Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Dr. Sartori, C. S.
Ementa da Disciplina
1
Bibliografia
1. Louis Leithol, O Cálculo com Geometria
Analítica, Ed. Harbra, V1 e V2, 3a São Paulo, 1994.
2. George B. Thomas, Cálculo, Ed. Pearson Addison
Wesley, V 1 e V2, 10a Edição, São Paulo, 2003.
3. L. H. Guidorizzi, Um curso de Cálculo, Ed. LTC,
V1 e V2, 5a Edição, Rio de Janeiro, 2001.
4. James Stewart, Cálculo, V1 e V2, Ed. Thomson
Pioneira, 5a Edição.
5. Marcello Nitz & Rodrigo Galha, Mathcad 12,
Guia prático, 1a Edição, Editora Érica, São Paulo, 2005.
6. Wilfred Kaplan, Cálculo Avançado, V2, Editora
Edgard Blücher, 1996.
7. Notas de aula: www.claudio.sartori.nom.br
A Derivada
 Definição e interpretação geométrica.
 Regras de derivação.
 Equação da reta tangente e normal.
 Regra da cadeia.
 Derivação implícita.
 Estudo de máximos e mínimos de funções: testes da
primeira e segunda derivadas.
 Taxas relacionadas.
A Integral
 Definição e interpretação geométrica da integral
definida.
 Integral indefinida e Teorema fundamental do
cálculo.
 Regras de integração.
 Técnicas de integração: integrais por partes, frações
parciais e substituições trigonométricas.
 Aplicações: Cálculo de áreas e volumes.
Sites:
1.
2.
3.
4.
Equações diferenciais.
 Técnica da separação das variáveis.
 Equações diferenciais lineares de primeira ordem.
 Equações diferenciais lineares de segunda ordem.
 Equações diferenciais lineares não homogêneas.
 Aplicações: Oscilador harmônico amortecido e
circuitos elétricos.
http://www.wolfram.com/
http://www.wolframalpha.com/index.html
http://www.mathcad.com.br/
http://www.mathworks.com/
Avaliação:

Provas P1, P2 e P3 de pesos iguais.
P1 P2 P3
3
Ms R
 Reavaliação: M f
2
Cônicas e coordenadas polares.
1

Média: M s

Freqüência: f > 75%
1
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Exemplo 2 - A corrente elétrica em um circuito
elétrico é a derivada da carga elétrica em relação ao tempo:
dq
i (t )
dt
Exemplo 3 - A Segunda Lei de Newton. A soma
vetorial das forças externas que atuam num sistema é o
produto da massa do sistema pela aceleração :



d 2r
FR
Fi m
dt 2
i
Derivada
A maioria dos problemas em cálculo envolve o
que chamamos de taxas relacionadas entre duas variáveis,
uma dependente e outra independente. Dependendo do
problema, temos que encontrar a relação que ocorre dessa
taxa com as variáveis envolvidas.
A seguir, definiremos a equação da reta tangente à
uma função f(x) contínua, no ponto de angência P(x1,y1).
Seja P2(x2, y2) outro ponto sobre o gráfico de f(x).
A inclinação da reta que passa por esses dois pontos é dada
pelo coeficiente angular da reta secante:
ms
tg
 Definição: A função f(x) é diferenciável se o
y2 y1
x2 x1
y
x
s
limite
tg
mt
t
lim
x
0
x)
x
0
f ( x)
Diferenciabilidade e Continuidade
y
x
Uma função pode ser contínua em um número, porém
pode não ser diferenciável no mesmo número. Pode-se
mostrar que a continuidade da função em um número não
implica em diferenciabilidade da função neste número.
Entretanto a diferenciabilidade implica em continuidade,
o que é mostrado no teorema abaixo:
 Teorema: Se f é diferenciável em x1, então f é
contínua em x1.
Y
100
f(x)
1. Definição: Se a função f está definida em x1,
então a derivada à direita de f em x1, indicada por f ( x1 )
e a derivada à esquerda de f, denotada por f ( x1 ) são
definidas por:
80
(x2 ,y2 )
40
y
20
f ( x1 )
(x1 ,y1 )
f ( x1
lim
x
0
x
0
e f ( x1 )
X
-20
0
2
4
6
2
existir.
 Definição: Uma função é diferenciável se for
diferenciável em todo seu domínio.
A derivada de uma função é definida por:
f (x
x) f ( x)
f ( x)
lim
x
x 0
se o limite existir.
.
dy df
Notação y ; ; ; Dx y; y;
dx dx
60
f (x
lim
x
Observe que a medida em que x
0, o
coeficiente angular da reta secante tende a ficar o
coeficiente angular da reta tangente.
Assim, podemos definir o coeficiente angular da
reta tangente por:
mt
2
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8
f ( x1
lim
x
x)
x
f ( x1 )
x)
x
0
f ( x1 )
10
Exemplo 4 - Seja f a função definida por
2 x 1 se x 3
f ( x)
8
Exemplos Aplicativos:
x se x 3
. Verificar que f é contínua em
x=3 porém não é diferenciável neste valor de x.
Exemplo 1- Considere uma partícula movendo-se
em uma reta. Tal movimento chama-se movimento
retilíneo . Neste movimento a velocidade escalar
ds
instantânea é a derivada da função posição s(t): v
.A
dt
aceleração instantânea desta partícula é dada por:
Note que :
i ) f (3)
5;
ii ) lim f ( x)
x
3
iii ) lim f ( x)
dv d 2 s
, ou seja, é a derivada segunda da função
dt dt2
posição.
x
a
lim f ( x)
x
3
3
lim f ( x)
x
3
5;
f (3)
portanto f(x) é contínua em x=3. Para verificar a
diferenciabilidade em x=3 observamos que:
f (3 x) f ( x)
8 3 x 5
f ( 3)
lim
lim
1
x
x
x 0
x 0
2
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
x) f ( x)
6 2 x 6
lim
2
x
x
x 0
x 0
Logo, conclui-se que:
f ( 3 x ) f ( 3)
f ( 3) lim
x
x 0
Então f não é diferenciável em x=3.
f ( 3)
f (3
lim
3
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f ( x) log a x
f ( x)
1 1
ln a x
f ( x) log a u
1 1 du
ln a u dx
f ( x)
(e) Função cosseno:
 Teorema 1: Se f é uma função constante, então:
f ( x)
c
f ( x)
f ( x) cos x
f ( x)
f ( x) cos(u)
du
f ( x)
senu
dx

0
x
f ( x)
nxn 1
 Teorema 2: Se :
n  f ( x) xn
f ( x) senx
f ( x) cos x
f ( x) sen(u)
du
f ( x) cos u
dx
 Teorema 4: Se f e g são funções cujas derivadas
existem e se h é definida por:
h( x ) f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( x ) g ( x )
 Aplicações
(i) Equação da reta tangente à função f(x) num
ponto (x0, y0).
