MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
Avaliação 3 - MA12 - 2015.1
Questão 01
Sejam Sn =
n
X
[ 2,00 pts ]
k e Cn =
k=1
n
X
k3 .
k=1
(a) Prove, por indução em n, que Sn =
n · (n + 1)
.
2
(b) Prove, por indução em n, que Cn = Sn2 .
Questão 02
[ 2,00 pts ]
Um quadrado ABCD tem lado igual a n. Seus lados foram divididos em n partes iguais e, pelos pontos de divisão,
traçaram-se paralelas à diagonal AC. Determine a soma dos comprimentos dessas paralelas, incluindo AC.
Questão 03
[ 2,00 pts ]
Uma loja vende bombons de 7 sabores: avelã, chocolate branco, chocolate preto, coco, menta, morango e nozes. Eles
são vendidos em caixas com 12 unidades.
(a) Supondo que seja possı́vel o cliente escolher o sabor de cada uma das 12 unidades, quantas são as escolhas
possı́veis para uma caixa?
(b) Se um cliente quiser colocar na caixa pelo menos um bombom de cada sabor, quantas são as escolhas possı́veis?
(c) Se um cliente quiser comprar uma caixa com pelo menos três e no máximo cinco bombons de avelã, quantas
são as escolhas possı́veis? (Não é necessário que haja todos os tipos nas caixas)
Questão 04
[ 2,00 pts ]
Considere a sequência (an ) definida por a1 = 9 e 3an+1 + an = 4, para n ≥ 1.
Sejam Sn a soma dos n primeiros termos dessa sequência e bn = an − 1.
(a) Mostre que (bn ) é uma progressão geométrica, deixando claro quem é o primeiro termo e a razão.
(b) Determine o menor inteiro positivo n0 tal que |Sn − n − 6| <
Questão 05
1
, para todo n ≥ n0 .
125
[ 2,00 pts ]
Dispõe-se de n moedas “viciadas”M1 , M2 , . . . , Mn . Sabe-se que, em um lançamento, a probabilidade de se obter cara
1
na moeda Mi , i = 1, 2, . . . , n, é pi =
. Seja Pi a probabilidade de se obter um número ı́mpar de caras quando
(2i + 1)
são lançadas i moedas simultaneamente.
(a) Determine P1 , P2 e P3 .
(b) Conjecture uma expressão para Pn e, em seguida, demonstre-a por indução.
(c) Determine P2015 .