PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA
DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B
2005/2
SUMÁRIO
1. LIMITES E CONTINUIDADE ..................................................................................................................... 1
1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE......................................................................................................... 1
1.2. FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO .................................................................................................. 2
1.3. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 3
2. APLICAÇÕES DE FUNÇÕES...................................................................................................................... 4
3. DERIVADAS ................................................................................................................................................ 7
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
PROBLEMA DA RETA TANGENTE ................................................................................................... 7
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO .................................................................................. 7
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA ............................................................. 8
REGRAS DE DERIVAÇÃO .................................................................................................................. 8
APLICAÇÕES DE DERIVADAS ........................................................................................................ 10
RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 12
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO ....................................................................... 14
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
PONTO CRÍTICO ................................................................................................................................ 14
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE ..................................................................... 14
DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO.................... 14
DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO ....................................... 15
RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 17
5. INTEGRAL INDEFINIDA.......................................................................................................................... 18
5.1. PRIMITIVA.......................................................................................................................................... 18
5.2. REGRAS DE INTEGRAÇÃO.............................................................................................................. 18
5.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 22
6. INTEGRAL DEFINIDA.............................................................................................................................. 23
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
PROPRIEDADES BÁSICAS ............................................................................................................... 23
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA .................................................... 24
ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS ................................................................................... 25
RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 25
7. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................................... 26
1. LIMITES E CONTINUIDADE
1.1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
E1) Considere a função f(x) = x + 1.
a) Qual é o domínio de f ?
b) Represente o gráfico de f.
c) Observe o gráfico de f e responda:
y
0
x
O que você pode dizer sobre o valor de f(x), quando x está próximo de 1 ?
E2) Substitua a função do exemplo anterior por f(x) =
x 2 −1
.
x −1
y
0
x
⎧ x 2 −1
⎪
E3)Considere agora a seguinte função f(x) = ⎨ x − 1 , se x ≠ 1
⎪⎩ 4, se x = 1
y
0
x
1
⎧ x − 1, se x ≥ 1
E4) Repita para a função f(x) = ⎨
⎩2 − x, se x < 1
y
0
x
lim f ( x ) = L se e somente se lim f ( x ) = lim f ( x ) = L.
x →a +
x→a
x →a −
Se lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , então lim f ( x ) não existe.
x →a +
x →a −
x→a
1.2. FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO
Uma função f é contínua no ponto a se forem satisfeitas as seguintes condições:
a)f(a) existe
b) lim f ( x ) existe
c) lim f ( x ) = f(a)
x→a
x→a
Observações:
a) Se uma ou mais destas três condições não for satisfeita, dizemos que a função f é descontínua em a, ou
que a é uma descontinuidade de f.
b) As funções polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 +a2xn-2 + ... + an e racional f(x) =
p( x )
são continuas em
q( x )
cada ponto de seus domínios.
lim f ( x ) = f(a)
x→ a
E5) Calcule os limites abaixo, se existirem:
1) lim ( 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 )
x→2
2) lim
x → −1
x −1
2
x +1
3) lim
x →2
x 2 − 2x
x−2
4) lim
x → −1
⎧x 2 − 2, se x < −1
⎪
E6) Se f(x) = ⎨2 x + 1 , se x > −1 encontre lim f ( x ). A função f é continua em -1? Justifique.
x → −1
⎪ 1 , se x = -1
⎩
2
x +1
x2 −1
E7) Seja f a função cujo gráfico aparece abaixo.
y
3
-10
-5
0
5
x
Determine:
1) Dom f
2) Im f
3) lim f(x)
4) lim f(x)
5) lim f(x)
6) lim f(x)
7) lim f(x)
8) lim f(x)
x→ −5
x→ 0
x→ −10
x→ 5
x→ +∞
x→ −∞
E8) Seja f a função cujo gráfico aparece abaixo.
y
6
-4
0
4
8
x
-3
Determine:
1) Dom f
2) Im f
3) lim f(x)
4) lim f(x)
5) lim f(x)
6) lim f(x)
7) lim f(x)
8) lim f(x)
x→ −4
x→ 0
x→ 4
x→ 8
x→ +∞
x→ −∞
E9) Use limites laterais para verificar se existe lim f(x) para as funções:
x→1
⎧⎪4 − x 2 , se x ≥ 1
2) f(x) = ⎨
⎪⎩2 + x 2 , se x < 1
⎧2 x + 1, se x ≥ 1
1) f(x) = ⎨
⎩ x − 3, se x < 1
1.3. RESPOSTAS
E5) 1) 25
2) -1
3) 2
E7) 1) ℜ − {−5}
2) ℜ
E8) 1) ℜ − {−4,4}
2) (-3, + ∞)
E9) 1) NE
4) −
3) 3
3) 6
1
2
E6) NÃO, lim f ( x ). = -1 e f(-1) = 1
x → −1
4) +∞
5) NE
4) –3
5) NE
2) 3
3
6) 3
6) 6
7) 3
7) +∞
8) −∞
8) 6
2. APLICAÇÕES DE FUNÇÕES
2.1. FUNÇÃO OFERTA : q = f(p)
Expressa a relação entre o preço e a quantidade oferecida de uma mercadoria, descrevendo desta forma
o comportamento do produtor.
