Unidade 6:
a uma incógnita
Um Pouco de História
Ao longo da história da Matemática encontramos várias
referências a matemáticos que estudaram métodos de resolução de
equações do 2º grau.
 Os matemáticos da Babilónia já resolviam equações do 2º grau
desde 2000 a.C.;
 Os gregos resolviam também equações do 2º grau à base de
problemas geométricos;
 No século IX, os árabes desenvolveram vários trabalhos sobre a
resolução de equações deste tipo. No entanto, todos eles
consideravam apenas as soluções positivas.
 No século XVI, os matemáticos Europeus começaram a resolver
as equações do 2º grau por processos algébricos. Viéte foi o primeiro
a usar letras para representar incógnitas.
Depois de falarmos um pouco sobre alguns matemáticos
importantes na história das equações do 2º grau, não poderíamos deixar
de falar no brilhante matemático Português Pedro Nunes.
Este matemático Português
do século XVI realizou uma grandiosa
obra na área da Matemática, Física,
Astronomia e nas suas aplicações à
Náutica. No que diz respeito às
equações, Pedro Nunes resolvi-as com
grande rigor de raciocínio embora sem
usar linguagem simbólica.
Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a
equação do tipo:
ax 2  bx  c  0
Com a, b e c números reais e a  0
Equação na forma canónica
ax  bx  c  0
2
Termo em x2
Termo em x
Termo independente
Complete a tabela:
Equação do
2º grau
Equação na
forma canónica
a
b
c
x2  8  0
x2  8  0
1
0
8
3x 2  2 x  5
3x 2  2 x  5  0
3
2
5
x2  0
x2  0
1
0
0
1 2
x
2
1
5x 2  x  3
3
1 2
x  x0
2
1
5x 2  x  3  0
3
1
2
1
0
1
3
3
x


5

Completas
Todos os termos são diferentes de zero.
Equações do
2º grau
3x 2  2 x  5  0
1
5x  x  3  0
3
2
Incompletas
Termo em x e/ou o termo independente
são nulos.
x2  8  0
x2  0

1 2
x  x0
2
Equações
Incompletas
Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:
1. ax 2  c  0 , com a e c  0 , a e c  IR
2. ax  0 , com a  0, a  IR
2
3. ax 2  bx  0 , com a e b  0, a e b  IR
Resolução de Equações
do 2º Grau Incompletas
Um Problema…
“Quais são os números que elevados ao quadrado são iguais a 25?”
O problema pode ser traduzido pela equação:
x 2  25
Agora, resolvendo a equação vem:
x 2  25  x   25  x  5  x  5  x  5
Portanto, C.S.   5,5
Resposta: Os números são o -5 e o 5.
Resolva a equação:
2

x
 25
x  25  0
2
Equação impossível em IR,
pois qualquer número real ao
quadrado é maior ou igual a zero.
• Equações do tipo ax2  c  0 com a e c  0 , a e c  IR
Exercícios: resolva as equações
1)
6 x 2  5  x 2  6 x 2  x 2  5  5x 2  5  x 2  5  x 2  1 
 x   1  x  1  x  1
5
C.S.   1,1
2)
x( x  3)  3x  4  x 2  3x  3x  4  x 2  3x  3x  4  x 2  4
Equação impossível em IR
3)
 8x  32  0
2
 32
 8 x  32  x 
 x2  4  x   4 
8
2
2
 x  2  x  2
C.S.   2,2
4)
Página 185 do manual, exercício 5
Resolução de Equações do 2º Grau Incompletas
2
• Equações do tipo ax  0 , com a  0 e a  IR
Exercícios:
Resolução gráfica:
Resolva as equações:
1)
8
2x  0  x 2 
2
0
2
 x2  0 
C.S.  0
x0
y
6
4
2
x
0
-2
-1
0
1
2
1
2
-2
2)
0
 8x  0  x  
8
2
x0
2
-4
x 0
2
C.S.  0
-6 y
2
-8
0
-2
-1
-2
-4
-6
-8
À representação gráfica destas equações chamamos parábolas.
x
0
-10
-12
Então, de um modo geral, sendo a  0 , vem:
ax  0
2
Logo,
0
x 
 x2  0
a
2
 x0
C.S.  0
Uma equação de 2º grau do tipo
ax 2  0, com a  0
e a  IR, tem uma única solução: o número 0.
Exercícios:
1)
6  3x 2  x 2  6  3x 2  x 2  6  6 
 4 x 2  0  x 2 
0
4
 x2  0  x  0
C.S.  0
2)
 3( x  6)  9x 2  3x  3x  18  9 x 2  3x 
 9 x 2  3x  3x  18  9 x 2  18  x 2 
 x2  2  x   2

C.S .   2 , 2

18

9
T.P.C.
Resolver os exercícios 3 da página 185 do
manual e 4.1, 4.2 e 4.5 da página 186.
Sumário:
Rotações. Isometrias.
Apresentação em PowerPoint:
• Equações do 2º grau: nota histórica e definição.
• Resolução de equações incompletas do tipo:
ax 2  c  0
ax 2  0