .
b) Calcule o volume de P .
c) Calcule o raio da esfera circunscrita ao poliedro P .
Questão 4: Calcule o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces de um cubo de volume V .
Questão 5: Uma pirâmide chama-se regular quando a sua base é um polı́gono regular e a projeção do vértice
sobre o plano da base é o seu centro. Uma pirâmide regular de altura 4 cm tem por base um quadrado de
lado 6 cm. Calcule seu volume, sua área e os raios das esferas inscrita e circunscrita.
Questão 6: Um cilindro reto possui uma esfera inscrita. Mostre que a razão entre as áreas desses dois
sólidos é igual à razão entre seus volumes (Teorema de Arquimedes).
Questão 7: Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor de 12 cm de raio e ângulo central de
120o . Calcule o volume desse copo.
Questão 8: Um cone reto tem 3 cm de raio e 4 cm de altura. Calcule seu volume, área e os raios das esferas
inscrita e circunscrita.
Questão 9: Um copo cilı́ndrico tem 3 cm de raio e 12 cm de altura. Estando inicial- mente cheio d’água
o copo é inclinado até que o plano de sua base faça 45o com o plano horizontal. Calcule o volume de água
que permaneceu no copo.
Questão 10: Uma garrafa de bebida com 30 cm de altura tem uma miniatura perfeitamente semelhante
com 10 cm de altura. Se a miniatura tem 50 ml de volume, qual é o volume da garrafa original?
Questão 11: Um cone tem altura h e volume V . Este cone é seccionado por um plano paralelo à sua base,
distando h/3 dessa base. Calcule os volumes das partes em que esse cone ficou dividido.
Questão 12: Considere uma esfera de centro O e raio 1, e seja AB um diâmetro dessa esfera. Um cone de
revolução possui vértice A e base de centro B e raio 1. A
figura abaixo mostra a seção nesses sólidos por um plano que contém a reta AB.
a) Mostre qeu a circunferência que é a interseção da superfı́cie da esfera com a superfı́cie lateral do cone
tem raio igual a 45 .
b) Calcule o volume da parte comum, interna à esfera e ao cone.
Questão 13: O trapézio ABCD de bases AB e CD, representado na figura abaixo, gira em torno do eixo
e que passa por A e é perpendicular a AB gerando o sólido de revolução R. Dados AB = 4, CD = 2 e
BC = AD = 3.
a) Calcule o volume de R.
b) Calcule a área total de R.