 Teorema 5: Se u e v são funções cujas derivadas
existem e se h é definida por:
f ( x ) u( x ). v ( x )
f ( x) u v v u
 Teorema 6: Se u e v, com v 0 são funções cujas
derivadas existem e se f é definida por:
f ( x)
f ( x)
y
y
Seja u uma função de x. Então :
(b) f ( x )
(a) Função exponencial de base e.
f ( x) e x
f ( x ) eu
f ( x ) eu
f ( x) (ln a) au
du
dx
du
dx
f ( x) ln u
f ( x)
x6
x2
x 6
f ( x) 12x3 2 x
f ( x)
6x 7
6
x7
1( x 2 2 x) ( x 1)(2 x 2)
( x 2 2 x) 2
 Teorema 7: (Regra da Cadeia)
Se y é uma função de u e definida por y=f(u) e
(c) Função logarítmica neperiana
f ( x)
3x4
1
f (x) (x4 1)(x5 2x)
f (x) 4x3 (x5 2x) (5x4 2)(x4 1)
x 1
(d) f ( x)
2
x 2x
f ( x)
f ( x) ln x
x0 )
(c)
(b) Função exponencial de base qualquer b
f ( x) a u
1
(x
f (x 0 )
Exemplo 5 - Calcule as derivadas indicadas:
(a) f ( x)
f ( x) a x ln a
f (x 0 )
v2
 Derivadas de algumas funções:
f ( x) a x
f(x0) f (x0)(x x0)
(ii) Equação da reta normal à função f(x) num
ponto (x0, y0).
uv vu
f ( x) e x
3
(f) Função seno
 Teorema 3: Se f é uma função, c é uma constante
e g é uma função definida por:
g( x ) c. f ( x) e Se f ( x)
g ( x) cf ( x)
u( x )
v( x)
senx
dy
existe, e se u é uma função de x, definida por u=g(x) e
du
du
dy
existe, então y é uma função de x e
existe e é dada
dx
dx
por:
dy dy du
dx du dx
ou
1
x
1 du
u dx
(d) Função logarítmica de base a:
f ( x)
y (u)u ( x)
Exemplo 6 - Dada f(x) determine sua derivada:
3
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
4
f ( x)
2x 1
3x 1
f ( x)
2x 1
4
3x 1
3
2x 1
3x 1
4
20
4
Dr. Sartori, C. S.
3
A razão de variação instantânea de y por unidade
de variação em x pode ser interpretada como a variação em
y causada por uma unidade de variação em x se a razão de
variação permanecer constante.
2x 1
3x 1
3. Definição: Se y = f(x) a taxa de variação relativa
de y por unidade de variação de x em x1:
f ( x1 ) Dx y
x x1
f ( x1 )
y
Se a taxa de variação for multiplicada por 100,
teremos a taxa de variação percentual.
2(3 x 1) 3(2 x 1)
(3 x 1) 2
(2 x 1)3
(3 x 1)5

4
Taxas Relacionadas:
Exemplo 7 - Dada f(x) determine sua derivada:
f ( x)
Existem muitos problemas relacionados com a
razão de variação de duas ou mais variáveis em relação ao
tempo, nos quais não é necessário expressar cada uma
dessas variáveis diretamente como função do tempo. Por
exemplo, suponhamos uma equação envolvendo as
variáveis x e y, e que x e y sejam funções do tempo t, uma
terceira variável. Então, desde que a razão de variação de x
em relação a t e de y em relação a t sejam dadas por
dx dy
; , respectivamente, diferenciamos ambos os lados da
dt dt
equação dada em relação a t e aplicamos como ilustra o
exemplo a seguir:
f ( x) (2 x3 5x 2 4)5
5(2 x3 5x2 4)4 (6x2 10x)
 Teorema: Se f é uma função potência onde r é
um número racional qualquer, isto é f(x) = xr, então:
f (x) r xr 1
Exemplo 8 –
2
1
2
8
f ( x)
f ( x ) 4. [ x 3 ]
3
3
3 x
Teorema: Se f e g são funções tais que
3
4 x2
f ( x) [ g( x)]r ; r Q se g ( x)
Exemplo 11 - Uma escada de 5 metros de altura
está
apoiada
numa parede vertical. Se a base da escada
r[ g( x)]r 1 g ( x) desliza horizontalmente da parede a 3 m/seg, a que
velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da
parede, quando a base se encontra a 3 m da parede?
f ( x)
Exemplo 9 -
f ( x)
3
3x 2 4 x
f ( x)
2
1
( 3x 2 4 x ) 3 ( 6 x 4)
3
 Diferenciação implícita
5m
y (m)
Se temos uma relação de y e x definida
implicitamente, para encontrarmos a derivada seguimos o
processo de diferenciação implícita, como ilustra o
exemplo abaixo:
x (m)
Exemplo 10)
x3y y4
2
3x 2 y x 3

dy
dy
4 y3
0
dx
dx
dy
dx
3x 2 y
Seja: t: número de segundos do tempo
transcorrido desde que a escada começou a deslizar da
parede.
x: número de metros na distância desde a base
da escada até a parede em t segundos.
y: número de metros na distância desde o piso
até a parte superior da escada em t segundos.
x3 4 y3
Aplicações da Derivada:
A Derivada como variação:
A Derivada como uma razão de variação é
expressa da seguinte maneira:
Aplicando o Teorema de Pitágoras: y2 x2 25
. Diferenciando em relação a t x e y, pois são funções de t,
dy
dx
teremos: 2 y
. Observe que quando x=3, y=4.
2x
dt
dt
Substituindo teremos:
2. Definição: Se y=f(x), a razão de variação
instantânea de y por unidade de variação de x em x1, é f'
(x1), ou seja, a derivada de y em relação a x em x1, se esta
existir aí.
4
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
dy
x dx
dy
3
9
y 4
.3
dt
y dt
dt
4
4
Observe que o sinal negativo indica que y
decresce quando t cresce.

5
Dr. Sartori, C. S.
c
a, b f c
f x
x
a, b
Neste cado f(c) será o valor máximo absoluto de f
no intervalo.
8. Definição: Diz-se que uma função f tem um
valor mínimo absoluto:
Valores máximos e mínimos de f(x)
c
Vimos que a interpretação geométrica da derivada
é a função inclinação da reta tangente ao gráfico de uma
função f(x) num ponto (x0, f(x0)). Podemos descobrir, por
exemplo, em que pontos ocorre reta tangente horizontal
; estes são os pontos onde a derivada é zero. Também a
derivada pode ser usada para encontrarmos os intervalos
para os quais o gráfico de uma função está acima da reta
tangente e os intervalos para os quais o gráfico está abaixo
da reta tangente. Antes de aplicarmos a derivada para
traçarmos o esboços de gráficos, necessitamos de algumas
definições e Teoremas.
a, b f c
f x
x
a, b
Neste cado f(c) será o valor mínimo absoluto de f
no intervalo.
Um extremo absoluto de uma função em um
intervalo é um valor máximo absoluto ou um valor mínimo
absoluto da função no intervalo. Uma função pode ou não
ter um extremo absoluto num intervalo dado. Nos
exemplos a seguir são dados uma função e um intervalo, e
determinamos os extremos absolutos da função no
intervalo dado.
Exemplo 12 - Dada f ( x )
x 2 encontre os
extremos absolutos de f no intervalo (-3,2] se existirem.
4. Definição: Diz-se que uma função f tem um
valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto
contendo c, onde f é definida, tal que f(c) f(x) para todo x
neste intervalo.
Y
0
X
-2
-4
-6
a
c
b
x
a
c
b
x
-8
-10
-3
5. Definição: Diz-se que uma função f tem um
valor mínimo relativo em c, onde f(x) é definida, tal que
f(c) f(x) para todo x neste intervalo.
-2
-1
0
1
2
O gráfico mostra a função f em (-3,2]. A função f
tem um valor máximo absoluto de 0 em
(-3,2). Não
existe valor mínimo absoluto de f em (-3,2] pois
lim f ( x )
9 , mas f(x) é sempre menor que -9 no
x
3
intervalo considerado.
9. Definição: Diz-se que f (c) é o valor máximo
absoluto da função f(x)
a
c
b
x
a
c
b
f c
f c
c dom f
0
f c
0 ou f c
f c
f x
x dom f
f c
f x
x dom f
11. Teorema: (Teorema do Valor Extremo). Se
f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] então f tem um
valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto no
intervalo [a, b].