2.2. FUNÇÃO DEMANDA : q = f(p)
Expressa a relação entre o preço e a quantidade demandada de uma mercadoria, descrevendo desta forma
o comportamento do consumidor.
Observação: Seja P0(p0,q0) o ponto de intersecção dos gráficos das funções oferta e demanda, observe
que, neste ponto, a oferta é igual a demanda. Então:
a) P0 é denominado ponto de equilíbrio de mercado ;
b) p0 é denominado preço de equilíbrio de mercado;
c) q0 é denominado quantidade de equilíbrio de mercado.
E1) Dadas as funções q = 2p - 2 e q = -p + 13, respectivamente oferta e demanda para um certo produto,
determine:
1) o ponto de equilíbrio de mercado;
2) os seus gráficos no mesmo sistema de eixos.
2.3. FUNÇÃO CUSTO TOTAL: C(q) = Cv(q) + Cf
Cv : Custo Variável
Cf : Custo Fixo
q : quantidade produzida
E2) Se a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto é dado pela função
C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determine:
1) o custo fixo;
2) custo variável;
3)o custo de fabricação de 10 unidades;
5)o custo de fabricação da 11a unidade.
4) o custo de fabricação de 11 unidades.
C( q )
q
3
E3) Se a função Custo Total é dada por C(x) = x – 30x2 + 400x + 500, determine a função custo médio.
2.4. FUNÇÃO CUSTO MÉDIO: Cme(q) =
4
2.5. FUNÇÃO RECEITA TOTAL: R(q) = p.q
p : preço unitário de venda
q : quantidade vendida(quantidade demandada)
E4) Se a demanda x de um certo produto é dada pela função p = -2x + 100 , determine:
1) a função Receita;
2) a receita decorrente da venda de 5 unidades;
3) a receita decorrente da venda de 6 unidades;
4) a receita decorrente da venda da 6a unidade;
Observação: Os pontos de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo são denominados pontos
de nivelamento.
R (q )
q
E5) Se a função Receita Total é dada por R(x) = – 2x2 + 100x , determine a função Receita Média.
2.6. FUNÇÃO RECEITA MÉDIA: Rme(q) =
2.7. FUNÇÃO LUCRO TOTAL: L(q) = R(q) – C(q)
E6) Dadas as funções C = q2 + 2q + 5 e R = 8q, respectivamente Custo e Receita para um certo produto,
determine:
1) os pontos de nivelamento;
2) os seus gráficos no mesmo sistema de eixos;
3) o intervalo onde não ocorre prejuízo.
E7) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = -x2 + 5x e C(x) = ( x – 1)3 + 4 . determine:
1) Determine a função Lucro Total
2)Faça os gráficos das funções Custo Total , Custo Fixo e Custo Variável sobrepostos
E8) Um empresário produz e vende um certo produto, cujo custo médio de fabricação é dado por
5
Cme(q) = q + 2 + . Sabendo que o produto acabado é vendido por 8 u.m. e que q representa a
q
quantidade produzida e vendida , determine as funções Custo, Receita e Lucro.
5
2.8. RESPOSTAS
E1) 1) (5,8)
E2) 1) 500
2) CV = x3 – 30x2 + 400x
E3) Cme = x2 – 30x + 400 +
3) 2500
500
x
E4) R = -2x2 + 100x
E5) Rme = -2x + 100
E6) 1) (1,8) e (5,40)
3) (1,5)
E7) 1) L = -x3 + 2x2 + 2x – 3
E8) C = q2 + 2q + 5, R = 8q , L = -q2 + 6q – 5
6
4) 2601
5) 101
3. DERIVADAS
3.1. PROBLEMA DA RETA TANGENTE
No gráfico da função f abaixo, como se pode definir a reta tangente no ponto P(x1, f(x1)) ?
y
f
f(x1+ ∆x )
um novo ponto Q da curva , cujas coordenadas são (x1+ ∆x , f(x1+ ∆x )).
Q
∆y
t
f(x1)
P
0
x1
Atribuindo-se um acréscimo ∆x para x1, obtém-se a abscissa x1 + ∆x de
s
∆x
A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade as =
∆y
.
∆x
Considerando-se o acréscimo ∆x cada vez menor ( tendendo a zero ), o
x 1+ ∆ x x
ponto Q se desloca sobre a curva aproximando-se de P, e a reta secante
s gira sobre o ponto fixo P, tendendo a posição limite da reta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P.
Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(x1, f(x1)) como sendo a
f ( x 1 + ∆x ) − f ( x 1 )
∆y
ou lim
.
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x
reta, se existir, que passa por P e cuja declividade é at = lim
Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(x1,y1) e tem
declividade a é
y – y1 = a(x – x1)
E1) Seja a função definida por f(x) = x2.
1)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1.
2)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 1.
3)Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos.
