Trabalho feito e apresentado para a disciplina de matemática em: Instituto
Estadual de Educação - 3º ano(306)
Colocado na internet – Estude e se baseie nesse trabalho para os seus, mas
não copie. Plágio é Crime.
Wyllyan Rodrigues do Nascimento
Números Complexos
Florianópolis
2011
Wyllyan Rodrigues do Nascimento
Números Complexos
“É ao juízo que pertence o sentimento,
como as ciências pertencem ao espírito.
A finura é a parte do juízo, a geometria, a do espírito.
Zombar da filosofia, é, em verdade, filosofar.”
Blaise Pascal
Florianópolis
2011
Sumário
Introdução .................................................................................................................... 3
Números complexos ..................................................................................................... 4
Forma Algebrica .......................................................................................................... 4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Igualdade .......................................................................................................... 4
Adição ............................................................................................................... 4
Subtração .......................................................................................................... 4
Potências de i .................................................................................................... 4
Multiplicação .................................................................................................... 5
Conjugado ........................................................................................................ 5
Divisão .............................................................................................................. 5
Módulo ............................................................................................................. 6
Inverso ............................................................................................................. 6
Raiz de números negativos ............................................................................ 6
Forma Geométrica e Trigonométrica ....................................................................... 7
1. Forma Geometrica ......................................................................................... 7
2. Forma Trigonometrica .................................................................................. 7
• Multiplicação ...................................................................................... 8
• Divisão ................................................................................................. 8
• 1ª Lei de Moivre .................................................................................. 8
• 2ª Lei de Moivre .................................................................................. 8
Exercícios ..................................................................................................................... 9
Bibliografia .................................................................................................................. 16
Introdução
Os números complexos começaram a ser estudados depois da grande contribuição do
matemático Cardano que resolveu a equação do segundo grau x² - 10x + 40 = 0; provando
que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada, era possível resolver a equação.
A partir do estudo de Cardano outros matemáticos estudaram este impasse matemático, que
deu um salto qualitativo e quantitativo com Gauss.
3
Números Complexos
Número complexo é o conjunto de partes ordenados z = (x,y), onde X e Y pertencem aos
reais. O conjunto dos números complexos é representado pela letra C.
FORMA ALGÉBRICA
Tem-se por definição que, se Z = (z,y) = (x,0) + (y,0)(0,1), onde i = (0,1), então podemos
escrever da seguinte forma:
Z = x + yi
A está forma, damos o nome de forma algébrica dos números complexos, onde:
•
•
•
•
Z = número complexo
x = parte real de Z
y = parte imaginária de z
i = unidade imaginária.
Imaginário Puro: quando a = 0 e b ≠ 0
Real: quando b = 0
1. Igualdade de Números Complexos.
Números complexos são iguais, se e somente se, a parte real e imaginária for igual.
Desta forma, utilizando-se de dois números complexos quaisquer, tem-se Za = a + bi e
Zb = c + di; admitindo a igualdade Za=Zb, tem-se: a = c e b = d
2. Adição de Números Complexos
Tomando como base dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que:
Za + Zb = (a + c) + (b + d)i
3. Subtração de Números Complexos
Utilizando dois números complexos como base Za = a + bi e Zb = c + di, tem-se que:
Za – Zb = (a – c) + (b – d)i
4. Potencias de i
Este é um pré-requisito básico para entendermos a multiplicação de números
complexos. Por definição temos que i = - (-1)1/2 , então, tem-se que:
4
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
“Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores
repetem-se de 4 em 4unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é
o resto da divisão de n por 4.”
5. Multiplicação de Números Complexos
Tomando-se dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di; a multiplicação dos
mesmos se dá por:
Za * Zb = (a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
Ou ainda
Za * Zb = (ac – bd) + (ad + bc)i
6. Conjugado de um Número Complexo
Para se achar o conjugado de um número complexo basta inverter o sinal de adição ou
subtração pelo seu oposto. Logo:
Z = a + bi
Para achar o conjugado, representado por , temos que:
= a – bi
Propriedades do Conjugado
• 1ª Propriedade: O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados.
• 2ª Propriedade: O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados.
• 3ª Propriedade : O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um
número real não negativo.
² ²² ² ² 7. Divisão de Números Complexos
Para dividirmos números complexos, basta multiplicar o denominador e o numerador
pelo conjugado do denominador. Desta forma tem-se:
Considerando dois números complexos Za = a + bi e Zb = c + di; a divisão entre eles
dá-se por:
5
Achando-se o conjugado o denominador, tem-se que Zb’ = C – di; como para dividir
devemos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado, temos:
8. Módulo de Número Complexo
Tem-se por módulo de um número complexo, dado por Z = a + bi, a seguinte forma:
|Z| = (a² + b²)1/2 ou |Z| = ² ²
9. Inverso de um Número Complexo
O inverso de um número complexo, dá-se dividindo 1 pelo número complexo em
questão, multiplicando em seguida o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador. Desta forma Considerando Z = a +bi, tem-se que o inverso deste número
é, sabendo que o conjugado é Z’ = a – bi.