Seja f uma função contínua no intervalo fechado
[a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b) e sejam
f(a)=0=f(b). O matemático francês Michel Rolle (1652-
6. Definição: Se c é um número no domínio da
função f(x) e
c dom f
10. Definição: Diz-se que f (c) é o valor mínimo
absoluto da função f(x)
 Teorema: Se f(x) existe para todo x no
intervalo aberto (a,b) e f tem um extremo relativo em c,
onde a < c < b
x
, então c é chamado
de número crítico de f.
7. Definição: Diz-se que uma função f tem um
valor máximo absoluto num intervalo:
5
5
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Dr. Sartori, C. S.
1719) provou que se uma função satisfaz estas condições,
existe pelo menos um número c entre a e b para o qual
ocorre f ' (c) =0.
6
Seja uma função contínua em todos os pontos do
intervalo aberto (a,b) contendo c, e suponhamos que f '
exista em todos os pontos de (a,b) e que eventualmente não
exista em c:
(i) Se f ' (x) > 0 para todos os valores de x num
intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f '(x) <
0 para todos os valores de x num intervalo , tendo como
extremo esquerdo, então f tem um valor máximo relativo
em c.
(ii) Se f ' (x) < 0 para todos os valores de x num
intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f '(x) >
0 para todos os valores de x num intervalo , tendo como
extremo esquerdo, então f tem um valor mínimo relativo
em c.
Derivadas de ordem superior
Se f ' é a derivada de uma função, muitas vezes é
designada de derivada primeira de uma função. Se a
derivada de f ' existe, designamos de derivada segunda de f
e denotamos por f '' . Analogamente designamos por
derivada terceira de f a derivada da derivada segunda, f '''
e assim sucessivamente.
12. Teorema de Rolle.
Seja f uma função tal que:
(i) é contínua no intervalo fechado [a,b].
(ii) é diferenciável no intervalo aberto (a,b)
(iii) f(a)=f(b)=0.
Então existe um número c no intervalo aberto
(a,b) tal que f '(c) =0.
Aplicamos o teorema de Rolle para demonstrar
um dos teoremas mais importantes em cálculo, conhecido
como o teorema do valor médio.
O teorema do valor médio é usado para
demonstrar vários teoremas do cálculo diferencial e
integral. Você deverá estar completamente familiarizado
com o conteúdo deste teorema.
13. Teorema do valor médio: Seja f uma função tal
que:
 O teste da derivada segunda para extremos
relativos
Vimos anteriormente como determinar um valor
máximo relativo ou um valor mínimo relativo de uma
função f num número crítico c , verificando o sinal de f '
nos números dos intervalos à esqueda de c e à direita de c.
Outro teste para extremos relativos é aquele que envolve
somente o número crítico c e é frequentemente um teste
mais simples de aplicar. Chama-se teste da derivada
segunda para extremos relativos.
(i) é contínua no intervalo fechado [a,b].
(ii) é diferenciável no intervalo aberto (a,b)
Então existe um número c no intervalo (a,b) tal
que:
f (b ) f ( a )
b a
Exemplo 13 - Como aplicação deste teorema,
demonstre que, em algum instante de tempo t, a velocidade
instantânea de um corpo descrevendo movimento retilíneo
será igual a sua velocidade média.
f ( c)
Teorema: (Teste da derivada segunda para
extremos relativos) Seja c um número crítico de uma
função f tal que f '(c) =0 e f ' existe para todos os valores
de x num intervalo aberto contendo c. Então se f '' ( c )
existe e:
(i) f '' ( c ) < 0
f (x) tem um valor máximo
relativo em c.
(ii) f '' ( c ) > 0
f (x) tem um valor mínimo
relativo em c.
 Teorema: Seja f uma função contínua no
intervalo I, contendo o número c. Se f(c) é o único extremo
relativo de f em I, então f(c) é extremo absoluto de f em I.
Além disso:
(i) se f(c) é um valor máximo relativo de f em I,
então f(c) é um valor máximo absoluto de f em I.
(ii) se f(c) é um valor mínimo relativo de f em I,
então f(c) é um valor mínimo absoluto de f em I.
 Funções Crescentes e Decrescentes:
 O Teste da Derivada Primeira
 Definição: Dizemos que uma função f definida
num intervalo é crescente neste intervalo, se e somente se:
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
 Definição: Dizemos que uma função f definida
num intervalo é decrescente neste intervalo, se e somente
se: f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
Se uma função f é crescente ou decrescente num
intervalo, então dizemos que ela é monótona no intervalo.
14. Teorema: Seja f uma função contínua no
intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto
(a,b):
(i) Se f ' (x) > 0 para todo x pertencente a (a,b),
então f é crescente em (a,b).
(ii) Se f ' (x) < 0 para todo x pertencente a (a,b),
então f é decrescente em (a,b).
 Teorema:
 Teste da Derivada Primeira para extremos
relativos.
6
6
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Dr. Sartori, C. S.
Concavidade e pontos de Inflexão:
7
(i) f ( x) 0 se x c e f ( x) 0 se x c; ou
(ii) f ( x ) 0 se x c e f ( x ) 0 se x c
 Teorema: Se a função f é diferenciável no
intervalo aberto I contendo , se (c,f(c)) é um ponto de
inflexão do gráfico de f, então se f '' (c) existe:
f ( c) 0
D
Exemplo 14) Determine os pontos de inflexão da
função:
Dizemos que o gráfico da figura é côncavo para
baixo entre os pontos A e C e côncavo para cima entre
os pontos C e E.
Enquanto P move-se pelo gráfico, de A até B, a
inclinação da reta tangente é positiva, e decrescente; isto é,
a reta tangente gira no sentido horário e o gráfico
permanece abaixo da reta tangente. Quando P está em B, a
inclinação da reta tangente é 0 e ainda está decrescendo.
Enquanto P se move pelo gráfico de B até C, a inclinação
da reta tangente é negativa e ainda está decrescendo; a reta
tangente ainda gira no sentido horário e o gráfico ainda
está abaixo de sua reta tangente (côncavo para baixo).
Enquanto P se move pelo gráfico, de C até D, a
inclinação da reta tangente é negativa e crescente; isto é, a
reta tangente gira no sentido anti-horário e o gráfico está
acima de sua reta tangente. Em D a inclinação da reta
tangente é 0 e ainda crescente. De D a E, a inclinação da
reta tangente é positiva e crescente, a reta tangente gira no
sentido antihorário e o gráfico está acima de sua reta
tangente. Dizemos que o gráfico é côncavo para cima de
CaE
7
f ( x)
d2 f
dx2
d2 f
dx2
 Definição: Dizemos que o gráfico de uma
função f é côncavo para cima no ponto (c,f(c)) se existe f '
(c) e se existe um intervalo aberto I , contendo c, tal que
para todos os valores x c, em I, o ponto (x,f(x)) sobre o
gráfico está acima da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)).
 Definição: Dizemos que o gráfico de uma
função f é côncavo para baixo no ponto (c,f(c)) se existe f '
(c) e se existe um intervalo aberto I , contendo c, tal que
para todos os valores x c, em I, o ponto (x,f(x)) sobre o
gráfico está abaixo da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)).
 Teorema: Seja f uma função diferenciável num
intervalo aberto contendo c. Então:
(i) se f (c) 0
cima em (c,f(c)).
(ii) se f (c) 0
baixo em (c,f(c)).
Gráfico de f é côncavo para
Gráfico de f é côncavo para
 Teorema: O ponto (c,f(c) é um ponto de inflexão
do gráfico da função f, se o gráfico tiver aí uma reta
tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal
que se x pertence a I, então:
7
x3 6x2 9 x 1
df
d 3
( x 6 x 2 9 x 1) 3x 2 12x 9 ;
dx dx
d
( 3x 2 12x 9) 6 x 12
dx
Os
pondos
de
inflexão
ocorrem
0
6 x 12 0
x
2
a:
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
8
Dr. Sartori, C. S.