3.2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
f ’(x1) = lim
∆x →0
f ( x 1 + ∆x ) − f ( x 1 )
∆y
ou lim
x
0
∆
→
∆x
∆x
7
3.3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA
f ’(x) = lim
∆x →0
Notações:
f ’(x) , Dx f(x) ,
∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
ou lim
∆
x
→
0
∆x
∆x
dy
d
,se y = f(x).
f ( x ) ou y’ , Dx y ,
dx
dx
E2) Seja a função definida por f(x) = 4x – x2 no ponto P(1, 3).
1)Encontre a derivada da função f.
2)Calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.
3)Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos.
E3) Determine as derivadas das funções abaixo, usando a definição:
1) f(x) = 5
2)f(x)=2x - 3
3) f(x)=x2 – 3x
4) f(x)= -x2 +4x - 6
3.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO
1. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE
Dx c = 0
2. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE
Dx x = 1
3. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL
(ex)’= ex
Observação: O número e = 2,71828… é um irracional denominado número de Euler em homenagem ao
matemático suíço Leonard Euler.
4. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL
(ln x )’=
1
x
5. DERIVADA DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES
(f(x)+ g(x))’= f ’(x)+ g ’(x)
8
6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO
(c.f(x))’ = c.f ’(x)
E4) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x – 3
2) y = ex + 5
3) y = 4 – ln x
5) y = 7 – 6x
6) y = 3ex + 8ln x –1
7) y =
9) y =
x ln x
+
+ 5
3
2
4) y = 2x + e
12x − 9
3
8) y =
12x − 9
5
10) y = ln 4 – 3e + 2π -1
7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
(xp)’= pxp-1
E5) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x4 – 3x2 + 2x – 3
2) y =
2 x 2 − 3x
x
5) y =
4) y =
x2
− 3 x+e
2
3) y = x 3 − 2e x − πx + e 2
2 x 2 − 3x
x
3
7) y = 2 x + 33 x
8) y =
10) y = (x2-1)(2+x)
11) y =
3
x
6) y =
2
+
2
3x
3
2x
2
−
9) y = x x −
x ln x
+
+ 5
3
2
1
x
x
3
x
12) y = ln 4 – 3e + 2π -1
8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES
(f(x).g(x))’= f(x).g’(x) + g(x).f ’(x)
9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES
'
⎛ f ( x ) ⎞ g ( x ).f ' ( x ) − f ( x ).g' ( x )
⎜⎜
⎟⎟ =
[g( x )] 2
⎝ g( x ) ⎠
E6) Encontre y’, sabendo que:
1) y = x.ln x
2) y = 3x2ex
5) y = ex lnx
6) y =
2 − 3x
1− x
4) y =
x2 + 2
1 + 2x
7) y = 5x3ln x
8) y =
3( x 2 − 1)
x
3) y =
ex
2x
9
9) y =
2
3 − 2x
10) y =
x 2 −1
x +1
E7) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 2x + x.ln x no ponto x = 1.
3x − 1
E8) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x)=
no ponto x = -1.
1− x
10. DERIVADA DA COMPOSTA DA POTÊNCIA COM UMA FUNÇÃO f
([f(x)]p)’ =p.[f(x)]p-1.f ’(x)
11. DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL COM UMA FUNÇÃO f
(ln f(x) )’ =
f ' (x)
f (x)
12. DERIVADA DA COMPOSTA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL COM UMA FUNÇÃO f
(ef(x) )’= ef(x) .f ’(x)
E9) Encontre y’, sabendo que:
1) y = (2-x)6
5) y =
2) y =
3
2
2( x − 4 x )
9) y = 3 ln x 2
13) f(x) = e − x
2
2
17) f(x) = x .ln x
Observação:
3
2
6) y =
1
(2 x + 3)
5
2
3 1− x
2
3) y = 4x − 2
7) y = e x
2 −5
4) y =
8) y =
x2 + 5
1
ex
10) y = ln (5x+2)
11) y = (x2+3x-1)2
12) y = e 3x + 2
14) f(x) = ln(4-5x)
15) f(x) = e 2 x . ln 2x
16) f(x) =
18) f(x) = − e
−
x2
2
19) f(x) = e
ln 3 x
e 3x
1− x
20) f(x) = ln e5x
eln u = u e ln eu = u
E10) Determine a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x) = x.e-x no ponto x = -1
E11) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y =
x 2 − 3 no ponto x = 2.
3.5. APLICAÇÕES DE DERIVADAS
1. CUSTO MARGINAL : Cmg(x) = C’(x)
Sendo C a função Custo Total para produzir “x ” unidades de um certo produto, chama-se Custo Marginal
a derivada da função Custo Total em relação a x.
10
E12) Se a função Custo Total é dada por C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 500, determine a função custo marginal.
C ( x + ∆x ) − C ( x )
∆x → 0
∆x
Observação: Da definição de derivada: C’(x) = lim
Para ∆x muito pequeno C’(x) ≅
C ( x + ∆x ) − C ( x )
C( x + 1) − C( x )
, fazendo ∆x = 1, tem-se: Cmg =
∆x
1
No exemplo acima: Cmg(10) = 100 ≅ C(11) – C(10) = 101.
