Equações do 2º grau
Uma equação diz-se do 2º grau
se depois de simplificada se
escreve na forma
ax  bx  c  0
2
com a, b e c  IR e
a0
Dizemos que uma equação do
2º grau está na forma canónica
se está escrita na forma
ax  bx  c  0
2
com a, b e c  IR e
a0
ax  bx  c  0
2
Observa que:
a representa o coeficiente de x²;
b representa o coeficiente de x;
c representa o termo independente.
Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6.
7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0.
x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.
Exemplos
 x x  3  2  2 x  1 
2
 x2  3x  2  2x2  1 
 x2  2x2  3x  2  1  0 
  x2  3x  3  0
É uma equação
do 2º grau

2x  5x  3  2x  5x  3  0
2
2
Exemplo
3x  4x
5 x  x  2
1 
 x2 
2
2
2
2
3x  4x
5 x  10x

1 
 x2 
1(×2)
1(×2)
2
2
2
 3 x 2  4 x  2  5 x 2  10x  2 x 2 
 3 x 2  5 x 2  2 x 2  4 x  10x  2  0 
 6 x  2  0
É uma equação do 1º grau
Exemplos de equações do 2º grau:
• 2x  4x  3  0
2
a=2, b=4 e c=3
 Equações do
a=4, b= -5 e c=0 2º grau
2
incompletas
x  36  0

a=1, b=0 e c= -36
• 4x  5x  0
2
•
Equação do 2º grau
completa
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b
ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são
iguais a zero.
Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)
x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3.
-2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.
Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)
3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2.
x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.
Resolução de equações do 2º grau incompletas
(Revisões do 8º ano)
Problema 1:
Determina o perímetro de um triângulo
rectângulo de catetos 6 cm e 8 cm.
Resolução:
1º) Desenhar o triângulo rectângulo
e equacionar o problema.
x  6 8
2
2
x
8
2
6
2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta
x 2  62  82 
 x 2  36  64 
 x 2  100 
 x  100  x   100 
 x  10  x  10 -10 não é solução do problema
3º) Verificar se a ou as soluções da equação
são ou não solução do problema.
4º) Dar resposta ao problema
R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm
Resolução de equações do 2º grau incompletas
(Revisões do 8º ano)
Problema 2:
Resolve a seguinte equação, aplicando a Lei
do Anulamento do Produto:
x  4x  0
2
Recorda:
Lei do Anulamento do Produto – Um
produto é zero se e só se um dos seus
factores for nulo, isto é,
ab  0  a  0  b  0
Resolução:
1º) Factorizar o 1º
membro;
2º) Aplicar a Lei do
Anulamento do
Produto;
x  4x  0 
2
 x  x  4  0 
 x  0  x 4  0 
3º) Resolver cada uma
das equações do 1º 
grau e determinar o
conjunto-solução
x0  x4
C.S.  0, 4
Observação:
Para resolver equações do 2º grau incompletas,
aplicando a lei do anulamento do produto, é
necessário que o 2º membro da equação seja
0 (zero) e que o 1º membro da equação seja
um produto.
Para isso, deves rever a factorização de
polinómios que aprendeste no 8º ano e
recordar os Casos Notáveis da Multiplicação.
Por aplicação dos casos notáveis da multiplicação é
possível resolver equações de 2.º grau completas,
transformando-as num produto de equações de 1.º
grau e aplicar a Lei do Anulamento do produto.
Repara no seguinte exemplo:
x 2  8x  16  0  (x + 4)(x + 4) = 0
ax2  bx  c  0 
b
c
 x  x 0
a
a
2
Dividir ambos os membros da
equação por a ≠ 0
Adicionar a ambos os
2
b
 b  c  b 
b 

 x  x         membros da equação  
a
 2a 
 2a  a  2a 
2
2
2
2
2
c
b
b
b
c


2
 x  x     2   Passar para o 2º membro o termo
a
a
 2a  4a a
2
b 
b2 c

x   2  
2a  4a a

Factorizar o 1º membro da equação,
usando os casos notáveis da
multiplicação
2
b 
b2 c

x   2  
2a  4a a

2
b 
b 2  4ac

x  

2
2a 
4a

Reduzimos o 2º membro ao mesmo
denominador e escrevemos na forma
de uma única fracção
Retiramos o quadrado do 1º membro
b
b  4ac
com a noção de raiz quadrada
 x


2a
4a 2
2
b
b 2  4ac
Isolamos a incógnita x e
x 
 calculamos a raiz do denominador
2a
4a 2
 b  b 2  4ac
x
2a
Fórmula Resolvente
Para resolver uma equação do 2º grau, basta
aplicar a fórmula resolvente, isto é:
 b  b  4ac
ax  bx  c  0  x 
2a
2
2
com a , b e c  IR
e
a≠0
Vejamos um exercício prático:
•
Exercício 1:
2x 14x  20  0  x 
2
Aplicando a F.R.
  14 
14
2
 4  2  20
2 2

14  36
14  196 160
x

x
4
4
14  6
14  6
14  6
x
x
 x

4
4
4
20
8
x
 x  x5  x2
4
4
C.S.   2 , 5
Δ>O
Δ=O
O valor de √Δ é real O valor de √Δ é nulo
e a equação tem duas
e a equação tem
raízes reais
duas raízes reais e
diferentes, assim
iguais, assim
representadas:
representadas:
x’ = - b + √Δ
2a
x” = - b - √Δ
2a
x’ = x” = -b
2a
Δ<O
O valor de √Δ
não existe em IR,
não existindo,
portanto, raízes
reais.
As raízes da equação
não são números
reais.