Aplicações para traçar o esboço do gráfico de
uma função
Utilizando todos os resultados discutidos até
agora, para traçarmos o esboço do gráfico de uma função
devemos ter o seguinte procedimento:
7.5
5
(a) Pontos críticos: (Teste da derivada Primeira)
f'(x)=0; análise dos intervalos de crescimento e
decrescimento.
(b) Teste da derivada segunda: f '' (x) > 0; f(x) tem
um mínimo em x ( concavidade para cima em (x,f(x)).
(c) Teste da derivada segunda: f '' (x) < 0; f(x) tem
um mínimo em x ( concavidade para baixo em (x,f(x)).
(d) Pontos de inflexão: Valor de x em que a curva
muda de concavidade: f "(x) = 0
2.5
0
-2.5
-5
8
-2
(a) y
(c) y
3x2
f ( x)
6x; f ( x) 6x 6.
Estabelecendo que f'(x)=0, obtemos x=0 e x=2.
Considerando f ''(x) =0, encontramos x=1. Elaboramos uma
tabela considerando os pontos x=0,x=1 e x=2 e os
intervalos que incluam estes valores de x:
- <x<0 ; 0<x<1 ; 1 < x < 2 ; 2 < x < +
f
x=0
3
0<x<1
x=1
1
1<x<2
x=2
2<x<+
1
f'
+
f ''
-
+3
-
-
-
-3
0
-
+
0
+
+
+
1
2
3
Exercícios:
1) Encontrar a equação da reta tangente e da reta
normal às curvas dadas nos pontos indicados:
x 3 3x 2 3
Intervalo
- <x<0
0
Esboço do gráfico:
Exemplo 15) Dada f ( x ) x 3 3x 2 3 encontre
os extremos relativos de f, os pontos de inflexão do gráfico
de f, os intervalos onde f é crescente, os intervalos onde f é
decrescente, onde o gráfico é côncavo para cima e onde é
côncavo para baixo e a inclinação de qualquer tangente de
inflexão. Trace um esboço do gráfico.
f ( x)
-1
x3 x; P(2, 6) (b) y x 2 ; P( 4,16)
1
; P( 4, 0. 25) (d) y e x ; P(1, e)
x
(e) f ( x ) cos( x ); P ( , 1)
(f) f ( x ) ln x ; P (1, 0)
2) Encontre a equação da reta tangente à curva
y
2 x2
3 que seja paralela à reta 8x - y +3=0
3) Encontre a equação da reta que passe pelo
Conclusão
f é crescente; o
gráfico é côncavo
para baixo.
f tem um valor
máximo relativo; o
gráfico é côncavo
para baixo;
f é decrescente, o
gráfico é côncavo
para baixo;
f é decrescente, o
gráfico tem um
ponto de inflexão;
f é decrescente, o
gráfico é côncavo
para cima.
f tem um valor
mínimo relativo; o
gráfico é côncavo
para cima.
f é crescente; o
gráfico é côncavo
para cima;
ponto (3,-2) e seja tangente à curva y
y
x2
7.
4) Encontre a equação da reta tangente à curva
4 x 3 1 que seja perpendicular à reta x+2y-11=0
5)
Determine a velocidade e a aceleração
instantâneas para a dada função posição de uma partícula
dada abaixo:
(a) s( t )
(b) s( t )
(c) s( t )
3t 2 1
1 t
4 t2
t3
3t 2
9t
4
6) No exercício anterior determine o valor da
velocidade instantânea e da aceleração instantânea,
classificando o movimento (acelerado ou retardado)
(progressivo ou retrógrado) nos instantes:
(a) t = 0s
(c) t =2 s
(b) t = 1 s
(d) t = 3 s
7) Discuta a continuidade e da diferenciabilidade
das funções, na continuidade analise se é de natureza
removível ou essencial:
8
4
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
(a ) f ( x)
(b) f ( x)
1 x 2 , se x
2
(g) f ( x)
1 2 x, se x
2
(h) H ( x )
1 2 x 3 , se x 0
x, se x
(i) f ( x )
0
8) Nos problemas abaixo encontre a derivada da
função dada.
(a) f ( x )
(b) f ( x )
(c) f ( x )
(d) f ( x )
(e) f ( x )
(f) f ( x )
(g) f ( x )
(h) f ( x )
4 x2
(j) h( x )
5x 3
(k) f ( x )
1
x
x2
1
(2 x4 1)(5x3 6x)
x2 2 x 1
x2 2 x 1
x
x 1
5x
1 2 x2
x3 8
x3 8
2x 1
(l) f ( x )
(3x 1)
x 5
(m) H ( x ) f ( x ) g ( x ) l ( x )
(n) H ( x) arcsenx arctgx
14) Diferencie a função
x 1
1
9
Dr. Sartori, C. S.
x
f ( x) ( x 2 3)(2 x 5)(3x 2)
problema 13) n).
x 1
2x
cos( x )
tg ( x )
usando
Exercícios – Aplicações - Derivadas
1) Encontrar a derivada da função dada:
9) Encontre o valor de f ' (a), dada a função:
(a) f ( x) 1 x2 ; a
3
1
(b) f ( x )
x x2 ; a
x
a)
f ( x)
( x 2 4 x 5) 3
b)
f ( x)
(10 5x)4
c)
f ( x)
( x 4) 2
d)
h( u)
( 3u2
e)
g( x)
5) 3 ( 3u 1) 2
(2 x 5) 1 (4 x 3) 2
f)
f ( y)
(
g)
f ( x)
11) Dada f ( x ) x 2 mostre que f ( 0) existe e
encontre seu valor. Demonstre que f é contínua à direita em
0. Trace um esboço do gráfico.
h)
f (r )
i)
g( x)
12) Encontre os valores de a e de b tal que f ' (1)
existe se:
j)
f ( x)
ln(1 4 x 2 )
x 2 se x 1
k)
f ( x)
ax b se x 1
l)
f ( x)
ln 4 x 2
ln x
x
2
x
e
3
10) Dada f ( x ) x , trace um esboço do gráfico
de f. Demonstre que f é contínua em x=0. Demonstre que f
não é diferenciável em x=0, mas que f ( x )
x
x
é, para
x2 )
todo x 0. (Sugestão:Seja x
3
f ( x)
resultado
m) f ( x)
13) Encontre as derivadas das funções:
x 3 3 x 2 5x 2
1 8
(b) f ( x )
x x4
8
t4 1 2
t
(c) F ( t )
4 2
4 3
(d) v ( r )
r
3
3
5
(e) g ( x )
2
x
x4
3
(f) f ( s)
3 ( s s2 )
(a) f ( x )
9
y 7 2
)
y 2
2
7 x 2 3x 1
(r 2 1) 3 (2r 5) 2
( 4 x 1) 3 ( x 2
( 3 x 2 5) 2
n)
f ( x)
x2
e 2
o)
f ( x)
ln( x2 ln( x))
p)
f ( x)
q)
r)
f ( x)
e x ln x
f ( x)
3 sen( 2 x )
s)
f ( x)
t)
h( x )
3
ln x 2
cos( 3 x 2 1)
cosx
sen( x )
2 cos( 2 x )
2) 4
9
do
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
u)
f ( x)
v)
f ( x)
Dr. Sartori, C. S.
