UNIFOA
Centro Universitário de Volta Redonda
Nivelamento em Cálculo I - Lista 5
(15/09/2012)
Questão 1: Ache dy/dx com o emprego da diferenciação implı́cita.
(a) 9x2 + 4y 2 = 36
(b) x2 y − xy 2 + x2 = 7
(c) x2 − 3xy + y 2 = 3
√
(d) x4 y + xy = 5
(e)
x
y
+
y
x
Questão 2: Determine as equações das retas normal e tangente ao gráfico
da função implı́cita determinada pelas seguintes equações no ponto dado.
√
√
(a) x2 + xy + 2y 2 = 28 em (2, 3)
(b) 2x + 3y = 5 em (2, 3)
Questão 3: Suponha que x e y satisfaçam a equação x2 + y 2 = 4.
(a) Mostre que
dy
dx
= − xy
(b) Diferencie ambos os lados da equação no item (a) e conclua que
x dx
−y
d2 y
dy
=
dx2
y2
(1)
Questão 4: Considere x como uma função de y e determine dx/dy por
diferenciação implı́cita.
(a) 3x2 + 5xy = 2
(b) x2 = y 2 − y
Questão 5: Ache todas as funções implı́citas em cada equação resolvendo
a equação para y em função de x.
2y−1
3y+1
(a) 5x − 4y = 6
(c) x =
(b) xy + y 2 = x
(d) x = y 4
Questão 6: Se a área de um cı́rculo é crescente a uma taxa constante
de 4cm2 /s, a que taxa está crescendo o raio no instante em que o raio é de
5cm?
Questão 7: Um homem com 1, 8m de altura está a 12m da base de um
poste de luz com 20m de altura. Ele caminha em direção ao poste a uma
velocidade de 4, 0m/s. Com que taxa o comprimento de sua sombra está
variando?
1
Questão 8: Se a área de um cı́rculo decresce à razão constante de 3cm2 /s,
a que razão o raio r estará decrescendo no instante em que r = 2cm?
Questão 9: O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria
√
para fabricar x unidades de um certo produto é dado pela equação y = 12 x.
Determine a taxa instantânea à qual o esforço do trabalhador seria crescente
se, no momento, existe uma demanda de 40.000 unidades do produto, mas a
demanda é crescente a uma razão de 10.000 unidades por ano.
Questão 10: A pressão P e o volume V de uma amostra de gás que
sofre uma expansão adiabática estão relacionados pela equação P V 1,4 = C,
onde C é uma constante. Num determinado instante, o volume da tal amostra é de 4cm3 , a pressão é de 4000kg/cm2 e o volume está crescendo a uma
taxa constante de 2cm3 /s. A que razão a pressão está variado neste instante?
GABARITO:
Questão 1:
(a) − 9x
4y
(b)
y 2 −2xy−2x
x2 −2xy
(c)
3y−2x
2y−3x
(d)
√
−8x3 y xy+y
√
2x4 xy+x
(e)
y
x
Questão 2:
(a) y = − 12 x + 4 e y = 2x − 1
(b) y = −x + 5 e y = x + 1
Questão 3: Demonstração
Questão 4:
5x
(a) − 6x+5y
(b)
2y−1
2x
Questão 5:
(a) y =
(b) y =
5x−6
4
√
−x+ x2 +4x
2
Questão
Questão
Questão
Questão
Questão
ey=
√
−x− x2 +4x
2
(c) y =
x+1
2−3x
(d) y =
√
√
4
xey=−4x
2
6: dr
= 5π
cm/s ≈ 0, 13cm/s
dt
7: 0, 4m/s
3
8: − 4π
≈ −0, 24
50
9: 4 = 12, 5 trabalhadores por ano
10: −2800(kgf /s), cm2
2