Então, o custo marginal é aproximadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade
adicional. No exemplo, Cmg(10) é aproximadamente o custo da décima primeira unidade.
2. RECEITA MARGINAL : Rmg(x) = R’(x)
Sendo R a função Receita Total decorrente da venda de “x ” unidades de um certo produto, chama-se
Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a x.
E13) Se a função Receita Total é dada por R(x) = – 2x2 + 100x, determine a função receita marginal.
Observação: Do mesmo modo que a custo marginal, a receita marginal representa, aproximadamente, a
variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais, a partir de “x ” unidades.
No exemplo anterior: Rmg(5) = 80 ≅ R(6) – R(5) = 78. Então, a receita marginal calculada
no ponto 5 é a variação aproximada da receita decorrente da venda da 6a unidade.
3. LUCRO MARGINAL : Lmg(x) = L’(x)
Sendo L a função Lucro Total decorrente da produção e venda de “x ” unidades de um certo produto,
chama-se Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a x.
E14) Se a função Receita é dada por R(x) = -2x2 + 100x e a função Custo Total dada por C(x) = x2 +10x + 375,
onde x representa a quantidade produzida e vendida, determine:
1) a função Lucro Total;
2) a função Lucro Marginal;
3) o lucro marginal ao nível de 10 unidades;
4) a interpretação do resultado 3.
11
E15) Se a função Receita é dada por R(x) = 100x e a função Custo Total C(x) = x2 +20x + 700, onde x
representa a quantidade produzida e vendida, determine:
1) a função Custo Marginal;
2) a função Custo Médio;
3) a função Receita Marginal;
4) a função Receita Média;
5) a função Lucro Total;
6) a função Lucro Marginal;
7) o custo de produção de 11 unidades;
8) o custo de produção da 11a unidade;
9) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da 11a unidade;
10) a receita decorrente da venda de 11 unidades;
11) a receita decorrente da venda da 11a unidade;
12) use a função Receita Marginal para estimar a receita decorrente da venda da 11a unidade;
13) o lucro decorrente da produção e venda de 11 unidades;
14) o lucro decorrente da produção e venda da 11a unidade;
15) use a função Lucro Marginal para estimar o lucro decorrente da produção e venda da 11a unidade;
E16) Se a função Custo Total associada à produção de um bem é dada por C(q) = 1000 + 3q +
q2
, onde q
20
representa a quantidade produzida, determine:
1)o custo de produção da 21a unidade;
2)a função custo marginal;
3)o custo marginal ao nível de 20 unidades e interprete o resultado obtido.
E17) Dadas as funções Receita e Custo R(x) = - x2 + 9x e C(x) = 2x + 6, determine o Lucro Marginal no
x = 2 e interprete o resultado obtido.
3.6. RESPOSTAS
E1) 1) 2
2) y = 2x – 1
E3) 1) f’(x) = 0
2) f’(x) = 2
E2) 1) 4 -2x
2) 2
3) f’(x) = 2x – 3
12
4) f’(x) = -2x + 4
2) y’= ex
E4) 1) y’= 1
7) y’= 4
8) y’=
E5) 1) y’= 4x3 – 6x + 2
6) y’=-
3
x
+
3
1
10) y’= 3x2+ 4x – 1
E7) 3
e x ( x − 1)
2x
1 1
+
3 2x
9) y’=
10) y’= 0
3) y’= 3x2 –2ex - π
2) y’= x - 3
1
x
+
1
3
8) y’ = −
x2
1 1
11) y’= +
3 2x
2) y’=
−6x + 12
2
(x − 4x )
3) y’
(1 − x )
3
−10
(2x + 3)
6) y’=
2x
3x
5) y’=
9)
2
3
x2
3 x
2
−
3
2
3 x
2x 2 + 2x − 4
(1 + 2 x )
x
9) y’=
2
5) y’=ex(
2
4
1
+ ln x)
x
10) y’= 1
(3 − 2x ) 2
2
4) y’=
4x − 2
x 2 −5
x +5
8) y’=-e-x
e 3 x ( 4 − 3x )
(1 − x )
9) y’=
13) y’= − 2xe − x
12) y’=3e3x+2
16) y’=
x
2
2
6
x
2
17) y’= 2xln x3+3x
x2
2
19) y’= 3
20) y’= 5
E12) Cmg = 3x2 – 60x + 400
E11) y = 2x – 3
2) Lmg = -6x + 90
E15) 1) Cmg = 2x + 20 Cme = x + 20 +
6) Lmg = -2x + 80
E16) 1) 5,05
2
3x 2 + 3
7) y’=2x e
2 3
3 (1 − x )
E14) 1) L = -3x2 + 90x – 375
13) 59
2
3) y’=
6
1
15) y’= e 2 x ( + 2 ln 2x )
x
E10) 2e
x4
−
4) y’=
8) y’=
−5
4 − 5x
−
1
3
−1
11) y’=(4x+6)(x2+3x-1)
18) y’= xe
4) y’= 2
12) y’= 0
5
10) y’=
5x + 2
14) y’=
8
x
6) y’= 3ex +
5) y’= -6
x 3
−
2 2
E9) 1) y’= -6(2-x)5
5) y’=
4) y’= 2
7) y’= 5x2(1+3ln x)
2
E8) y =
1
x
2) y’3xex(2+x)
E6) 1) y’= 1 + ln x
6) y’=
12
5
7) y’=
2
x
3) y’= −
14) 59
7) 1041
700
x
3) 30
3) Rmg = 100
8) 41
9) 40
15) 60
2) Cmg = 3 +
q
10
3) 5
E13) Rmg = -4x + 100
E17) 3
13
4) Rme = 100
10) 1100
5) L =-x2 + 80x – 700
11) 100
12) 100
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO
4.1. PONTO CRÍTICO
Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f ’(c) = 0 ou f ’(c) não existe.
