Matemática
Olimpíada
Resoluções
Torre
01 B
1 cm/s
1 cm/s
x
2 cm/s
h
60
1
Observador
2x
x
160 m
1 cm/s
60
80
4x
2s a 3s
100 m
1 cm/s
0s a 2s
Pitágoras
1 cm/s
0
1 cm/s
16
80
h
60
1 cm/s
2x
2x
100
sen 2x =
60 3
=
100 5
sen 2x =
3s a 4s
h
160
h
3
=
= h = 96 m
5 160
1 cm/s
4s a 6s
02 C
Solução 1: Se o raio é r, então o comprimento de um arco
θ
r . Assim, no problema, tem-se que:
de θ graus é 2π
360
2π
300
3
r = 2000 m → r = 2000 ⋅
≅ 382,17m
360
5π
Solução 2: Como a circunferência tem 360o, um arco de
5
300o representa
da circunferência, logo, seu compri6
mento é 5 do comprimento da circunferência, isto é:
6
Na primeira figura, observa-se que, em qualquer instante,
o ponto de partida e as formigas formam um triângulo
equilátero. Desse modo, de 0 s a 2 s, a distância entre as
formigas é igual à distância percorrida, ou seja, varia em 1
cm/s.
Na segunda figura, é possível ver que as formigas andem
uma em direção à outra e que a distância entre elas
decresça em 2 cm/s. Desse modo, elas vão se encontrar
no ponto médio do lado do triângulo no instante 3 s.
Na terceira figura, elas já estão se afastando à velocidade
de 2 cm/s.
Na quarta figura, elas estão retornando ao ponto de partida e, de modo análogo à primeira figura, a distância
entre elas decresce em 1 cm/s.
cm
2
2000 ⋅ 6 1200
5
=
≅ 382,17m
⋅ 2πr = 2000 m → r =
6
10 π
π
03 A
Se S corresponde ao número de sanduíches e P ao
número de pratos de refeição, então 5S + 7P = 90. É preciso encontrar soluções inteiras P e Q para essa equação.
Assim:
5S + 7P = 90 ⇒ P =
90 − 5S
18 − S
= 5⋅
7
7
Como P é um número natural, 7 tem que dividir 18 – S, assim
S = 4, 11 ou 18, e, em cada um destes casos, P é igual a
10, 5 e 0, respectivamente. Portanto, tem-se somente três
formas de fazer a compra.
04 D
As figuras a seguir mostram as posições relativas das formigas em diferente intervalos de tempo de 0s a 6s.
1
0
0 1
2
3
4
5
6
s
05 D
km
Observa-se no grá25
fico que a distância
Cláudia
20
total percorrida por
Cláudia e também
15
por Rafael é de 25
10
km: Cláudia em 4
horas e Adilson em
Adilson
5
5 horas. Logo, para
0
determinar o horá9
10
11
12
13
8
h
rio do encontro
entre eles, deve-se determinar em que momento a soma
das distâncias percorridas é igual a 25 km. Os pontos
assinalados no gráfico mostram que às 11 horas Cláudia
e Adilson haviam percorrido, respectivamente, 20 km e 5
km. Logo, foi nesse horário que eles se encontraram.
1a Série – Ensino Médio
1
Matemática
Olimpíada
06 A
Seja t o tempo que Cátia gasta pedalando a 20 km/h.
Pedalando a 10 km/h, ela faz o percurso no dobro do
tempo que pedalando a 20 km/h, isto é 2t. No entanto,
como ela demora 45 minutos a mais, tem-se:
l−
2t – t = 45 → t = 45min
E da segunda:
Questiona-se, então, quanto tempo transcorre até o
momento em que o comprimento de uma vela é o dobro do
comprimento da outra, o que equivale a resolver a equação:
Logo, diariamente ela sai da escola às:
l
 l 
l − t = 2  l − t
 3 
4
4 h30 min – 45min = 3 h45 min
e o percurso até sua casa é de:
3
45min · 20 km/h = · 20 = 15 km
4
Para percorrer 15 km em 5h00min – 3h45min = 1h15min=
5
h , ela deve manter uma velocidade de
4
15 km
= 12 km/h
5
h
4
07 A
Se b é o preço final e a o preço inicial, tem-se que a variação é b – a, e o aumento percentual será:
b–a
a
Assim, os aumentos foram:
R$
110
100
90
A
B
C
80
l
t
4
Tem-se que:
12
2
 2 1
 −  t = 1 , em que t = 5 horas = 2 5 h = 2h e 24min
3 4
Portanto, depois de 2 h 24 min, o comprimento de uma
vela é o dobro do comprimento da outra. Como se quer
que isso aconteça às 16h00min, as velas devem ser acesas
às 13h36min.
09 C
x = quantidade de blusas produzidas
Custo de fabricação = 2x + 500
Valor vendido = 2,5x
Para obter lucro, o valor vendido deve ser maior que o
custo de fabricação, ou seja, 2,5x > 2x + 500.
Tem-se que:
2,5x > 2x + 500
2,5x – 2x > 500
0,5x > 500
x>
500
0, 5
x > 500 · 2
x > 1000
70
60
Jan
Fev
Mar
Abr
103, 33 − 65, 67 37, 66
=
= 0, 57 = 57%
65, 67
65, 67
109, 50 − 73, 30 36, 20
B:
=
= 0, 49 = 49%
73, 30
73, 30
100, 00 − 64, 50 35, 50
C:
=
= 0, 55 = 55%
64, 50
64, 50
A:
10 B
S, P, G e C, são respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e
Campinas.
ˆ SPG
ˆ
ˆ = 150º.
ˆ =CPG
ˆ e CPG
ˆˆ SPC
ˆ CPG
SPG
Sabendo-se que SPC
60°
=
90º,
vem
SPC
SPG
Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG,
encontra-se:

