ISSN 1984-8218
Estudo sobre Relações Interespecı́ficas:
Competição e Predatismo
Gregório Luı́s Dalle Vedove Nosaki∗
Márcio Ricardo Alves Gouveia
Depto. de Matemática, Estatı́stica e Computação, DMEC, UNESP,
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: greg [email protected], [email protected],
RESUMO
Dentro dos Sistemas Dinâmicos Contı́nuos os estudos a respeito de dinâmica populacional
ocupam uma posição de destaque dentro das aplicações. Essa área analisa o comportamento de
uma ou mais populações de uma espécie que vivem dentro de um habitat no decorrer do tempo.
Dentro de tais estudos podemos identificar pontos de equilı́brio entre as populações, situações
em que a relação entre as espécies gera um ciclo entre o número de indivı́duos de cada população
ou até situações nas quais uma das populações se extingue.
Neste trabalho analisaremos dois tipos de relações interespecı́ficas que são referentes a duas
espécies diferentes que dividem o mesmo espaço. No primeiro caso estudaremos a competição,
onde as espécies precisam concorrer pelos mesmos fatores ambientais tais como alimento, disponibilidade de água, luz para fotossı́ntese dentro outros recursos naturais.
Denotando por x(t) e y(t) duas populações distintas num determinado momento t convivendo
em um mesmo meio e competindo por disponibilidade de alimento, por exemplo. Podemos supor
que cada uma das populações, na ausência da outra, é governada por uma equação logı́stica
dx
= x(ǫ1 − σ1 x)
dt
dy
= y(ǫ2 − σ2 y)
dt
onde ǫ1 e ǫ2 representam o crescimento das duas populações e ǫ1 /σ1 e ǫ2 /σ2 os seus respectivos
nı́veis de saturação. Mas, como sabemos, se as espécies em questão estão disputando alimento
dentro de um mesmo meio, então o crescimento delas estão de certo modo relacionados. Assim
obtemos as equações
dx
= x(ǫ1 − σ1 x − α1 y)
dt
dy
= y(ǫ2 − σ2 y − α2 x)
dt
onde α1 e α2 são medidas do grau de interferência que uma espécie tem sobre a outra.
O outro tipo de relação interespecı́fica estudada aqui é o predatismo, descrito em [3] como
sendo a relação onde uma espécie se alimenta de outra; é a denominada relação presa-predador
encontrada em [2] e em diversos outros estudos envolvendo equações diferenciais.
Construı́mos o nosso modelo de maneira análoga ao anterior. Representamos por x e y as
populações de presa e predador, respectivamente, no instante t. Nesse modelo devemos fazer
algumas suposições a mais do que no modelo anterior, pois uma espécie se alimenta diretamente
da outra. Assim devemos ter por hipótese
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bolsista de Iniciação Cientı́fica FAPESP
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a) Sem o predador, as presas aumentam numa taxa proporcional à população atual (dx/dt = ax,
a > 0, quando y = 0);
b) Sem presas o predador é extinto (dy/dt = −cy, c > 0, quando x = 0);
c) O número de encontro entres seres das duas populações é proporcional ao produto das duas
populações. Cada um desses encontros interfere de maneira diferente em cada uma das
populações: a população de predadores aumenta a uma taxa γxy enquanto a população
de presas diminui a uma taxa −αxy, onde γ e α são constantes positivas.
Devido a essas suposições e ao que consideramos das duas espécies, temos as seguintes
equações
dx
= ax − αxy = x(a − αy)
dt
dy
= −cy + γxy = y(−c + γx)
dt
onde a e c definem a taxa de crescimento da população de presas e a taxa de mortalidade de
predadores respectivamente.
Essas equações são chamadas de equações de Lotka-Volterra desenvolvidas nos anos de 1925
e 1926.
As duas relações estudadas nesse trabalho são classificadas em [4] como interespecı́ficas desarmônicas, pois o sucesso de uma das populações implica no fracasso para a outra população
já que ambas ocupam o mesmo habitat. Esse tipo de relação se torna interessante dentro dos
sistemas dinâmicos, pois desta forma podemos esboçar retratos de fase onde podemos prever o
comportamento das populações, mediante a condições iniciais, no decorrer do tempo.
Apresentamos o modelo que rege cada uma das relações interespecı́ficas e em seguida daremos
exemplos numéricos onde aplicaremos diretamente o método de solução dos modelos propostos
em [1] e finalmente os resultados, que são apresentados na forma de retratos de fase, e com isso
podemos fazer uma análise do comportamento das populações como por exemplo pontos crı́ticos
ou soluções de equilı́brio, pontos assintoticamente estáveis ou instáveis, ou variações cı́clicas
nas populações no caso do predatismo. Dados esses resultados podemos fazer ainda algumas
generalizações a respeito dos modelos aplicados em cada sistema, chegando a conclusões onde,
por comparação dos parâmetros, avaliamos e classificamos as situações encontradas.
Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos Contı́nuos, Dinâmica Populacional, Retrato de Fase
Referências
[1] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, ”Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno”; LTC - Livros Técnicos Cientı́ficos, Rio de Janeiro, 2009.
[2] D. G. Figueiredo, A. F. Neves, ”Equações Diferenciais Aplicadas”; Coleção Matemática
Universitária, Rio de Janeiro, 2001.
[3] E. P. Odum, ”Fundamentos de Ecologia”; Thomson Learning, São Paulo, 2007.
[4] R. D. Siegfried, ”Biologia para Leigos”; Alta Books, Rio de Janeiro, 2010.
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