E1) Encontre os pontos críticos de f, sendo:
1)f(x)=x3 – 3x + 2
3) f(x)= 5 x + 3
2) f(x)=x4-2x2+3
4) f(x)=
3
x2 − 4
4.2. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Uma função f é dita crescente num intervalo I, se a medida que x cresce, o valor de f(x) também cresce.
Uma função f é dita decrescente num intervalo I, se a medida que x cresce, o valor de f(x) decresce.
E2) Observe o gráfico abaixo e determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f.
y
f é crescente em ......................................................
f é decrescente em ..................................................
x
0
E3) Represente algumas retas tangentes ao gráfico de f, visando relacionar as inclinações das retas com os
intervalos de crescimento e decrescimento de f .
4.3. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b).
a) Se f ’(x)>0 para todo x ∈ (a,b) então f é crescente em [a,b]
b) Se f ’(x)< 0 para todo x ∈ (a,b) então f é decrescente em [a,b]
E4)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por:
1) f(x)=x3 –5
2) f(x)=x4- 8x2 - 5
3) f(x)= 2x – 1
14
4) f(x)= x4- 4x3
5) f(x)= x(5-x)4
E5) Observe o gráfico da função representada abaixo e localize os pontos no eixo x que você caracteriza como
pontos de máximo ou pontos de mínimo relativos(locais) da função e os correspondentes máximos e
mínimo relativos da função.
y
Pontos de máximo relativos:..........................................
Pontos de mínimo relativos:..........................................
x
Máximos relativos da função:.......................................
0
Mínimos relativos da função:........................................
4.4. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO
1.TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP)
Seja f uma função continua e derivável em (a,b), exceto possivelmente em c ∈ (a,b)
a)
Se f ’ passa de positiva para negativa em c então f(c) ó máximo relativo de f
b) Se f ’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f
c)
Se f ’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f
E6) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
1) f(x)= x4 – 8x2 + 1
2) f(x)= x3 + 3x2 - 5
3) f(x) = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 16
4) f(x) = x3 – 12x
2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS)
Seja f uma função derivável em (a,b) e c ∈ (a,b), tal que f ’(c)= 0
a) Se f ’’(c) > 0,
∀ x ∈ (a, b) então f(c) é mínimo relativo de f.
b) Se f ’’(c) < 0,
∀ x ∈ (a, b) então f(c) é máximo relativo de f.
c) Se f ’’(c) = 0, nada podemos concluir.
E7) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por:
1) f(x)= x3-12x+4
2) f(x)=x3-3x2+5
3) f(x)= x4 – 8x2 + 6
15
4) f(x)= 3x5- 5x3
E8) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo.
1)f(x)= 3x4-8x3+6x2
2 ) f(x)=2x3 - 3x2 – 12x + 10
4) f(x) = x2 – 4x + 6
5) f(x) =
x3 3 2
− x + 2x + 1
3 2
3) f(x) =
x3
− 2x 2 + 3x + 10
3
6) f(x) = x3 – 6x2+ 12x - 4
E9) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja
R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear.
Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Determine
também o custo mínimo.
E10) Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada.
Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de,
aproximadamente v(t) =2t3-21t2+60t+40 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meiodia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se mova mais rapidamente e a
que horas se move mais lentamente ?
E11) De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e
com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. Determine as dimensões do quadrado
retirado para que o volume da caixa seja máximo.
E12) Seja R(q) = - q3 + 15q2 , a função Receita.
1) Para que valores de q a função Receita tem sentido ?
2) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita.
3) Qual é a receita máxima e a receita mínima ?
4)Faça o gráfico da função, assinalando os resultados obtidos no itens anteriores.
E13) Se L(x)=-x2+6x-5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto, determine o lucro
máximo.
E14) Seja C(x) = x3 – 6x2 +100x a função custo total para produzir x unidades de um certo produto.
Determine:
1) o Custo Marginal
2) o Custo Médio
3) o Custo Médio Marginal
4) o Custo Médio Mínimo
E15) Seja R(x) = - 10x2 + 1000x a função receita total na venda de x unidades de um certo produto.
Determine a receita marginal, a receita média e a receita máxima.