8) Acumula-se areia em um monte de forma
dm3
cônica, à razão de 10
. Se a altura do monte é sempre
min
igual a duas vezes o raio da base, a que razão cresce a
altura do monte quando esta é igual a 8 dm?
ln(sen(5 x ))
ecosx
w) f ( x ) (1 cos3 ( x )) sen x
y) F( x) sen(ln( x))
ln(sen( x))e x
x) f ( x)
9) A Lei de Boyle para a dilatação de um gás é
PV=C, onde P é a pressão em Newtons por unidade
quadrada de área, V é o volume do gás, em unidades
cúbicas e C é uma constante. Num certo instante, a pressão
é a 3000 N / m2 , o volume é 5 m3, e o recipiente cresce à
2) Encontrar a derivada da função dada:
3
a) f ( x)
(3x 5) 2
b) g ( x )
2x 5
3x 1
m3
. Encontre a razão da variação da pressão
min
neste momento.
razão de 3
1
4x 2
c) f ( x)
3
d) F ( x)
e) f ( t )
10 ) uma escada de 20m de altura apoia-se em um
dique inclinado de 60 em relação à horizontal. Se a base
da escada está sendo movida horizontalmente em relação
ao dique à razão de 1 dm/seg, com que rapidez move-se a
parte superior da escada quando a base estiver a 4m do
dique?
2 x3 5x2 x
2
t
2t
x2 1
x
x 1
f) F ( x )
g) h ( x )
5 2
x
h) f ( x)
 Exercícios
1) Encontre os pontos críticos das funções dadas:
1
9
9 x
x3 1
i) f ( x ) 4
x3 1
3) Encontre a equação da reta tangente à curva
y
x2
a)
f ( x)
x 3 7 x 2 5x
b)
f ( x)
x4 4 x 3 2 x2 12x
c)
f ( x)
x 5 12x 5
d)
f ( x)
e)
f ( x)
( x2 4) 3
x
a)
f ( x)
4 3 x ;( 1, 2 ]
b)
f ( x)
1
;[ 2, 3]
x
c)
f ( x)
d)
f ( x)
e)
f ( x)
9 no ponto (4,5).
x 16 x 2 na origem.
5)
implícita:
Encontre
a) x2
y2
a
derivada
por
6
1
2
x2 9
2) Nos exercícios abaixo encontre os extremos
absolutos da função dada e trace um esboço do gráfico no
intervalo indicado.
4) Encontre a equação da reta normal à curva
y
10
diferenciação
b) x 3
y3
16
8 xy
1 1
2
1 d) y xy x y
c)
x y
6) Um papagaio de papel está voando a uma
altura de 40m. O garoto está empinando o papagaio de tal
modo que este se move horizontalmente à razão de 3
m/seg. Se a linha está esticada, com que razão o garoto
deve "dar linha" quando o comprimento da corda solta é
50m?
3 x ;[ 3,
)
4
;[ 2 , 5]
( x 3) 2
x 4 1;( 0, 6)
2
7) Uma bola de neve esférica é formada de tal
maneira que seu volume aumenta à razão de 8 decímetros
cúbicos por minuto. Encontre a razão com que é
aumentado o raio da bola de neve quando este for de 4 dm.
f)
f ( x)
g)
f ( x)
se x 5
; [3,5]
x 5
2 se x 5
x
x 2
;[ 1, 2]
3) Verifique se as condições do Teorema de Rolle
são satisfeitas para as funções abaixo; encontre um valor
conveniente para c que ssatisfaça a conclusão do teorema
de Rolle.
10
10
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
a)
f ( x)
x2 4 x 3;[1, 3]
b)
f ( x)
x3 2 x2
cima e onde é côncavo para baixo, e ache os pontos de
inflexão, se existirem::
x 2;[ 1, 2]
4) A interpretação geométrica do teorema do valor
médio é que para um dado c conveniente no intervalo
aberto (a,b), a reta tangente à curva y=f(x) no ponto ( c,
f(c) ), é paralela à reta secante que passa pelos pontos (a,
f(a)); (b, f(b)). Nos itens abaixo, encontre um valor c que
satisfaça a conclusão do teorema do valor médio e face um
esboço do gráfico de f(x) no intervalo [a,b] e mostre as
retas secante e tangente.
x2 ; a 2, b 4
2
b) f ( x )
; a 3.1; b 6.1
x 3
c) f ( x) x3 9 x 1; a
3, b 4
a)
f ( x)
x3 9 x
b)
f ( x)
c)
f ( x)
x4 8x3 24x2
x
d)
f ( x)
e)
f ( x)
f)
f ( x)
h) f ( x )
i) f ( x)
2 x 3 x 2 3x 1
f ( x)
x 2 se x
2
x se x
x
11
x2 1
x2
x2 1
x 2 se x 1
x3
4x 2 + 7x
3x 5 se x
1
x 1 se 1 x 2
7 x se x 2
1
1 x2
2
xe x
1
lim (1 h ) h
2
h
6) Encontre a derivada segunda no problema
2
f ( x ) Ae cx
A e c são constantes
2) Função Lawrenciana
f ( x)
2x 1
b) f ( x)
4 x 3 3x 2 18x
c) f ( x )
(x
d)
f ( x)
e)
f ( x)
4x
3) 4
1
2
e
0
 Apêndice II
 Funções Especiais
1) Função Gaussiana
7) Encontre a aceleração instantânea dada a
função posição de uma partícula:
s( t ) t 5 2 t 4
8) Nos exercícios abaixo encontre os extremos
relativos da função dada, aplicando o teste da derivada
segundaquando possível. Se não o for, aplique o teste da
derivada primeira.
f (x) 3x
3 se x 1
 Limite Binomial fundamental:
anterior.
a)
0
 Apêndice I
(1 x ) 2 (1 x ) 3
2
0
10) No exercício acima trace um esboço do
gráfico, com o auxílio de todo o estudo deste capítulo.
x5 5x3 20x 2
1
x
c) f ( x )
x
f
(
x
)
2
x
3
x
d)
b) f ( x)
e) f ( x )
x2 1
g) f ( x)
5) Nos itens dabaixo, encontre os valores de x
para os quais ocorrem extremos relativos, determine os
intervalor onde f(x) é crescente e decrescente e trace um
esboço do gráfico.
f)
a)
f ( x)
a) f ( x )
11
Dr. Sartori, C. S.
1
4x 2
x x 3
9) Encontre os extremos absolutos da função
dada, se existir e, encontre onde o gráfico é côncavo para
11
A
c x2
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
 Exercícios Diversos
Caso for removível a descontinuidade, defina f(a) tal que a
descontinuidade seja removida:
1) Determine os pontos críticos das funções:
f(x)
x3
a) y
3x 2
b ) f (x ) x 4
3x 3
c) g(x ) x 2
3x
x
x2
d) h(x ) (x 1) (2 x 3
x3
3x 2
b ) f (x ) x 4
3x 3
c) g(x ) x 2
3x
x
x2
5) Para as funções abaixo determine:
4
d) h(x ) (x 1) 2 (2 x 3
5.1) Os extremos relativos de f.
2) 2
5.2) Os intervalos onde f é crescente e
decrescente.
3) Encontre pela definição e pela regra de
derivação apropriada, as seguintes derivadas das funções
abaixo:
x2
3
b) f(x ) x
a) f(x )
5.3) Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é
côncavo para baixo.
2x
5x 2
5.4) Os pontos de inflexão.
5.5) Trace um esboço do gráfico.
4
12 x 2 36
a) y x
4) Encontre a derivada das funções abaixo:
a)
f (x )
2x
x
b)
c)
d)
9
4
f(x) (x
2 x 3) 5(3 x 2 4 x 7 ) 4
f(x) 1 x
1 x
2
32
f(x) (x 1) (x 2 4)1 2
5) Encontre equações das retas tangentes e
3
4 x 2 x que têm inclinação
normais à curva y 2 x
1/2.
