Cálculo das Probabilidades I - Lista 3 - Probabilidade Condicional 2015/2
Prof. Hugo Carvalho
23/10/2015
Questão 1: Se A ⊂ B e P (B) > 0, quanto vale P (A|B)?
Questão 2: Se A e B são disjuntos e P (B) > 0, qual é o valor de P (A|B)
Questão 3: Se S é o espaço amostral para um experimento e A é um evento em S, quanto vale P (A|S)?
Questão 4: Cada vez que um cliente compra pasta de dentes, ele escolhe a marca A ou B. Suponha que
para cada compra após a primeira, a probabilidade de que ele escolha a mesma marca da compra anterior é
de 1/3 e que a probabilidade de que ele troque de marca é de 2/3. Suponha também que na primeira compra
ambas as marcas sejam igualmente prováveis de serem escolhidas. Qual é a probabilidade de que a primeira
e segunda compras sejam da marca A e que a terceira e quarta compras sejam da marca B?
Questão 5: Uma caixa contém três cartas. Uma carta tem ambos os lados vermelhos, outra carta tem
ambos os lados verdes e a última carta tem um lado vermelho e outro verde. Uma carta é selecionada ao
acaso da caixa e a cor em um dos lados é observada. Se esse lado é verde, qual é a probabilidade de que o
outro lado da carta também seja verde?
Questão 6: Suponha que uma caixa contém uma carta azul e quatro cartas vermelhas, rotuladas A, B, C
e D. Duas dessas cinco cartas são selecionadas ao acaso, sem reposição.
a) Se é sabido que a carta A foi selecionada, qual é a probabilidade de que ambas as cartas retiradas
sejam vermelhas?
b) Se é sabido que pelo menos uma carta vermelha foi selecionada, qual é a probabilidade de que ambas
as cartas retiradas sejam vermelhas?
Questão 7: Para dois eventos A e B com P (B) > 0, prove que P (Ac |B) = 1 − P (A|B).
Questão 8: Uma caixa contém três moedas com cara em ambos os lados, quatro moedas com coroa em
ambos os lados e duas moedas honestas. Se uma dessas nove moedas é selecionada ao acaso e lançada uma
vez, qual é a probabilidade de que uma cara seja obtida?
Questão 9: Uma máquina produz itens defeituosos com três diferentes probabilidades, dependendo do seu
estado de funcionamento: se a máquina funciona adequadamente, produz itens defeituosos com probabilidade
0, 02; se ela está começando a apresentar defeitos, produz itens defeituosos com probabilidade 0, 1; e se ela
precisa de reparos, produz itens defeituosos com probabilidade 0, 3. As probabilidades da máquina estar
funcionando adequadamente, começar a apresentar defeitos e necessitar de reparos são de 0, 8, 0, 1 e 0, 1,
respectivamente. Calcule a probabilidade de se escolher um item ao acaso produzido pela máquina e tal item
mostrar-se defeituoso.
Questão 10: Na Questão 4, suponha agora que na primeira compra a probabilidade de escolher a marca
A é de 1/4 e de escolher a marca B é de 3/4. Qual é a probabilidade de que a sua segunda compra seja da
marca B?
Questão 11: Se A e B são eventos independentes e P (B) < 1 qual é o valor de P (Ac |B c )?
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Questão 12: Assumindo que os eventos A e B são independentes, prove que os eventos Ac e B c são
independentes.
Questão 13: Suponha que a probabilidade de falha no sistema de controle de uma aeronave é de 0, 001.
Suponha que uma réplica do sistema de controle, que opera de modo completamente independente do sistema
principal, está instalada na aeronave, de modo a assumir o controle em caso de falha do sistema principal.
Determine a probabilidade de que a aeronave esteja sob controle ou do sistema original ou da réplica em um
dado voo.
Questão 14: Suponha que 10.000 bilhetes são vendidos em uma rifa e que 5.000 são vendidos em outra,
que nada tem a ver com a primeira. Em ambas as rifas haverá somente um bilhete vencedor. Se uma pessoa
compra 100 bilhetes em cada rifa, qual é a probabilidade de ela ganhar pelo menos um prêmio?