16
4.5. RESPOSTAS
E1) 1) –1 ; 1
2) –1 ; 0 ; 1
E4) 1) C
2) C:[-2,0] ∪ [2,+∞) , D: (−∞,−2] ∪ [0,2]
4) C: [3,+∞) , D: (−∞,3]
E6) 1) Máx. Relativo: f(0) = 1
3) –3
4) -2 ; 0 ; 2
3) C
5) C: (−∞,1] ∪ [5,+∞) , D:[1,5]
Mín. relativo : f(-2) = f(2) = -15
2) Máx. Relativo: f(-2) = -1
Mín. relativo : f(0) = -5
3) Máx. Relativo: f(0) = 16
Mín. relativo : f(-2) = -16 e f(1) = 11
4) Máx. Relativo: f(-2) = 16
Mín. relativo : f(2) = -16
E7) 1) Máx. Relativo: f(-2) = 20
Mín. relativo : f(2) = -12
2) Máx. Relativo: f(0) = 5
Mín. relativo : f(2) =1
3) Máx. Relativo: f(0) = 6
Mín. relativo : f(-2) = f(2) = -10
4) Máx. Relativo: f(-1) = 2
Mín. relativo : f(1) = -2
E8) 1) C: [0,+∞) , D: (−∞,0] , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : f(0) = 0
2) C: (−∞,−1] ∪ [2,+∞) , D:[-1,2] , Máx. Relativo: f(-1) = 17 , Mín. relativo : f(2) = -10
3) C: (−∞,1] ∪ [3,+∞) , D:[-1,3] , Máx. Relativo: f(1) =
34
, Mín. relativo : f(3) = 10
3
4) C: [2,+∞) , D: (−∞,2] , Máx. Relativo:NE , Mín. relativo : f(2) = 2
5) C: (−∞,1] ∪ [2,+∞) , D:[1,2] , Máx. Relativo: f(1) =
11
5
, Mín. relativo : f(2) =
6
3
6) C: (−∞,+∞) , Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : NE
E9) 10 m, 6 m e R$ 12000,00
E10) 2. horas e 5 horas
E11)
1
dm
3
E12) 1) [0,15]
2) C: [0,10] , D: [10,15]
3) Rmáx = 500 , Rmín = 0
E13) 1) Lmáx = 4
E14) 1) Cmg = 3x2 – 12x + 100
2) Cme = x2 – 6x + 100
E15) 1) Rmg = – 20x + 1000
2) Rme = – 10x + 1000
17
3) Ç'me = 2x – 6
3)Rmáx = 25000
4) 91
5. INTEGRAL INDEFINIDA
DERIVAÇÃO
F
F’
PRIMITIVAÇÃO
5.1. PRIMITIVA
Uma função F é chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f em um intervalo I se
F’(x) = f(x), ∀x ∈ I
E1) Encontre uma primitiva da função dada por f(x) = 2x.
Se F é uma primitiva de f então G = F + k, sendo k uma constante qualquer, é também uma primitiva de f.
Representaremos G(x) por
∫ f(x)dx .
∫ f(x)dx = F(x) + k (primitiva geral de f ou integral indefinida de f)
E2) Determine:
∫
1) 2xdx
∫
2) 5dx
∫
3) 3x 2 dx
5.2. REGRAS DE INTEGRAÇÃO
1.
∫ dx = x + k
2.
∫e
3.
∫
x
dx = e x + k
dx
= ln | x | + k
x
4.
∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante
5.
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
18
4)
∫ (5x
4
+ 4x 3 )dx
E3) Encontre:
∫
2)
∫ (3 + e
4) edx
∫
5)
∫ (ln2 − 5e
∫
8)
∫ (3e + e
1) 2dx
7) (π − 2e + ln 6)dx
6.
∫
x p dx =
x
2
3) (1 − )dx
x
∫
)dx
x
x
4 2
6) ( − )dx
5 3x
∫
)dx
∫
9) (
)dx
2x − 3
)dx
x
x p +1
+ k , sendo p ≠ -1
p +1
E4) Encontre:
1)
∫ 3x dx
4)
∫ 3x
7)
∫
x x dx
10)
∫
(
2
dx
2
5
2x
2
−
∫ (2x
5)
∫
8)
3
x
11)
)dx
4
∫
∫
3
3)
∫ (x
x dx
6)
∫
x
dx
x
9)
∫(x + x
4
- x 3 + 3x 2 - x + 2)dx
x 3 + 2x − 1
dx
x2
5
- 2x 3 + 5x - 3)dx
dx
x
2
∫
12) (
3
1
3x 2
2
p
∫ [f ( x )] f ' ( x )dx =
8.
∫e
9.
