SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
8. ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
8.6 – Interpretação de uma curva potencial U
Muita informação a respeito da dinâmica de um corpo e/ou partícula pode ser obtida da energia
potencial 𝑈 que permeia o sistema no qual este e/ou esta está inserido.
Considere um sistema no qual apenas uma dimensão é relevante, a dizer, 𝑥. O potencial associado
ao sistema é 𝑈 = 𝑈(𝑥). Nesta circunstância, o trabalho 𝑊 sobre determinado corpo neste sistema
𝑊 = −Δ𝑈
∴ 𝐹Δ𝑥 = −Δ𝑈
∴ 𝐹 = −Δ𝑈/Δ𝑥 .
No limite Δ𝑥 → 0
𝑑
(8.3)
𝑈 𝑥 .
𝑑𝑥
Insira na equação acima os potenciais obtidos na seção anterior (gravitacional e mola) e verifique se a
expressão obtida para a força é a aguardada.
𝐹=−
Suponha que o potencial 𝑈(𝑥) possua o formato apresentado na figura 8.1.
Figura 8.1: Energia potencial 𝑈(𝑥) de dado sistema unidimensional
Da energia mecânica 𝐸m do sistema
𝐸m = 𝐾 + 𝑈
∴ 𝐾 = 𝐸m − 𝑈 𝑥 = 𝐾 𝑥 .
Há 6 situações dinâmicas distintas de interesse. Constam a seguir.
(a) Ponto 1: se 𝐸m = 4J (linha roxa), em 𝑥1 tem-se 𝑈 𝑥1 = 4J ∴ 𝐾 = 0 ∴ 𝑣 = 0. No entanto o
corpo não permanece parado pois 𝑑𝑈/𝑑𝑥 𝑥=𝑥 1 < 0 ∴ 𝐹 > 0, evoluindo no sentido +𝑥.
Observe que 𝑥 < 𝑥1 é uma região proibida pois 𝑈 𝑥 < 𝑥1 > 𝐸m . Portanto 𝑥 = 𝑥1 é um ponto
de retorno;
Disciplina 090113 – Física Básica I
Versão: 13 de novembro de 2010
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(b) Ponto 2: se 𝐸m = 4J (linha roxa), em 𝑥5 tem-se 𝑈 𝑥5 = 4J ∴ 𝐾 = 0 ∴ 𝑣 = 0. Diferentemente
do caso anterior, o estado de movimento do corpo é mantido pois 𝑑𝑈/𝑑𝑥 𝑥≥𝑥 5 = 0 ∴ 𝐹 = 0 ∴
𝑎 = 0.
(c) Ponto 3: se 𝐸m = 1J (linha verde), tem-se comportamento análogo ao item (a) Ponto 1;
(d) Ponto 4: se 𝐸m = 1J (linha verde), em 𝑥2 tem-se que 𝑑𝑈/𝑑𝑥 𝑥=𝑥 2 = 0 ∴ 𝐹 = 0. Mas
𝑈 𝑥2 < 𝐸m ∴ 𝐾 ≠ 0 ∴ 𝑣 ≠ 0. O corpo não permanece parado em 𝑥 = 𝑥2 ;
(e) Ponto 5: se 𝐸m = 1J (linha verde), o comportamento é semelhante ao descrito em (a) Ponto 1,
mas com a força 𝐹 < 0, pois 𝑑𝑈/𝑑𝑥 > 0;
(f) Ponto 6: se 𝐸m = 3J (linha rosa), em 𝑥3 tem-se 𝑈 𝑥3 = 3J ∴ 𝑣 = 0. Mas como 𝑑𝑈/𝑑𝑥 𝑥=𝑥 3 =
0 então 𝐹 = 0 e o corpo permanece em 𝑥 = 𝑥3 .
Observe que os Pontos 2, 4 e 6 possuem uma característica em comum. Nestes 3 distintos pontos, a
força que atua no corpo é nula. Tratam-se de pontos de equilíbrio do sistema. No entanto equilíbrios
distintos. No Ponto 2, caso o corpo seja deslocado para a direita, permanecerá submetido à 𝐹 = 0, um
ponto dito de equilíbrio neutro. Já no Ponto 3, ao ter sua posição perturbada, o corpo sofre a ação de uma
força que tende a reconduzir o corpo à posição original. Esta força sempre contrária ao deslocamento do
corpo produz movimentos limitados do tipo oscilatórios (verifique se, localmente, o potencial nesta região
não é semelhante ao proporcionado por uma mola). Denominam-se os pontos deste gênero de pontos de
equilíbrio estável. No Ponto 6, caso o corpo seja deslocado da posição 𝑥 = 𝑥3 , uma força na direção do seu
deslocamento surgirá. O corpo não retornará mais a este ponto. Pontos com este comportamento
dispersivo são denominados de ponto de equilíbrio instável.
8.6 – Trabalho realizado por uma força externa
Se uma força 𝐹 realiza um trabalho 𝑊 sobre o sistema então, na ausência de atrito interno
(8.4)
𝑊 = Δ𝐸m ,
sendo 𝑊 > 0 se o sistema recebe energia e 𝑊 < 0 se o sistema perde energia. Caso haja atrito, parte da
energia é dissipada por Efeito Joule
𝑊 = Δ𝐸m + Δ𝐸term
sendo Δ𝐸term = 𝑊atrito = 𝑓c Δ𝑥. 𝑓c é a magnitude da força de atrito cinética e Δ𝑥 o deslocamento do
corpo.
8.7 – Conservação de energia
Sistemas podem armazenar energia de outras formas além da mecânica e térmica. Considere que
todas estas outras formas sejam energias internas 𝐸int . Assim, pode-se generalizar a equação (8.4)
(8.5)
𝑊 = Δ𝐸 = Δ𝐸m + Δ𝐸term + Δ𝐸int ,
sendo 𝐸 a energia total do sistema. Se o Δ𝐸 ocorre em um Δ𝑡, a potência média
Δ𝐸
𝑃m =
Δ𝑡
que no limite Δ𝑡 → 0
𝑑𝐸
𝑃=
.
𝑑𝑡
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(8.6)
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