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Tecnólogo em Análise e Desenvolvimentos
de Sistemas _ TADS
Aula 4
Derivadas _ 1ª parte
Professor Luciano Nóbrega
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DERIVADA
CONHECIMENTOS PRÉVIOS
y
y1
INCLINAÇÃO DA RETA
A inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de
uma reta é dado por:
Passando o denominador para o outro lado
e fazendo tg Θ = m, temos:
y1  y0
tg 
x1  x0
Θ
y0
x0
x1
EXEMPLO: Suponha que as coordenadas dos
ponto P e Q sejam: P(4,6) e Q(5,-3). Determine:
a) A inclinação da reta;
b) A equação da reta.
x
RELAÇÃO ENTRE LIMITES e DERIVADAS
A ideia inicial da DERIVADA é a ilustrada por retas secantes
tendendo “no limite” a uma reta tangente.
A palavra tangente vem do latim e significa “tocando”.
Para um círculo, poderíamos dizer que a tangente é uma reta
que intercepta o círculo uma única vez.
Para as curvas, essa definição é inadequada.
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A DERIVADA
O PROBLEMA DA RETA TANGENTE
Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P (1,1).
Vamos completar a tabela com valores
que se aproximam de 1:
x
mPQ
x
2
0
1,5
0,5
1,1
0,9
1,01
0,99
mPQ
3
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A DERIVADA
A sequência de figuras a seguir ilustra o processo de limite que
reta tangente
ocorreu no exemplo anterior.
y
reta secante
Q
f(x1)
f(x0)
y=f(x)
f(x1) - f(x0)
P
x1 - x0
x1
x0
x
30 – Encontre a equação da reta tangente à parábola y = 3x2 no ponto P (2,12).
31 – Encontre a equação da reta tangente à função y = 2x3 no
ponto P (1, 2).
GABARITO: 30) y = 12x – 12
31) y = 6x – 4
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A DERIVADA
A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a)) é
a reta que passa por P que tem a inclinação
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais
fácil de ser usada.
DEMONSTRAÇÃO:
32 – Encontre a equação da reta tangente à
hipérbole y = 3/x no ponto (3, 1).
33 – Encontre a equação da reta
tangente à curva f(x) no ponto
dado: a) y = (x – 1)/(x – 2) ; (3, 2)
b) y = √x ; (1, 1)
GABARITO: 32) x + 3y – 6 = 0
33) a) y = – x + 5
b) y = (x+1)/2
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A DERIVADA
Os limites do tipo
surgem sempre que
calculamos uma taxa de variação em uma das ciências ou engenharias.
Como esse tipo de limite sempre ocorre amplamente em vários
segmentos, ele recebe nome e notação especiais.
A DERIVADA
A derivada de uma função f(x) em um número a, denotada por f’(a), é:
EXEMPLO: Seja y = x2+1. Determine a taxa de variação no ponto x = – 4
36) 2a – 8
34 – Determine a taxa de variação da função y = x2 + 1 no ponto:
a) x = 3 b) x = –2
c) x = 1
d) x = x0
35 – Determine a equação da reta tangente ao gráfico y = x2 + 1 no
ponto (2, 5), utilizando a fórmula em que h ⟶ 0
36 – Determine a derivada da função f(x) = x2 –8x + 9 em um número “a”
d) 2.x0 35) y = 4x – 3
OU
GABARITO: 34) a) 6 b) – 4 c) 2
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A DERIVADA
NOTAÇÃO PARA A DERIVADA
Algumas notações usadas para a derivada são as seguintes:
REGRAS DE DERIVAÇÃO
As regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as
derivadas de:
Polinômios; Funções Racionais; Funções Algébricas; Funções
Exponenciais e Logarítmicas e Funções Trigonométricas.
1ª) A DERIVADA DE UMA CONSTANTE “k” É IGUAL À ZERO.
f(x) = k
f ’(x) =
Exs:
Se g(x) = 7, então g’(x) =
Se h(x) = –7, então h’(x) =
2ª) A DERIVADA DAS POTÊNCIAS DE “ x ”.
Seja f(x) = xn, então f ’(x) =
Exs:
Se f(x) = x5, então f ’(x) =
Se g(x) = 7x3, então g’(x) =
Se h(x) = –3x –7 , então h’(x) =
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REGRAS DE DERIVAÇÃO
3ª) A DERIVADA DA SOMA (e da diferença).
A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas.
Seja h(x) = f(x) + g(x), então h’(x) =
Se f(x) = x4 + 3x, então f ’(x) =
Se g(x) = x3 – 2x2, então g’(x) =
Se h(x) = –3x –7 –5x –2 + 3 , então h’(x) =
37 – Determine a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = 773,2
38– Determine a derivada das funções abaixo:
b) f(x) = √7
Para conferir o GABARITO,
a) f(x) = √x – 1/√x
some os coeficientes com os
c) f(x) = 5x – 1
expoentes das variáveis.
d) f(x) = –3x7
b) f(x) = 3√x
e) f(x) = –2x3 + 3x2 – 1
f) f(t) = (1/2)t6 – (3/2)t4
c) f(x) = √x.(x – 1)
1
4
g) f(t) = ( /4).(t + 8t)
h) f(x) = (x – 2).(2x + 3)
d) f(x) = (√2)x + √(3x)
–2/5
i) y = x
j) y = (4/3).π.r3
e) f(x) = [√x + 1/(3√x)]
k) y = 5t –3/5
L ) y = √7/x7
f) y = (x2 – 2√x)/x
Exs:
GABARITO: 37) a) 0 b) 0 c) 5
d) –15 e) 3 f) 5 g) 6 h) 4
i) –9/5 j) 4”pi” + 2 k) –23/5
L) –7.√7 – 8 38)a) –1 b) –1/3
c) 0 d)(√2) +1 e) –1/3 f) ½
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