∫ f ( x ) = ln | f(x) | + k
f ' ( x )dx = e f ( x ) + k
f ' ( x )dx
E5) Encontre:
∫
1) (2x − 1) 3 2dx
4)
∫
xdx
5 − x2
2)
∫
5)
∫ (1 − x)
x 2 − 1. 2xdx
dx
4
19
3)
∫ (3x
2
6)
∫ (x
xdx
2
+ 4) 5 xdx
+ 2) 3
)dx
− x )dx
[f ( x )] p +1
+ k , se p ≠ −1
p +1
7.
f (x)
2)
7)
∫
xdx
3
3− x
2
5
3 ⎞
⎛ x
+ 2 ⎟dx
⎜ 3e −
2x x ⎠
⎝
10)
∫
13)
∫e
2dx
x −1
20 xdx
16)
∫x
19)
∫ (e
2
2x
∫
11)
∫
14)
∫ 4x − 2
17)
+ 10
dx
8)
9)
2x − 1
e 3x −1dx
dx
∫
x
5e 2 dx
dx
∫ (2x + 3)
5
x 2 dx
12)
∫x
15)
∫ 3xe
18)
∫e
3
+1
x 2 +3
dx
dx
x
+ 2) 5 e 2 x dx
E6) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que:
1) P(2,1) e f ’(x)= 2x
4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2
2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5
5) P(1,5) e f ’(x) =
3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1
2
x
E7) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2.
E8) Dadas as funções Cmg = 22q e Rmg = 3q2 + 6q + 2, respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal
para um determinado produto, determine as funções Custo, Receita e Lucro, sabendo que o custo de
duas unidades é 84.
E9) Dadas as funções Rmg = -4q3 + 64q, Cmg = 20 e Cf = 200, respectivamente Receita Marginal, Custo
Marginal e Custo Fixo para um mesmo produto, determine a função Lucro.
E10) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil cruzeiros ao ano. Se a máquina durou
quatro anos
e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ?
E11) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x
reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ?
E12) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da
25
produção em relação ao número de operários é dada por
. Qual será a produção da fábrica, se
x
forem admitidos mais 31 funcionários ?
20
E13) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal em função do tempo (em meses) será à
taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12 milhões, calcule a
renda daqui a um ano.
E14) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de
habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que
dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos?
E15) Sabendo que o custo marginal é dado por Cmg(x) = 10 e o custo de produção de duas unidades é
35 u.m., determine o custo fixo.
E16) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 10,00 a unidade. O
fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será Cmg=2x. Ache
a função Lucro desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ 18.00.
E17)Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 20,00 a unidade. O
fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será Cmg=2x – 10.
Ache o lucro obtido pela produção e venda de 10 unidades desse produto, sabendo que o custo de
produção de quatro unidades é R$ 36.00.
E18) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor
residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ?
E19) Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria. As funções Custo Marginal
e Receita Marginal são respectivamente Cmg=2q + 20 e Rmg =-2q+140. Sabendo que o custo de
produção de dez unidades é R$ 800,00 , determine:
1) a função Custo Total;
2) a função Custo Médio;
3) a função Receita Total;
4) a função Demanda;
5) a função Lucro Total;
6) o lucro decorrente da venda de 5 unidades;
7) o lucro decorrente da venda da 5a unidade;
8) a função Lucro Marginal;
9) o Lucro Marginal no ponto 4 e interprete o resultado obtido.
21
5.3. RESPOSTAS
E1) x2 + k , para um k qualquer real
E2)1) x2 + k
2) 5x + k
3) x3 + k
4) x5 + x4 + k
E3) 1) 2x + k
2) 3x + ex + k
3) x – 2ln |x| + k
4) ex + k
4x 2
− ln | x | + k
5 3
6)
E4) 1) x3 + k
5)
5)
9)
13)
6) 2 x + k
5
1
+
+k
2x x 3
11)
(2x − 1) 4
+k
4
1
3(1 − x ) 3
8(2x + 3)
−2
e x −1
4
1
− 4( x 2 + 2) 2
10) 3e x −
+k
14)
18) −
E6) 1) y = x2 – 3
1
e
x
8) 33 x + k
12) −
1
+k
3x
3
+k
x
1 2 x3
−
+k
3x
3
3)
(3x 2 + 4) 6
+k
36
+k
7)
− 33 (3 − x 2 ) 2
+k
4
3
5
ln | x | − + k
x
2
4) −
9) 2 ln | x | −
+k
11)
e 3x −1
+k
3
15)
3e x +3
+k
2
4) - 5 − x 2 + k
8)
12)
2x − 1 + k
1
ln | x 3 + 1 | + k
3
2
+k
19)
2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1
4) ex – 2x –3
9) 2x – 3ln |x| + k
x 6 x 4 5x 2
−
+
− 3x + k
6
2
2
2 x5
+k
5
1
ln | 4 x − 2 | + k
4
x
17)10 e 2 + k
3)
1
x2
+ 2 ln | x | + + k
x
2
3
6)
+k
E7) x4 – 5x + 2
7)
2 ( x 2 − 1) 3
2)
+k
−1
8)3ex + ex + k
x2
2x 5 x 4
−
+ x3 −
+ 2x + k
2
5
4
2 x3
+k
3
10) −
E5) 1)
2)
7) ( π - 2e + ln 6)x + k
5) xln 2 - 5ex + k
16)10ln(x2 +10) + k
( e 2 x + 2) 6
+k
12
3) y = x3 +
x2
– x +1
2
5) 2ln x + 5
E8) C = 11q2 + 40 ; R = q3 + 3q2 + 2q ; L = q3 – 8q2 + 2q – 40
E9) L = – q4 + 32q2 – 20q – 200
E13) R(12) = 24 milhões
E16) L = 10x – x2 – 2
E19) 1) C = q2 + 20q + 500
5)L = -2q2 + 120q – 500
E10) V = 200.000
E11) R$ 1.500,00
E12) P(256) = 800
E14) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes
E17) 140
E18) 150
2) Cme = q + 20 +
6) 50
E15) 15
500
q
7) 102
22
3) R = -q2 + 140q
4) p = -q + 140
8) Lmg = -4q + 120
9) 104
6. INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real
representado por
b
∫a f(x)dx
e calculado por F(b) - F(a).