SG = SP + PG − 2 ⋅ SP ⋅ PG ⋅ cos SPG
2
2
2
= 80 2 + 160 2 = −2 ⋅ 80 ⋅ 160 ⋅ cos150 o

3
= 6400 + 25600 − 2 ⋅ 12800 ⋅  −

 2 
= 6400 ⋅ ( 5 + 2 ⋅ 3 )
Portanto, o maior aumento foi de A e o menor foi de B.
Observe que os valores intermediários (meses de fevereiro e março) não alteram a variação do preço de janeiro
a abril.
08 C
Se l é o comprimento das velas, e uma queima à velocidade
l
constante de
e a outra à velocidade de l , depois de um
3
4
tempo t, o que sobra da primeira vela é:
l
l− t
3
2
Por tan to, SG = 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 km.
11 D
x2 = 22 + 12 – 2 · 2 · 1 · cos 120o
x2 = 5 + 2
x2 = 7
x= 7
1a Série – Ensino Médio
2m
x
120o
1m
4
Matemática
Olimpíada
15 B
12 B
ˆ = 45º. Aplicando o teorema dos
No triângulo ABC, ABC
senos, tem-se:
BC
50
=
→ BC 2 = 50 → BC = 25 2
o
sen 45
sen 30 o
U
sen 30 o =
50 – x
y
Seja x o número de pessoas que não comeram nenhum
dos dois salgados.
Dado que 50 pessoas não comeram o salgado de frango,
tem-se que 50 – x pessoas comeram apenas o salgado
de queijo. Por outro lado, se 45 pessoas não comeram o
salgado de queijo, então 45 – x pessoas comeram apenas
o salgado de frango.
Portanto, se 70 pessoas comeram pelo menos um dos
dois salgados, então:
50 – x + 15 + 45 – x = 70 → 2x = 110 – 70 → x = 20
x
x
⇔ x = r cos α
r
e
sen α =
45 – x
B
É imediato que:
cos α =
15
F
α
P
Q
x
h
1
h
→ =
→ h = 12, 5 2
2 25 2
25 2
r
Considere o diagrama sendo Q o conjunto das pessoas
que comeram o salgado de queijo e F o conjunto das pessoas que comeram o salgado de frango.
No triângulo BDC, tem-se:
13 D
Considere a figura.
y
⇔ y = r sen α
r
16 A
14 D
A
B
60º
A∪B
U
d
2
C
45º
E
B
A
D
75º
75º
C
D
C∩D
U
C
sen 60 o =
B
A
No triângulo destacado, tem-se:
d
2
3 d
=
2
2
d= 3
D
17 B
(A ∪ B) ∩ (C ∩ D)
U
C
B
A
.
Seja S um ponto do menor arco BE
 = CQD
 = DRE
 = 2α, segue-se que:
Como BPC
 = 360º − 6α.
BSE
 é excêntrico exterior, tem-se:
Portanto, como EAB
o
= BQE − BSE → 60 o = 6α − (360 − 6α )
EAB
2
2
o
o
60 = 6α − 180
D
α = 40 o
1a Série – Ensino Médio
3
Matemática
Olimpíada
18 E
Considere a figura.
D
C
B
E
A
O
Sejam AÔD = α e CÔB = β.
ˆ = β.
Sabendo que BC = OA = OC, tem-se OBC


Como AD = α e CE = β, encontram-se:
 
ˆ = AD − CE → β = α − β
OBC
2
2
β
=3
α
19 B
Conjunto B
Relação A x B
2
2
1
1
2
Conjunto A
2
20 A
5π
π
π
a2 ⋅ sen + 2ab ⋅ sen
+ b2 cos
6
6
3
E=
π
π
a ⋅ sen + b ⋅ cos
3
6
1
1
a2
+ 2ab ⋅ + b2 ⋅
2
2
2
E=
3
3
+ b⋅
a⋅
2
2
4
E=
a+b
(a + b ) 2
a2 + 2ab + b2
=
=
3 (a + b )
3 (a + b )
3
E=
(a + b ) 3
3
1a Série – Ensino Médio