1
1
1 ² ²²
² ² 1
² ²
Logo: !"
²!²
Obs: a multiplicação de um número pelo seu inverso será sempre igual a 1.
10. Raiz de Números Negativos
Tem-se como definição que i² = -1, logo √1 desta forma podemos definir a raiz
de um número negativo, por propriedade de radiciação, como a multiplicação de um
numero positivo na raiz, pela raiz de -1, ou seja i. Temos assim:
Como √1 = i, temos o seguinte:
√ √ √1
√ √ 6
FORMA GEOMÉTRICA E TRIGONOMÉTRICA
(http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/)
•
Forma Geométrica
O gráfico acima é chamado de representação geométrica dos números complexos, com
isso temos às seguintes informações:
$%&Ө !
|(|
e
)$Ө |(|
Podemos considerar que |Z| = ρ; logo por dedução ρ = ² ²
Sendo assim também podemos considerar as formas geométricas da seguinte forma
$%&Ө !
*
e
)$Ө *
Estas formulas também são chamadas de “Argumento de um número complexo”.
•
Forma Trigonometrica
A partir da representação geométrica, conseguimos encontrar a representação
trigonométrica, desta forma:
b = ρ * senӨ e
a = ρ * cosӨ
Substituindo isto na forma algébrica dos números complexos Z = a + bi, tem-se:
Z = ρ * cos Ө + |z| * sen Ө * i
Z = ρ ( cos Ө + senӨ * i)
Está é a forma trigonométrica dos números complexos:
7
ρ,-.Ө ./0Ө
Obs: Está forma também é conhecida como forma polar dos números complexos.
1. Multiplicação pela Forma Polar
Para multiplicarmos formas trigonométricas dos números complexos, devemos
considerar duas formas polares e ! , então temos a seguinte forma:
1
1 2 ,-.Ө
Ө ./0Ө
Ө 3
2. Divisão pela Forma Polar
Para dividirmos formas trigonométricas dos números complexos, temos a seguinte
forma:
1
2 ,-.Ө
Ө ./0Ө
Ө 3
1
3. Potenciação pela Forma Polar (1ª Fórmula de Moivre)
Para fazer a potenciação usamos a 1ª Formula de Moivre, uma fórmula muito
importante, pois caso não existisse teríamos de usar o binômio de Newton, o que
acarretaria em um calculo enorme. A fórmula de Moivre, para potenciação é a formula
a seguir:
0 ρ4 2,-.0Ө ./00Ө3
4. Radiciação de um Número Complexo na Forma Polar (2ª Lei de Moivre)
A radiciação de um número complexo na forma polar é dado através da seguinte
expressão, que é a 2ª lei de Moivre. Primeiro iremos considerar que √ 5
8
Ө 89:
Ө 89:
; ./0 7 ;3
n
0
n
0
5 nρ2,-. 7
Onde 2kπ é a expressão geral dos arcos, para descobrir suas determinações.
EXERCÍCIOS
1) Analise os seguintes números complexos e determine se é Imaginário Puro, Real
ou Imaginário comum (nem imaginário puro, nem real).