6) Encontre equações das retas tangentes e
3
2 x no ponto (1,-1).
normais à curva y x
7) Encontre os extremos relativos e absolutos da
2
4 x 5 no intervalo [-2,3].
função y x
 Exercícios
1) Discuta a continuidade da função:
f(x )
b)
y
x3
3
2x2
5x 1
c)
y
x3
1 2
x
2
2x 2
2
x2
2
3
4) Um fabricante de caixas de papelão deseja
fazer caixas abertas de pedaços de papelão de 12 cm
quadrados, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e
dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do
quadrado que se deve cortar para que se tenha uma caixa
cujo volume seja maior possível.
2) 2
2) Encontre os pontos de inflexão das funções:
a) y
9 x2 4
paraa
3x 2
3) Encontre os extremos absolutos e relativos da
3
função f(x ) x
x 2 x 1 no intervalo [-2,1/2].
4
2
12
Dr. Sartori, C. S.
x 6
;x 3
x 3
1; se x 3
2) Determine se a função abaixo possui
descontinuidade remomível ou essencial no ponto x dado.
12
12
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
eu
f ( x)
 Apêndice
Algumas demonstrações
ln x
Derivadas
a) Função exponencial de base e:
eu
eu
f ( x)
du
dx
f ( x)
a
u
f ( x)
f ( x) log a x
b) Função exponencial de base qualquer b
f ( x)
13
Demonstração 2)
f ( x)
f (x
lim
x
x)
x
0
f ( x)
lim
x
Log a ( x
x)
x
0
Log a x
Demonstração 1)
f ( x)
f (x
lim
x
x)
x
0
f ( x)
lim
x
a
f ( x) a x lim
x
x
1
x
0
a
x
0
x
a
Log a
x
f ( x)
u
a
x
x
a
u 1
f ( x)
0
u
ln(u 1)
ln a
u
lim
x
x
0
x
x
u
f ( x)
0
f ( x)
u
u
f ( x) a lim
a x ln a lim
u 0 ln( u
u
0
1)
ln(u 1)
ln a
1
1
x
f ( x) a ln a lim
a x ln a lim
1
u 0 1
u 0
ln(u 1)
ln(u 1) u
u
1
f ( x) a x ln a
1
0
lim Log a 1
x
x
f ( x)
f ( x)
u
0
0
Veja que se a=e
f ( x)
1
ln e
1
ux
lim Log a 1 u
u
lim Log a 1 u
1
x
1
u
u
f ( x)
e
f ( x) a x ln a
1
x
x
x
Aplicando a propriedade do logaritmo temos:
1
1) u
0
x
x
Substituindo em termos de u teremos:
ln{lim (u 1) u }
Como: lim (u
x
1
Log a 1
x
lim
x
0
Substituindo em (*) teremos:
u
x
x
Chamando de:
Note que:
x
x
Log a 1
1
x
x)
x
0
(*)
Então:
x
(x
lim
Chamando de:
x
1 du
u dx
1 1
; f ( x) log a u
ln a x
f ( x)
u
f ( x)
du
dx
1 1 du
ln a u dx
f ( x)
du
(lna)a
dx
eu
f ( x)
1
; f ( x ) ln u
x
d) Função logarítmica de base a:
f ( x)
f ( x)
13
Dr. Sartori, C. S.
a x ln a
f (x) e x
c) Função logarítmica neperiana
1
limLoga 1 u
xu
1
Log a lim 1 u
u
x
1
f ( x)
Loga e
x
Demonstração 3)
13
1
u
1
u
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
 Exemplos
Gráficos de funções envolvendo Trigonométricas,
polinomiais exponenciais e logarítmicas e funções
racionais.
Aplicações à Física:
Derivada de f(x) = senx
lim
x
0
senx
1
x
x) f ( x)
x
sen( x
x) senx
f ( x) lim
x 0
x
sen( x
x) senx cos x sen x cos x
f ( x)
lim
x
f (x
1.
0
Função
0.75
0.25
0
-0.25
Multiplicando e dividindo o primeiro termo por cos x+1
-15
-10
cos x(1)
-5
0
5
10
15
Observe que:
cos 2 x 1
1
cos x(1)
0
x
cos x 1
2. Circuitos de tensão alternada.
Em
eletrônica,
representa-se
fenômenos
ondulatórios por funções oscilantes como a seno e o
cosseno. Exemplificando na teoria de corrente alternada,
temos uma tensão variando da forma senoidal, assim, para
cada caso, a corrente e a tensão serão estudadas quando
submetemos essa tensão à um:
f ( x) senx lim
sen 2 x
1
cos x
x 0
x
cos x 1
sen x
sen x
f ( x)
senx lim
lim
cos x
x 0
x
0
x
cos x 1
0
f ( x)
senx(1)
cos x
cos 0 1
0
f ( x)
senx(1)
cos x
1 1
f ( x)
cos x
f ( x)
14
0.5
senx(cos x 1) sen x cos x
f ( x) lim
x 0
x
cos x 1
sen x
f ( x) senxlim
cosx lim
x 0
x 0
x
x
x
senx
x
y
1
Substituindo e colocando em evidência teremos:
cos x 1 cos x 1
f ( x) senx lim
x 0
x
cos x 1
14
Dr. Sartori, C. S.
senx lim
a.
Resistor:
Circuito:
Equações (Lei de Ohm)
U U m cos t
U
RI R
Um
R
IR
U IR
100
50
0
t
-50
-100
-0.03 -0.02 -0.01
14
0
0.01
0.02
0.03
cos t
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
15
Dr. Sartori, C. S.
Diagrama de Fasores:
c. Capacitor:
b. Indutor:
15
Equações:
dI Um
cos t
dt L
IL
Um
cos tdt
L
Q
C
UC Um cos t
Q CUm cos t
Equações:
IC
UL
Um co s t
L
Um Csen t
dI
dt
Um
cos( t )
XC
2
U IC
IL
100
Um
U
sen t m cos( t )
L
L
2
50
0
U IL
t
-50
200
-100
100
-0.03 -0.02 -0.01
0
0
0.01
0.02
0.03
t
UC atrasa-se 900 em relação a
-100
Diagrama de Fasores:
-200
-0.03 -0.02 -0.01
0
0.01
0.02
0.03
UC
UL adianta-se 900 em relação a IL
IC
Diagrama de Fasores:
UL
XL
L
t
t
XC
1
C
Costuma-se recordar por:
ELI the ICE man…
IL
15
IC
dQ
dt
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
3.
16
Dr. Sartori, C. S.
A função Gaussiana:
Sendo:
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Brunswick,
Alemanha, o exterior, vida de Gauss' era muito simples.
Antes do 25º aniversário dele, ele estava a favor já famoso
do trabalho dele em matemática e astronomia. Quando ele
se tornou 30 ele foi para Göttingen para se tornar o diretor
do observatório. Ele raramente deixou a cidade exclua em
negócio científico. De lá, ele trabalhou durante 47 anos até
a morte dele a quase 78. Em contraste com a simplicidade
externa dele, Gauss vida pessoal era trágica e complicada.
Devido à Revolução francesa, período napoleônico e as
revoluções democráticas na Alemanha, ele sofreu a política
feroz e a insegurança financeira. Gauss manteve uma
atividade científica incrivelmente rica. Uma paixão cedo
para números e cálculos estenderam primeiro à teoria de
números, para álgebra, análise, geometria, probabilidade, e
a teoria de erros. Ao mesmo tempo, ele continuou pesquisa
empírica e teórica intensiva em muitas filiais de ciência,
inclusive astronomia de observational, mecânicas
celestiais,
inspecionando,
geodesy,
capilaridade,
geomagnetismo, electromagnetismo, óticas de mecanismo,
ciência atuarial. As publicações dele, correspondência
abundante, notas, e manuscritos mostram para ele ter sido
um dos maiores virtuosos científicos de todo o tempo. É
dito, que sem qualquer ajuda, Gauss pôde calcular antes de
ele pudesse falar até mesmo. Ele se ensinou a ler, e
continuaram
a
experimentação
aritmética
dele
intensivamente, porque na primeira classe de aritmética
dele à idade de oito, ele surpreendeu o professor dele
resolvendo
um
problema
de
ocupado-trabalho
imediatamente:
achar a soma dos primeiros cem inteiros. (n(n+1)/2)
=1
=2
=3
0,4
Y
0,3
0,2
16
0,1
0,0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Z
4.
