O CONCEITO DE DERIVADA (continuação)
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
Como vimos, a definição de taxa de variação média de uma função é:
f ( x1 )  f ( x0 )
f

x
x1  x0
No gráfico, esta relação equivale à tangente do ângulo correspondente à reta que une os pontos
x0 e x1.
f(x1)
f(xo)
xo
x1
Se fizermos o ponto x1 se aproximar de x0, a reta que era secante à curva fica tangente no ponto
x0.
1
f(xo)
xo
Como vimos, a definição de derivada de uma função num ponto é:
f ’(x0) = lim
x1  x0
f ( x1 )  f ( x0 )
x1  x0
Então, graficamente a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da
reta tangente no ponto x0.
Exemplo. Obtenha a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 no ponto P de abscissa 2.
Para x = 2 , y = 4, portanto, o ponto P tem coordenadas P(2,4).
Ademais, f´(x) = 2x, e portanto, f´(2) = 4. Assim, a reta tangente t tem coeficiente angular igual a
4. Logo a equação da reta tangente será:
y – 4 = 4(x – 2), ou seja, y = 4x – 4.
2
Exercícios: 12. a, b, c, d, f.
Diferencial de uma Função
A variação ∆f é igual a f (x0 + ∆x) – f (x0). Considere ainda a reta PR e seu coeficiente angular
dado por m = f ´(x0).
No triângulo PRS, temos:
m  tg 
RS RS

PS x
Assim:
f ´( x0 ) 
RS
ou RS  f ´( x0 )x
x
O valor RS que depende de ∆x chamamos diferencial de f no ponto x0 e indicamos df.
O diferencial de uma função f, indicado por df, mede a variação da função a partir da taxa de
variação da função num ponto, isto é, a partir da derivada f ´(x0) e é representado por:
3
df  f ´( x0 )x
Dessa forma, nota-se que df depende de x e quanto menor for x mais próximo df estará de x .
Assim, df  x para pequenos valores de x .
Exemplo:
Considere a função f(x) = 3x2 e os pontos de abscissa 1 e 1,01. A variação de f entre os pontos
dados é:
∆f = f (1,01) – f (1) = 3(1,01)2 – 3.12 = 0,0603
Agora, vamos calcular a diferencial de f no ponto de abscissa 1, para ∆x = 0,01:
df = f ´(1).0,01
como f ´(x) = 6x, f ´(1) = 6, e temos, df = 6(0,01) = 0,06, então
df ≈∆f.
Exercícios
13. a, b.
Fórmulas de Taylor e Maclaurin
Podemos usar a derivada para representar uma função numa vizinhança de um ponto a, através
de um polinômio.
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Seja a função f(x) que queiramos aproximar por um polinômio na vizinhança de a. Então,
escrevemos:

f ( x)  
n 0
f n (a)( x  a)n
n!
Exemplo
5.28 – Série de Maclaurin em torno de a = 0 para f(x) = ex.
5.31 – Série de Taylor em torno de a = 4 para f(x) =
x.
Regra de L’ Hospital
Outro importante uso da derivada está no cálculo de limites.
f ( x)
, produz indeterminações do tipo
x a g ( x)
0

f ( x)
f '( x)
f '( x)
ou
, então lim
, se existir o limite lim
.
 lim
x

a
x

a
x

a
0

g ( x)
g '( x)
g '( x)
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, tais que lim
Aqui, a pode ser uma constante ou infinito.
Por exemplo,
x  senx
0
, se substituirmos x = 0 no quociente teremos uma indeterminação . Então,
2
x 0
x
0
podemos aplicar a regra de L’Hospital derivando o limite em questão no numerador e no
denominador, sucessivas vezes até podermos substituir x = 0.
lim
5
lim
x 0
x  senx
1  cos x
senx
 lim
 lim
0
2
x o
x 0
x
2x
2
Exercício
57. a, b
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