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Questão 16
Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições:
• para 0 ⭐ x ⭐ 1, tem-se f(x) = 3x + 1;
• para 1 ⬍ x ⬍ 2, tem-se f(x) = –2x + 6;
• f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura abaixo;
y
2
1
2
3
4
5
x
• a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2].
Com base nessas informações,
a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado na página de resposta, abaixo reproduzido, o gráfico de f no
intervalo [0, 2];
y
5
4
3
2
1
0
1
b) determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2];
c) determine f(4).
2
x
Resolução
a) Do enunciado, temos:
• para 0 ⭐ x ⭐ 1, tem-se f(x) = 3x + 1;
• para 1 ⬍ x ⬍ 2, tem-se f(x) = –2x + 6.
Logo, o gráfico, para 0 ⭐ x ⭐ 2, é dado por:
y
C
4
3
F
2
1 B
A
0
D
1
E
2
x
b) Do item anterior, temos que a área S da região delimitada pelo gráfico de f e o eixo x, no intervalo [0, 2],
é dada pela soma das áreas dos trapézios ABCD e CDEF. Logo:
(1 + 4) ⋅ 1 (4 + 2) ⋅ 1
+
2
2
11
S=
2
S=
∴
Resposta:
11
2
c) Considerando que o crescimento de f seja linear nos intervalos [2, 4] e [4, 5], temos, do item anterior, que a
11
; logo, do enunciado, temos que a área sob o gráfico de f, em [2, 5],
área sob o gráfico de f, em [0, 2], é
2
11 33
é3⋅
=
.
2
2
Sendo y = f(4), note-se que essa área é dada pela soma da área de um trapézio de bases 2 e y e altura 2 com
a área de um triângulo de base 1 e altura y. Logo:
(2 + y) ⋅ 2 1 ⋅ y 33
+
=
2
2
2
29
∴ y=
3
Resposta: f(4) =
29
3