O número de Napier :
John Napier - (Edinburgh:Scottish (1550-1617)) embora a interpretação de Revelação era o empenho de
intelectual principal de Napier, ele estava interessado em
matemática de uma idade cedo. Um MS cedo, só publicou
em 1835, De arte logistica, teria contribuído seriamente a
álgebra, teve isto sido publicado na ocasião. Mirifici
logarithmorum canonis descriptio, 1614, e logarithmorum
de Mirifici canonis constructio,1619, parta o conceito de
logaritmos e publicou a primeira mesa deles. Explicando
troncos, ele sistematizou também trigonometria esférica.
Napier fez uso sistemático de anotação decimal e era um
agente importante em sua aceitação.
Napier foi reputado para ser um mágico na
própria idade dele aparentemente.
lim(1
Y
; denominada de variável
reduzida, observe como varia a distribuição gaussiana com
o aumento de
x
1
e
2
x
z
1 x
)
x
e
2.718281828
)2
2 2
(x
 Gráfico de:
f ( x)
1
1 x
x
0,4
17.5
15
0,3
Y
12.5
68,7%
0,2
10
7.5
0,1
95,45%
5
Fórmulas de Derivação
0,0
-4
-2
0
2
2.5
4
Z
-10
16
-5
5
10
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Fórmulas de Derivação
f ( x1
x) f ( x1 )
f ( x1 ) lim
x 0
x
f ( x1
x) f ( x1 )
e f ( x1 ) lim
x 0
x
f (x
f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x) lim
f ( x0 )
lim
x
f ( x) u n
h( x )
f ( x) g( x)
f ( x)
u( x ). v ( x )
f ( x)
f ( x) a x
f ( x)
u( x )
v( x)
f ( x)
nu n 1u
h ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1 1 du
ln a u dx
f ( x)
senx
f ( x)
cos u
cos x
f ( x)
f ( x)
uv vu
v2
senu
f ( x) g ( x )
y
f ( x) (ln a)au
f ( x)
du
dx
1 du
u dx
1 1
; f ( x) log a u
ln a x
cos x ; f ( x)
sen(u )
senx ; f ( x)
cos(u )
du
dx
f ( x)
du
dx
y
arcsenu
f ( x) g ( x ) [ g ( x) ln f ( x)]
y
y
arctgu
y
y
arcctgu
y
y arc sec u
y
y arcc sec u
uv vu
ln u
y
u
1 u2
u
1 u2
u
1 u2
u
u u2 1
17
f ( x) g ( x)
f ( x)
1
; f ( x)
x
f ( x)
f ( x) log a x
y
f ( x0 )
x0
f ( x) a x ln a ; f ( x) au
ln x
f ( x)
f ( x)
x
x0
y arccos u
x) f ( x )
x
x 0
17
Dr. Sartori, C. S.
u
1 u2
17
y
u
u u2 1
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
Exemplos Resolvidos
Gráficos de Funções
Pii x2 , f x2
y e
x2
y
y
e
2x e
02
f ( x 0) e
y
4
x
1
0
2x e
f ( x)
2x
x 0
f ( x)
2 e
f ( x)
2 e
2x
2x
x2
f ( x) eu
u v
u v v u
x2
y x e
y x e
x2
f ( x) eu
P(0,1)
x2
e
2x e
4
Gráfico de f(x)
2
x2
e
2
(h) y x e x
i. O teste da primeira derivada, encontrando
os pontos críticos;
2
ii. O teste da segunda derivada, identificando
os pontos críticos.
f ( x)
0
x
x2
x2
2
x
dx
2x e
f ( x) 0
d
x2
f( x)
18
du
dx
f ( x) eu
1 1
,
2 e
Pii
 Gráfico de f(x)
1. Dadas as funções, aplique:
i.
O teste da primeira derivada,
encontrando os pontos críticos;
ii.
O teste da segunda derivada,
identificando os pontos críticos.
iii.
Os pontos de inflexão e o esboço do
gráfico.
2
(g) y e x
i. O teste da primeira derivada, encontrando
os pontos críticos;
f ( x) eu
18
Dr. Sartori, C. S.
y
x
y
1e
x2
e
x2
du
dx
x2
x e
x2
x 2x e
x2
x2
x2
1 2 x2
2
2 e0
f ( x 0)
1 2 02
0
f ( x)
 max rel
P (0,1)
x
iii. Os pontos de inflexão e o esboço do
gráfico.
f ( x)
x2
2 e
1 2x
x
x1
1
2
1
2
f ( x2 ) e
0
y
0
1
2
x12
Pi x1 , f x1
x2
2
2
f ( x1 ) e
1 2 x2
f ( x1 ) e
Pi
x22
1
2
f x
1 1
,
2 e
f ( x2 ) e
e
1
2
1
e
2
f x
1
e
1
2
f ( x) 0
1
2
1
e
2
e
x2
1
2
1
2
x2
1 2x2
1 2x2
0
1
2e
P1
1
2e
P2
1
2
x
1 1
,
2 2e
1
,
2
1
2e
ii. O teste da segunda derivada, identificando
os pontos críticos.
2
1
e
18
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
x2
f ( x) e
f ( x)
f ( x)
1 2x2
x2
e
1 2 x2
x2
2x e
f ( x)
2x e
f ( x)
2x e
x
P1
x2
e
x2
4x
3 2x2
1
e
2
2
3 2
1
2
0
19
 max rel
x
1
e
2
2
1
2
f ( x)
1 1
,
2 2e
1
2
3 2
1
2
0
f ( x)
1 1
,
2 2e
P2
1 2 x2
1 2 x2 2
1
)
2
f (x
x2
e
1 2x2
2
1
)
2
f (x
19
Dr. Sartori, C. S.
 min rel
 Gráfico de f(x)
x
iii. Os pontos de inflexão e o esboço do
gráfico.
x2
2x e
3 2 x2 0
3
2
0
xii
xi
xi
0
xii
f ( xi
3
2
0) 0 e
f ( xii )
Pii xii , f xii
xiii
3
2
f ( xiii )
Piii xiii , f xiii
3 2x2
02
0
3
2
xiii
f ( xi ) 0
3
e
2
3
2
f ( xii )
Piii
3
2
f ( xiii )
3
,
2
f( x)
4
2
0
Pi 0,0
3
2e3
x
x
Gráfico de f(x)
3
3
,
2 2e3
Pii
3
e
2
y
f ( x)
3
2e3
3
2e3
19
2
4
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
(a)
x3
3
f ( x)
3 x2
2
20
Dr. Sartori, C. S.
