Folha 2
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemática II
Licenciatura em Administração Público-Privada
Ano lectivo 2008/2009
1. Numa cultura de bactérias o seu comportamento é dado por
f (t) = 500ekt ,
onde t representa o tempo em minutos e k é uma constante.
(a) Determine o número inicial de bactérias.
(b) Calcule k, sabendo que ao fim de 27 minutos, o número de bactérias é 858.
(c) Determine o tempo necessário para obter 1595 bactérias.
2. A população de uma certa cidade era de 30.000 habitantes em 1980 e 40.500 em 1990. Se
a fórmula
y = P0 eht
se aplicar ao crescimento da população da cidade, qual deverá ser a população no ano de
2010?
3. A queda nas vendas de um produto é dada por
S = 50.000e−0.8x ,
onde S representa as vendas mensais e x o número de meses que passou desde o final de
uma campanha publicitária.
(a) Quais serão as vendas 4 meses depois do fim da campanha?
(b) Quantos meses depois do fim da campanha as vendas cairão abaixo de 1.000, se nenhuma nova campanha for iniciada?
4. A escala de Richter é usada para medir a intensidade de um terramoto. A leitura na escala
Richter de um terramoto de intensidade I é dada por
R = log10 (
I
),
I0
onde I0 é uma certa intensidade mı́nima usada para comparação.
(a) Determine R se I for 3.160.000 vezes maior do que I0 .
(b) O terramoto do Alaska, em 1964, atingiu 8,5 na escala de Richter. Determine a
intensidade deste terramoto.
5. O capital A deu, após um ano, o juro a. O capital A′ triplo de A, colocado pelo mesmo
tempo, deu o mesmo juro a. Mostre que a taxa de juro r de A é tripla da taxa r ′ de A′ .
6. Suponha que a taxa de juro que um determinado banco oferece, aos seus clientes, é de 6%
ao ano, em regime de juros compostos.
(a) Determine o capital acumulado ao fim de 7 anos, por um cliente que tenha feito um
depósito inicial de 50.000 euros.
(b) Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de
100.000 euros?
(c) Qual teria de ser o depósito inicial a efectuar por este cliente, para obter 85.000 euros
ao fim dos mesmos 7 anos?
7. Suponha que a taxa de juro que um determinado banco oferece, aos seus clientes, é de 5%
ao ano, em regime de juros compostos.
(a) Determine o capital acumulado ao fim de 2 anos, por um cliente que tenha feito um
depósito inicial de 10.000 euros.
(b) Determine o número de anos que demora para, o referido cliente, obter um capital
acumulado de 20.000 euros?
(c) Qual teria de ser o capital inicial a aplicar, por um cliente, para obter 50.000 euros ao
fim de 5 anos?
(d) Suponha que, um cliente faz um depósito inicial de 20.000 euros e espera que, decorridos 3 anos, o capital acumulado seja de 24.000 euros.
i. Verifique que, com a taxa de juro oferecida pelo banco, tal não acontece.
ii. Qual teria de ser a taxa de juro oferecida pelo banco para que tal acontecesse?
P
Equação Logı́stica: dP
dt = kP (1 − S ) onde S é a capacidade de suporte
S−P (0)
S
Solução Geral da Equação Logı́stica: P (t) = 1+Ae
−kt onde A =
P (0)
8. Suponha que uma população cresce de acordo com o modelo logı́stico com capacidade de
suporte 6.000 e k = 0.0015 por ano.
(a) Escreva a equação logı́stica para estes dados.
(b) Se a população inicial for 1.000, escreva uma fórmula para a população depois de t
anos. Use-a para calcular a população depois de 50 anos.
9. O cardume de atum do Pacı́fico foi modelado pela equação
dy
y
= ky(1 − )
dt
S
onde y(t) é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no tempo
t (medido em anos), a capacidade de suporte é S = 8 × 107 Kg, e k = 0, 71.
(a) Se y(0) = 2 × 107 kg, calcule a biomassa um ano depois.
(b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 × 107 kg?
10. Uns biólogos colocaram num lago 400 peixes e estimaram a capacidade de suporte (a população máxima de peixes daquela espécie no lago) como 10.000. O número de peixes
triplicou no primeiro ano.
(a) Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaz a equação logı́stica, estabeleça uma expressão para o tamanho da população depois de t anos.
(b) Quanto tempo levará para a população aumentar para 5.000?