EQUAÇÕES
A primeira referência histórica que
temos sobre equações refere-se ao
papiro de Rhind, um dos documentos
matemáticos dos antigos egípcios.
Sabe-se que os egípcios não
utilizavam a notação algébrica, o que
tornava a solução de equações
cansativas
e
complexas.
Já os gregos resolviam equações
através da Geometria.
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EQUAÇÕES DO 1º GRAU DEFINIÇÃO
Definição: Toda sentença matemática
expressa por uma igualdade, na qual exista uma
ou mais letras que representem números, é
denomidada equação.
Cada letra que representa este número
desconhecido é chamada de variável ou
incógnita.
A expressão matemática situada à esquerda
do símbolo = é denominada 1º membro da
equação
(ou
igualdade).
A expressão matemática situada à direita do
símbolo = é denominada 2º membro da
igualdade (ou equação).
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Matemática
Equações e Sistemas de 1º Grau
Aquelas equações que podem ser colocadas na
forma:
ax + b = 0 com a  0,
são chamadas equações do 1º Grau.
Na solução de certos problemas a linguagem
algébrica e as equações são instrumentos
indispensáveis.
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Matemática
Equações e Sistemas de 1º Grau
Exemplo:
1) O triplo de um número natural, somado a seu
antecessor, é igual ao dobro desse número. Qual é
esse número?
3x + (x - 1) = 2x
3x + x - 1 = 2x
4x - 2x - 1 = 0
2x = 1
x=½
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2) Um número mais a sua metade é igual
a 150. Qual é esse número?
Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.
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Matemática
Sistemas de 1º Grau com duas variáveis
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau
com duas variáveis, x e y, por exemplo,significa
determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução
do sistema.
Podemos encontrar a solução de um sistema usando os
métodos da adição, substituição e comparação.
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Matemática
Sistemas de 1º Grau com duas variáveis
Qual o par ordenado (x,y) que é a solução do sistema ?
x  3y  1

2x  3y  2
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Matemática
Equações e Sistemas de 2º Grau
Aquelas equações que podem ser reduzidas à
forma :
ax2 + bx + c = 0, com a  0,
são chamadas Equações do 2º Grau.
A igualdade x2 = 9 é também uma equação.
Como o expoente da variável x é 2, dizemos que
é uma equação de 2º Grau.
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Nas equações escritas na forma ax² + bx
+ c = 0 (forma normal ou forma reduzida
de uma equação do 2º grau na incógnita
x) chamamos a, b e c de coeficientes.
- a é sempre o coeficiente de x²;
- b é sempre o coeficiente de x,
- c é o coeficiente ou termo
independente.
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Matemática
Equações e Sistemas de 2º Grau
A fórmula resolutiva das equações de 2º Grau
é chamada fórmula de Bháskara.
x=
-b  
2a
onde  é o Discriminante da equação
 = b2 - 4 . a . c
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Raízes de uma equação do
2º grau
Resolver uma equação do 2º grau
significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao
substituir a incógnita de uma
equação,
transforma-a
numa
sentença verdadeira.
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Exemplo:
Determine p sabendo que 2 é raiz da
equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0.
Solução:
Substituindo a incógnita
determinamos o valor de p.
x por 2,
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Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para
, a equação tem duas raízes
reais diferentes.
Para
, a equação tem duas raízes
reais iguais.
Para
, a equação não tem raízes
reais.
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RELAÇÕES ENTRE OS
COEFICIENTES E AS RAÍZES
Considere a equação ax2 + bx + c = 0,
com a ≠ 0 e sejam x'e x'' as raízes reais
dessa equação.
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Observe as seguintes relações:
Soma das raízes (S)
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Produto das raízes (P)
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Exercícios:
1) O quádruplo de um número, diminuído de três,
é igual a 99. Qual é esse número ?
2) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a
quantos anos a soma de suas idades será 72
anos?
3) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20
veículos e 56 rodas. Determine o número de
bicicletas e de carros.
4) A metade dos objetos de uma caixa mais a
terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos
objetos há na caixa?
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5) Em uma fábrica, um terço dos empregados são
estrangeiros e 90 empregados são brasileiros.
Quantos são os empregados da fábrica?
6) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo
de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24
pretas, o número de bolas de cada cor ficará
igual. Qual a quantidade de bolas brancas?
7) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três
pessoas, de modo que as duas primeiras
recebam quantias iguais e a terceira receba o
dobro do que receber as duas primeiras?
8) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O
resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual
é esse número?
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9) Resolva as equações :
a) x2 – 12x + 35 = 0
b) x2 + 6x + 5 = 0
c) x2 – 10x + 24 = 0
d) x2 – 14x = 0
e) x2 – 169 = 0
f) x2 – 5x = 0
g) x2 – 3x – 4 = 0
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10) Uma mãe tem o triplo da idade de
sua filha. Há dez anos, ela tinha sete
vezes a idade da filha. Qual a idade da
mãe
e
da
filha?
11) Compramos 6 kg de chá e 4 kg de
café por um preço total de 16,60 reais.
Sabendo que 4 kg de chá mais 2 kg de
café custam 9,40 reais, calcular o preço
do kg de chá e o de café.
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