4 x 2
1.1) O teste da primeira derivada, encontrando os
pontos críticos;
f x1
0
f x1
24 3 5
x1 , f x1
4,
f ( x) x 2 3 x 4
f (x) 0
b
2a
x
x1
f x1
f x1
1
f x2
x2
x2
1
1
2
41
4
1
f x2
3
1
1
x2 , f x2
3
1
2
f
f xi
x
1 3
5
f ( x)
25
1,
3
2 x 3 0
3 3
2
 max rel
x
20
3 2
2
3
2
27 81 96
24
3
2
3
2
xi
4
3
2
2
150
24
3 150
,
2 24
f x 
40
20
4
2
x
2
2
 20
4
3
xi , f xi
1 2
 40
1 3
6
3 2
2 9 36 25
6
6
25
1,
6
f x
x
3
2
f xi
1.2) O teste da segunda derivada, identificando os
pontos críticos.
f ( x) x2 3 x 4
 min rel
1.3) Os pontos de inflexão:
64 48
14
3
2
128 144 84
50
6
3
50
4,
3
1
3
2
x2 , f x2
4
4
f x2
0
43 3 42
4 4 2
3
2
x1 , f x1
x2
f x2
4ac
2a
3
f x1 4
4
4
2
21
3 9 16
x
2
2
x1 4
3 25
x
x2 1
2 2
x1 4
x1
b
3
21
x
f x2
x2 3 x 4 0
f ( x)
50
3
2x 3
20
4
6
8
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
2
4
x
(b) f ( x ) x
1.1) O teste da primeira derivada, encontrando os
pontos críticos;
1.3) Os pontos de inflexão:
f (x) 2 x 4 x3
f (x) 0 2 x 4 x3 0
2 x 1 2 x2 0
f
x
f xi
1 2 x2 0
1
; x3
2
x2
0
P1 0,0
f x2,3
1
2
1
2
1
2
1
2
4
f xi
6 11
36 6
1
6
1
6
2
4
1
6
6 11
36 6
1 5
,
6 36
x2
1
2
P2
1 1
,
2 4
xii , f xii
1 5
,
6 36
x3
1
2
P3
1 1
,
2 4
2x 4x
f x1 0
f x
2 12 0
x1 , f x1
f x2
0
f x2
0
2 12
1
2
3
 min rel
4
1
2
x3 , f x3
2
4
f ( x)
1 1
,
2 4
x2 , f x2
2 12
1
2
1 1
,
2 4
1
2
P1 0,0
1
2
21
x
1
2
x
1
2
1
36
y
f ( x)
0
1
6
1
2 12 x
2
1
36
5
36
xi , f xi
3
1
6
5
36
1 1 2 1 1
2 4 4 4
f ( x)
f x3
1
6
4
1
6
1
2
1.2) O teste da segunda derivada, identificando os
pontos críticos.
f x2
2
1
6
xi
f x2,3
2
f x1
1
6
1
6
f xi
2
2
12
x2
1
6
f xi
f x1 0
2 12 x2 0
f x
2 x 0
x1 0
21
Dr. Sartori, C. S.
 max rel
x
2
4
f ( x)
 max rel
x
21
2
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
(c)
x2
f ( x) x e
1.1) O teste da primeira derivada, encontrando os
pontos críticos;
x
f ( x) 1 e
2
2
1 2 x
2
1
2
1
e
2
1
2e
f ( x) e
ex
f x
f x
2
f x
e
x2
f x
f x1
x2
2 xe
e
f x
x2
f x
2xe
1
e
2
1
2
x2
2xe
x2
4 x
4 x
f ( x2
1
2
3
)
2
P2 x2 , f x2
2 x2 3
2
0
22
2
3
0
f x
 min rel
x
x2
f ( x3
2
3
2 x2 3
3
)
2
22
0
P1 0,0
2 x2 3 0
3
3
x2,3
2
2
3
e
2
P2
3
e
2
0
P3 x3 , f x3
0
x1 0
2
6 x 4 x3
x2
1
2
2
f (x1 0) 0 e 0
2 x 4 x3 4 x
x2
2
P1 x1, f x1
2
1
2
1
1
e2 2
2
x2 , f x2
2x 0
2
e
x
1.3) Os pontos de inflexão:
1 2 x2
2 x 1 2 x
e
2
x2
1 2 x2
f x
1
2
e
 max rel
1
1
,
2 2e
P2
1
2e
1 2 x
1 2 x2
1
2
x2
f
1.2) O teste da segunda derivada, identificando os
pontos críticos.
x2
f ( x)
1
e
2
2
f x2
1
,
2
P2
1
2
f x2
1
1
,
2 2 e
P1
1
2
x2
0
1
2
1 12
2
e
2
2
0
x1, f x1
1
1
,
2 2 e
P1
0
1
2
f x1,2
1
2
x1
f x1
1
2
x
1
; x2
2
x2
1 2 x2
1
2
f x1
2
1 2 x2
x
e
x
2xe
2 x2 e
x2
f ( x) e
f ( x) 0
x
x2
f ( x) e
x1
22
Dr. Sartori, C. S.
P3
3
2
2
3
2
3
e
2
3 3
,
e
2 2
3
2
3
,
2
3
2
2
3
e
2
3
e
2
3
2
3
2
0
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
2
0
x3
f x
y
Análise das
assintótico da função:
0.6
2
x
lim x
x
1
1
2
3
x
e
1
x
1
x
lim x
0.2
x
assíntotas
0.4
3
23
Dr. Sartori, C. S.
0
0.2
comportamento
x
1
x
23
0.4
0.6
(d)
f ( x) x
1
x
y
4
1.1) O teste da primeira derivada, encontrando os
pontos críticos;
f (x) x x 1
f (x) 0 1 1 x 2 0
1
1
1 2 0 1 2
x2 1
x
x
x 1
1
x1 1 f x1 1 1
P1 1,2
1
1
1 f x2 1 1
P2 1, 2
1
x2
2
4
2
f
(e)
f ( x)
x
1 x2
1.1) O teste da primeira derivada, encontrando os
pontos críticos;
f ( x)
f ( x)
0
x1 , f x1
1 1 x2
1 x2
x
f x2
1
2
1
3
2
f ( x)
f ( x)
f x2
0
x2 , f x2
P2 1, 2
 max rel
x
f (x) 0
x1,2
1.3) Os pontos de inflexão:
23
x 1 x2
1 x2
f ( x)
 min rel
P1 1,2
1 x2
x
2
f x1 1 3 2
1
f x1
4
4
2
x3
x
2
2
1.2) O teste da segunda derivada, identificando os
pontos críticos.
f ( x) 1 1 x
x
2
2
x 2x
2
1 x2
1 x2
2
1 x2 0
1
Métodos de Cálculo II - Capítulo 1 - Derivadas
x1 1
x2 1
f x1 1
f x2
1
1
1 12
1
2
1 1
1
2
P1 1,
1
2
P2
1
2
2
f x2
1
2
1,
1 x
1 x
1 x2
1 x2
2
1 x
2 x 1 x2
2
f x
2x 1 x2
2
2x 1 x2
f x
f
x
2x
x
f
1 x
f x1 1
x1 , f x1
x
2 1
0
2x 0
0
xi
2
2 1 x
24
0
2 3
0
0
1 02
Pi xi , f xi
Pi 0,0
f xi
0
x2 3
0
1 x2
f xii
xii ,iii
3
3
3
1
Pii xii , f xii
2
3
3
4
2
Pii
3,
3
4
4
f xiii
1 x2 2 2 x2
3
3
3
4
2
1
3
2 3
3 x
Piii xiii , f xiii
2
1 x2
y
0.4
0.2
10
4
0
8
2 3
1 1
3
4
3,
0.6
3
2 1 12 3
Piii
3
2 x x2 3
1
P1 1,
2
 min rel
2x x2 3
4
1 x2
f x
2 x x2 3
x
2
2 1 x2 2x
1 x2
2x
x
1 x2
22
1 x
f
f
2 1 x2
1 x2
4
0
8
2 3
1
1 x
1 x2
f x
3
1.3) Os pontos de inflexão:
2 2
1 x2
2
1
1,
2
P2
2
2 2
1 x2
1
1
x2 , f x2
2
1 x2
f x
1
1
1.2) O teste da segunda derivada, identificando os
pontos críticos.
f ( x)
24
Dr. Sartori, C. S.
x
5
5
 0.2
 0.4
f x
 max rel
 0.6
x
24
10