Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Matematica
Prof. Juan Carlos Vila Bravo
1ra Lista de exercicios de Cálculo III- CM043
Curitiba, 05 de Outubro de 2011
1. Nos seguintes problemas, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais
dadas
(i) (ey + 1)2 e−y dx + (ex + 1)3 e−x dy = 0
xy + 2y − x − 2
dy
=
(ii)
dx
xy − 3y + x − 3
2. Nos seguintes problemas, ache a solução geral da equação diferencial dada.
dy
(iii) (x + 1) + (x + 2)y = 2xe−x
dx
dy
(iv) (x + 1) + y = ln x, y(1) = 10
dx
3. Nos problemas (v) e (vi), resolva a equação diferencial dada multiplicando antes por
um fator integrante apropriado.
(v) (2y 2 + 3x) dx + 2xy dy = 0
2
(vi) cos x dx + 1 +
sen x dy = 0
y
4. Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada
dy
1
(vii) x2
− 2xy = 3y 4 , y(1) =
dx
2
5. Resolva os seguintes problemas de Modelagem com equações diferenciais de primeira
ordem
(viii) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população
presente em um instante t. A população inicial de 500 indivı́duos cresce 15%
em 10 anos. Qual será a população em 30 anos ? Qual é o crescimento
populacional em t = 30 ?
(ix) Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20o C, é colocada
em um grande recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a
barra atingir 90o C se sabemos que sua temperatura aumenta 2o C em
1 segundo ? Quanto tempo levará para a barra atingir 98o C ?
(x) Encontre as trajetórias ortogonais da familia de curvas dada:
x2 + y 2 = 2cx, c ∈ R
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