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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DE ENGENHARIAS
NÚCLEO DE MATEMÁTICA APLICADA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Professor: Guilherme J. Weymar
Lista 03
Fonte: - Equações Diferenciais Vol.1 Autores: Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Edit. Pearson
- Matemática Avançada para Engenharia Equações Diferenciais elementares e
transformada de Laplace 3a Ed.. Autores: Dennis G. Zill e Michael R. Cullen. Edit. Bookman
1. Admitamos que a temperatura de uma xı́cara de café quente obedeça à lei do resfriamento de Newton. Se a temperatura do café for 93, 3◦ C, logo depois de passado, e
um minuto depois for 87, 8◦ C, no ambiente a 21, 1◦ C, determinar o instante em que a
temperatura do café é 65, 6◦ C. R : 6min
2. Suponhamos que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha a temperatura de 29, 4◦ C
e que a temperatura ambiente seja constante e igual a 21, 1◦ C. O corpo é removido
rapidamente (faça a hipótese da instantaneidade) para o necrotério onde a temperatura
ambiente é de 4, 4◦ C. Depois de uma hora, a temperatura do corpo é de 15, 6◦ C. Estimar
o instante da morte. R : 11horase12minutos
3. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido a
uma temperatura constante de 30o F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo for
de 0o F e após 20 minutos a temperatura do corpo for de 15o F, determine a temperatura
inicial desconhecida?
R : T0 = −30o F
4. Um corpo à temperatura de 50o F é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100o F.
Se após 5 minutos a temperatura do corpo for de 60o F, determine:
(a) o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 75o F?
(b) a temperatura do corpo após 20 minutos?
R : 15, 4 min.
R : 79, 5o F
5. O nuclı́deo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial:
dQ
= −0, 0525Q
dt
onde Q está em miligramas e t em anos.
(a) Determinar a meia-vida τ do plutônio 241. R : 13, 20anos
(b) Se 50mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto
plutônio existirá daqui a 10 anos? R : 29, 6mg
6. O einsteinio 253 decai a uma taxa proporcional à quantidade do nuclı́deo presente.
Determinar a meia-vida τ se o material perde um terço da sua massa em 11, 7 dias.
R : 20dias
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7. O rádio 226 tem a meia-vida de 1620 anos. Achar o intervalo de tempo durante o qual
uma amostra deste nuclı́deo se reduz a três quartos da sua massa original. R : 673, 7anos
8. Vamos admitir que a população da terra se altere a uma taxa proporcional à população
presente. Além disso, estima-se que no instante t = 0 (1650D.C.) a população da terra
era de 600 milhões (6, 0 × 108 ) e que no instante t = 300 (1950D.C.) a sua população
era de 2, 8 bilhões (2, 8 × 109 ). Achar a expressão que dá a população da terra em
qualquer instante. Admitindo que a população máxima que a terra pode suportar seja
de 25 bilhões (2, 5 × 1010 ), quando será atingido este limite? R : Q(t) = 6(108 )e0,005135t ;
t = 2376D.C.
9. Um tanque contém inicialmente 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma
concentração de γ gramas por litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litros por
minuto, e a mistura bem mexida sai do tanque a mesma taxa. Encontre uma expressão
para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t em termos de γ. Encontre,
também, a quantidade limite de sal no tanque quando t → ∞
10. Um corpo a 100o C é posto numa sala, onde a temperatura ambiente se mantém constantemente a 25o C. Após 5 minutos a temperatura do corpo caiu para 90o C. Decorrido
quanto tempo estará o corpo a 50o C?
11. Qual deve ser a temperatura da água para que um corpo a 100◦ C nela imerso venha a
uma temperatura de 30o C em meia hora? Sabe-se que o corpo é de ferro (calor especı́fico
0, 113 cal.g−1 .(o C−1 )) e tem massa de 500g, enquanto que a água (calor escpecı́fico 1) tem
massa 4000g. Assuma k = 0, 05.
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