Álgebra Linear – AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP [email protected] Autovalores e Autovetores 1 Definição e Exemplos 2 Polinômio Caracterı́stico 3 Diagonalização Autovalores e Autovetores Atenção: Nesta seção consideraremos somente matrizes quadradas, ou seja, An×n. Definição: Seja An×n. O número λ é chamado de autovalor de A se existir um vetor não-nulo x ∈ Rn tal que Ax = λx (1) Todo vetor x não-nulo que satisfaz (1) é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores também são chamados de valores próprios, ou de valores caracterı́sticos; e os autovetores também são chamados de vetores próprios ou de vetores caracterı́sticos. Autovalores e Autovetores: Exemplos Exemplo (1) Se A é a matriz identidade In então o único autovalor é λ = 1; todo vetor não-nulo em Rn é um autovetor de A associado com o autovalor λ = 1: Inx = 1x 1 0 Exemplo (2) Seja A = 1 2 . Então: 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 A = 1 = 21 = 1 1 2 1 0 2 2 1 de modo que x1 = é um autovetor de A associado ao autovalor 1 λ1 = 12 . Exemplo (3) Considere a matriz do Exercı́cio (2). Calcule o autovalor 1 λ2, para o autovetor x2 = . −1 Autovalores e Autovetores – Exemplo (cont. 1) 0 0 Exemplo (4) Seja A = . Calcule os autovalores λ1 e λ2 para 0 1 1 0 os autovetores x1 = e x2 = . 0 1 Observação: Embora o autovetor não possa ser o vetor nulo (definição), o autovalor pode ser o número zero. 1 1 Exemplo (5) Seja A = . Encontre os autovalores de A e −2 4 seus autovetores associados. Ou seja, todos os números λ encontre x1 e todos os vetores não-nulos x = tal que: x2 1 1 x1 x1 =λ −2 4 x2 x2 Calculando Autovalores e Autovetores Definição: Seja An×n. O determinante λ − a11 −a12 −a21 λ − a22 f (λ) = det(λIn − A) = det ... ... −an1 −an2 · · · −a1n · · · −a2n ... ... · · · λ − ann é chamado de polinômio caracterı́stico de A. A equação f (λ) = det(λIn − A) = 0 é chamada de equação caracterı́stica de A. 1 2 −1 Exemplo (6) Seja A = 1 0 1 . Encontre o polinômio carac4 −4 5 terı́stico. Autovalores e Autovetores: Teorema Teorema 1 Os autovalores de A são as raı́zes do polinômio caracterı́stico de A. Demonstração Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x. Então Ax = λx, que pode ser rescrito como Ax = (λIn)x ou (λIn − A)x = 0 um sistema homogêneo de n equações e n incógnitas. Este sistema tem uma solução não-trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes se anular, isto é, se e somente se det(λIn − A) = 0. Reciprocamente, se λ é uma raiz do polinômio caracterı́stico de A, então det(λIn − A) = 0, logo o sistema homogêneo (λIn − A)x = 0 tem solução não-trivial x. Portanto λ é um autovalor de A. Autovalores e Autovetores: Exercı́cios e Procedimento 1 2 −1 Exercı́cio (7) Seja A = 1 0 1 . Calcule os autovalores e seus 4 −4 5 autovetores associados. Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de 0 0 3 A = 1 0 −1 . 0 1 3 Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associados de uma matriz considere as seguines etapas: Etapa 1 Determine as raı́zes do polinômio caracterı́stico f (λ) = det(λIn − A). Estes são os autovalores de A. Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as soluções não-triviais para o sistema homogêneo (λIn − A)x = 0. Estes são os autovetores de A associados ao autovalor λ. Diagonalização: Matrizes Semelhantes Definição Uma matriz B é dita semelhante a uma matriz A se há uma matriz invertı́vel P tal que B = P −1AP. 1 1 Exemplo (9) Seja A = (Exemplo (5)). Definimos P = −2 4 2 −1 1 1 com P −1 = . Assim, −1 1 1 2 2 −1 1 1 1 1 2 0 = B = P −1AP = −1 1 −2 4 1 2 0 3 Propriedades Elementares válidas para semelhança: 1. A é semelhante a A. 2. Se B é semelhante a A, então A é semelhante a B. 3. Se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C. Diagonalização: Definição Definição Dizemos que a matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos também que A pode ser diagonalizada. Exemplo (10) Sejam A e B do Exemplo (9), então A é diagonalizável, uma vez que é semelhante a B. Teorema (2) Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores. Demonstração Sejam A e B semelhantes. Então B = P −1AP , para alguma matriz P invertı́vel. Vamos provar que A e B têm os mesmos polinômios caracterı́sticos, fA(λ) e fB (λ), respectivamente. Temos fB (λ) = = = = = det(λIn − B) = det(λIn − P −1AP ) det(P −1λInP − P −1AP ) = det(P −1(λIn − A)P ) det(P −1)det(λIn − A)det(P ) det(P −1)det(P )det(λIn − A) det(λIn − A) = fA(λ) Como fA(λ) = fB (λ), segue que A e B têm os mesmos autovalores. Diagonalização: Teorema Teorema 3 Uma matriz n×n é diagonalizável se e somente se ela tiver n autovetores linearmente independentes. Demonstração (=⇒) Suponha que A seja semelhante a D. Então P −1AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = P D. Seja λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 D= ... ... , 0 · · · 0 λn e seja xj , j = 1, 2, . . . , n, a j-ésima coluna de P . A j-ésima coluna da matriz AP é Axj e a j-ésima coluna de P D é λj xj . Assim, como AP = P D, temos: Axj = λj xj . Como P é uma matriz invertı́vel, suas colunas são L.I.. Portanto, λj é um autovalor de A e xj é um autovetor correspondente. Diagonalização: Teorema 3 (Continuação) Demonstração (⇐=) Considere λ1, λ2, . . . , λn, como n autovalores de A e que os autovetores x1, x2, . . . , xn correspondentes são L.I.. Seja P = [x1 x2 . . . xn] a matriz cuja j-ésima coluna é xj . Como as colunas de P são L.I., P é invertı́vel. De Axj = λj xj obtemos AP = P D, que implica que A é diagonalizável. Exemplo (11) Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovalores λ1 = 2 e λ2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5). 1 1 Exemplo (12): Seja A = . Os autovalores de A são λ1 = 1 0 1 e λ2= 1. Os autovetores associados a λ1 e λ2 são vetores do tipo k , k ∗ ∈ R. Como A não possui dois autovetores L.I., A não é 0 diagonalizável. Diagonalização: Teorema 4 Teorema (4) Se as raı́zes do polinômio caracterı́stico de uma matriz An×n são todas distintas, então A é diagonalizável. 0 0 1 Exemplo (13) Verifique se A = 0 1 2 é diagonalizável. 0 0 1 0 0 0 Exemplo (14) Verifique se A = 0 1 0 é diagonalizável. 1 0 1 Procedimento para Diagonalização de uma matriz An×n Etapa 1 Forme o polinômio caracterı́stico f (λ) = det(λIn − A) de A. Etapa 2 Encontre as raı́zes do polinômio caracterı́stico de A. Etapa 3 Para cada autovalor λj de A de multiplicidade kj , encontre uma base para o espaço de (λj In − A)x = 0 (o auto-espaço associado a λj ). Se a dimensão do auto-espaço for menor do que kj , então A não é diagonalizável. Assim, determinamos n autovetores L.I. de A. Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas são n autovetores L.I. determinados na Etapa 3. Então, P −1AP = D é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P . The End !