b
∫a f(x)dx
b
a
= [F(x)]
= F(b) - F(a)
E1) Calcule:
1)
∫
3
0
x 2 dx
2)
∫
1
−1
4
(1 − x) dx
6.1. PROPRIEDADES BÁSICAS
a
a)
∫ a f(x)dx = 0
b)
∫ a f(x)dx = - ∫
c)
∫ a c.f(x)dx = c. ∫ a f(x)dx , sendo c uma constante
d)
∫ a [f(x) ± g(x)]dx = ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx
e)
∫ a f(x)dx = ∫ a f(x)dx + ∫ c f(x)dx , com a < c < b
f)
b
b
a
b
f(x)dx
b
b
b
b
∫
c
b
b
b
f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∀x ∈ [a,b]
a
E2)Calcule:
1
1)
∫0 (x
4)
∫1 ⎜⎜⎝
7)
∫1 (2x - 4)
10)
9⎛
4
2)
∫−1 (3x
1 ⎞
⎟dt
⎟
t⎠
5)
∫0 x
dx
8)
∫4 (2x - 6)
du
11)
t−
2
4
∫0
0
− 3x 3 + 1)dx
5
1
6u + 1
2 2
5
− 3x 2 + 2x − 1)dx
(x - 1)dx
2
2
∫1
4
dx
x2
3
( x + 1)
23
2
dx
12)
5
3)
∫2 (2 + 2u + 3u
6)
∫2
9)
∫0 8x(x
1
1t
1
∫ 0 (u
3
+1
t2
2
)du
dt
2
+ 1) 3 dx
+ u ) u 4 + 2u 2 + 1 du
13)
0
∫-1
dx
14)
1- x
3
∫1
x4 − x3
dx
x
6.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b].
Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b.
y
f
f(x+ ∆x )
A2
A1
f(x)
A3
A
0
a
∆A
x
b
x + ∆x
x
A é a área da região hachurada, ∆A é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo ∆x .
A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). ∆x ≤ ∆A ≤ f(x + x). ∆x ⇒ f(x) ≤
lim f(x) ≤ lim
∆x → 0
∆x → 0
∆A
≤ f(x + ∆x )
∆x
∆A
∆A
∆A
≤ lim f(x + ∆x ) ⇔ f(x) ≤ lim
≤ f(x ) ⇒ lim
= f(x) ⇔ A’ = f(x)
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆x
∆x
∆x
∆x → 0
Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k.
Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a)
Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.
Para x = b, A = F(b) - F(a) =
∫
b
a
f(x)dx
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número
∫
b
a
f(x)dx representa a área da região
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
y
f
R
0
a
b
AR =
∫
b
a
f(x)dx
24
x
6.3. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS
Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos
gráficos de f, g, x=a e x=b então AR =
∫
b
a
[f(x) - g(x)]dx
y
f
R
g
0
a
b
x
E3)Calcule a área da região limitada por:
1) y=-x2 + 4 e y=0
2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
4) y=x2 – 1 e y=3
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
6) y=x3, y=-x + 2 e y=0
7) y=
x
e y=x2
8) y=x e y=x3
6.4. RESPOSTAS
E1) a) 9
b)
9
7
2) −
20
2
4
7
. 11)
10)
3
54
E2) 1)
E3) 1)
32
3
2) 9
32
5
3) 144
12)
4)
7
6
3)
40
3
5)
13) 2 2 − 2
5
2
4)
4
3
14)
32
3
6) −
7) −
16
3
8) −
32
5
34
3
5) 9
25
1
− ln 2
2
6)
3
4
7)
1
3
8)
1
2
9) 15
7. BIBLIOGRAFIA
DOWLING, Edward T. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo : McGraw-Hill,
1981.
Goldstein, Larry J., Lay,David C.,Schneider,David I. Matemática aplicada:economia, administração e
Contabilidade. Porto Alegre : Bookman.2000.
LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. Tradução por
Carvalho Patarra. Universidade de São Paulo : Harbra, 1984.
Cyro de
MORETTIN, Pedro A., BUSSAB, Wilton O., HAZZAN, Samuel. Cálculo: funções de uma variável.
São Paulo : Atual, 1987.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática aplicada à economia. 2.ed. São Paulo : Atlas, 1991.
WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2.ed. São Paulo : Harper Row do
Brasil, 1986.
* Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira
26