a) 2i
b) 2 + 0i
c) 3 + 4i
d) 3i
Resolução:
Para um número ser Imaginário Puro, tem-se que ele deve ser desta forma: a = 0 e
b ≠ 0; para ser real b = 0 e para ser imaginário comum tem-se que ele deve possuir
a ≠ 0 e b ≠ 0; então:
a)
b)
c)
d)
Imaginário Puro
Real
Imaginário Comum
Imaginário Puro
2) Resolva as expressões algébricas dos seguintes números complexos: Za = 1 + 2i e
Zb = 2 + 3i
a) Adição
b) Subtração
c) Multiplicação
d) Divisão
Resolução:
a) Za + Zb = (1 + 2) + (2 + 3)i
Za + Zb = 3 + 5i
b) Za – Zb = (1 – 2) + ( 2 – 3)i
Za – Zb = -1 – i
c) Za * Zb = (1 * 2 – 2 * 3) + (1 * 3 + 2 * 2)i
9
Za * Zb = (2 – 6) + (3 + 4)i
Za * Zb = -4 + 7i
d) Temos que o conjugado de Zb é ====
2 3, logo:
1 2 2 3
2 3 2 3
2 3 4 6²
4 6 6 9²
8
C
E
49
8
C
E
13
8
1
13 13
3) Determine o inverso do número complexo Z = 1 + 2i
Resolução:
² ²
1 2
1² 2²
1 2
14
1 2
5
1 2
5 5
4) Determine as raízes complexas da seguinte equação: x² - 4x + 5 = 0
Resolução:
∆ = (-4)² - 4 * 1 * 5)
∆ = 16 – 20
∆ = -4
X=
X=
GH √G
I
G HI"
I
10
X’ =
GI"
I
X’ = 2 + i
X’’ =
GI"
I
X’’ = 2 - i
S = {2 + i, 2 – i}
5) Determine as raízes complexas da seguinte equação x² - 4x + 8 = 0
Resolução:
∆ = (-4)² - 4 * 1 * 8
∆ = 16 – 32
∆ = -16
X=
GH √L
X=
G H G"
X’ =
I
I
GG"
I
X’ = 2 + 2i
X’’ =
GG"
I
X’’ = 2 – 2i
S = { 2 + 2i; 2 – 2i}
6) Determine o argumento do número complexo Z = 1 + √3
Resolução:
ρ = ² + ² P1² + √3²
ρ = √1 + 3
ρ=2
$%&Q )$Q !
*
*
√R
I
I
Q 60° )U
V
R
11
7) Determine a forma trigonométrica do número complexo Z = 1 + √3
Resolução:
ρ = ² + ² P1² √3²
ρ = √1 3
ρ=2
$%&Q )$Q *
*
!
√R
I
Q 60° )U
I
V
R
ρ,-.Ө ./0Ө
8,-.
W
W
./0 3
3
8) Determine a multiplicação na forma polar do número complexo Za = 1 + √3 e
Zb = 1 + Resolução:
X = ² ² P1² √3²
X = √1 3
X =2
X!Y ²!²Y ²²
X!Y √
X!Y √I
Z%&Q ![
*[
\)$Q [
*[
√R
I
I
Q 60° )U
V
R
12
$%&Q )$Q! X
]
*]
1
√2
√I
√2
2
Q 45° )U
√I
I
V
G
1
1 2 ,-.Ө
Ө ./0Ө
Ө 3
W W
W W
8 √8 2 ,-. ./0 3
3 4
3 4
8√8 2 ,-.
7W
7W
./0 3
12
12
9) Determine na forma polar _ do número complexo Z = 1 + √3
Resolução:
ρ = ² ² P1² √3²
ρ = √1 3
ρ=2
$%&Q )$Q *
*
!
√R
I
I
Q 60° )U
V
R
13
0 ρ4 2,-.0Ө + ./00Ө3
Utilizando a 1ª Lei de Moivre:
W
c ./0 `ab 3
W
9 2_ 2,-. `ab c ./0 `ab 3
9 2_ 2,-. `ab 9 10242,-. 7
W
c3
3
W
c3
3
10W
10W
; ./0 7
;3
3
3
10) Determine a raiz quadrada do número complexo Z = 1 + √3 pela forma polar:
Resolução:
ρ = ² ² P1² √3²
ρ = √1 3
ρ=2
$%&Q )$Q *
*
!
√R
I
Q 60° )U
I
V
R
Como pede-se a raiz quadrada, então temos que K = {0,1}
Utilizando a 2ª Lei de Moivre:
Ө 89:
Ө 89:
; ./0 7 ; ; K M0,1}
n
0
n
0
5 nρ ,-. 7
fg h 0:
W
W
8
b
:
8b:
2
5 22,-. j 3 k ./0 j 3 k3
2
8
n
8
14
π
6
π
6
5 22,-. ` c ./0 ` c3
2
Para k = 1
W
W
8
a
:
8a:
5 22,-. j 3 k ./0 j 3 k3
2
2
8
W
W
5 22,-. l :m ./0 l :m3
2
6
5 22,-. 7
2
8
6
7W
6
n
7W
; ./0 7
6
;3
15
Bibliografia
1. http://www.mundovestibular.com.br/articles/4619/1/NUMEROSCOMPLEXOS/Paacutegina1.html
2. http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
3. http://www.brasilescola.com/matematica/formulas-de-moivre.htm
4. http://www.paratodosesobretudo.com.br/2011/02/resolva-equacoes-de-2-grau-comraizes.html
5. http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html
6. http://www.brasilescola.com/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-formatrigonometrica.htm
Material Impresso:
1. Matemática (Ensino médio) I, Barreto, Claúdio Xavier, II. Titulo –
Editora: FTD s.a – Volume único. Pg. 556 – 574.
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