Questão 15: Dois alunos A e B estão inscritos no curso de Cálculo das Probabilidades I e não costumam
vir às aulas com muita frequência: O aluno A assiste a 80% das aulas e o aluno B assiste somente a 60% das
aulas, e as faltas dos dois alunos são independentes.
a) Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois alunos esteja em aula em um dado dia?
b) Se pelo menos um dos dois alunos está em sala em um dado dia, qual é a probabilidade de que o aluno
A esteja em sala nesse dia?
Questão 16: Três dados honestos são lançados. Qual é a probabilidade de que os três números obtidos
sejam os mesmos?
Questão 17: Considere um experimento no qual uma moeda honesta é lançada até obter-se uma cara pela
primeira vez. Se esse experimento é realizado três vezes, qual é a probabilidade de que exatamente o mesmo
número de lançamentos seja obtido em cada uma das três realizações?
Questão 18: A probabilidade de que uma criança em uma certa famı́lia tenha os olhos azuis é de 1/4, e
essa caracterı́stica é herdada de modo independente por crianças distintas na famı́lia. Suponha que existam
cinco crianças na famı́lia.
a) Se é sabido que pelo menos uma dessas crianças tem olhos azuis, qual é a probabilidade de que pelo
menos três também o tenham?
b) Se é sabido que a criança mais nova tem olhos azuis, qual é a probabilidade de que pelo menos três
crianças também o tenham?
c) Explique a diferença nos resultados dos itens anteriores.
Questão 19: Suponha que os eventos A, B e C sejam independentes, e que P (A) = 1/4, P (B) = 1/3 e
P (C) = 1/2. Determine a probabilidade de que...
a) nenhum desses eventos aconteça.
b) exatamente um desses eventos aconteça.
Questão 20: Suponha que a probabilidade de uma partı́cula emitida por um material radioativo, que emite
partı́culas de modo independente uma das outras, atravessar uma certa barreira é de 0, 01.
a) Se 10 partı́culas são emitidas, qual é a probabilidade de que exatamente uma atravesse a barreira?
b) Se 10 partı́culas são emitidas, qual é a probabilidade de que pelo menos uma atravesse a barreira?
c) Quantas partı́culas são necessárias para obter uma probabilidade de pelo menos 0, 8 de que pelo menos
uma partı́cula atravesse a barreira?
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Questão 21: Dois meninos A e B jogam tiro ao alvo. Suponha que a probabilidade de A acertar o alvo em
qualquer jogada é de 1/3 e que a probabilidade de B acertar é 1/4. Suponha também que o menino A joga
a primeira vez e depois eles revezam nos lançamentos. Determine a probabilidade de que...
a) ...o alvo seja atingido pela primeira vez na terceira jogada do menino A.
b) ...o menino A acerte o alvo antes do menino B.
Questão 22: Considere uma máquina que quando bem ajustada produz 50% dos itens de boa qualidade e
50% dos itens de média qualidade. Suponha que a máquina está mal ajustada durante 10% do tempo, e que
nessas condições, somente 25% dos itens sejam de boa qualidade e os outros 75% sejam de média qualidade.
a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina são selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro
desses itens são de boa qualidade e um é de média qualidade, qual é a probabilidade de que a máquina
estivesse bem ajustada no momento da sua produção?
b) Suponha que um item adicional, que foi produzido pela mesma máquina no mesmo perı́odo que os cinco
anteriores, é selecionado, testado e descoberto ser de média qualidade. Qual é a nova probabilidade de
que a máquina estivesse bem ajustada no momento da produção dos itens em questão?
Questão 23: Suponha que uma caixa contém cinco moedas viciadas. Seja pi a probabilidade de obter uma
cara na i-ésima moeda, para i = 1, . . . , 5 e que p1 = 0, p2 = 1/4, p3 = 1/2, p4 = 3/4 e p5 = 1.
a) Suponha que uma moeda é selecionada ao acaso da caixa, lançada uma vez, e observou-se cara. Para
cada i, qual é a probabilidade de que a i-ésima moeda foi selecionada?
b) Se a mesma moeda é lançada novamente, qual é a probabilidade de obter outra cara?
c) Se na primeira jogada caiu coroa e a mesma moeda é lançada novamente, qual é a probabilidade de
obter uma cara no segundo lançamento?
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