Álgebra Linear - Lista 4
1. Faça 5 exercı́cios do livro para calcular autovalores e autovetores de matrizes
e para calcular potências Ak de matrizes a partir desses autovalores.
2. Se uma matriz A é tal que A2 = 0, o que vc pode dizer sobre os seus
autovalores?
3. Mostre que λ é autovalor de A se, e somente se, λ é autovalor de AT .
4. V ou F? a) Uma matriz A é não inversı́vel se, e somente se, 0 é um autovalor
de A. b) Os autovalores de uma matriz estão na sua diagonal principal. c) Um
autoespaço de uma matriz A é o espaço nulo de uma certa matriz. d) Se v1 , v2
são autovetores LI então estes correspondem a autovalores distintos.
5. O produto tensorial, ou produto de Kronecker de duas matrizes A = (aij )m
i,j=1
e B = (bij )ni,j=1 é definido por


a11 B a12 B · · · a1n B
 a21 B a22 B · · · a2n B 
A⊗B =
..
..
.. 
 ...
.
.
. 
an1 B an2 B · · ·
ann B
O produto tensorial tem aplicações em teoria de grafos, representações de sistemas
matriciais e em fı́sica quântica. Neste exercı́cio queremos estudar algumas propriedades algébricas. a) Dê um exemplo para mostrar que em geral A ⊗ B 6= B ⊗ A.
b) Se A tem ordem 2 e B tem ordem 3, qual a ordem de A ⊗ B, e de B ⊗ A?
Generalize este item. c) Se λ1 , λ2 são os autovalores de A (ordem 2) e µ1 , µ2 são os
autovalores de B (ordem 2), determine os autovalores de A ⊗ B. Dica: considere
λi µj . O que acontece para matrizes de ordem quaisquer?
6. a) Construa um exemplo de matriz de ordem 2 que é inversı́vel mas não é
diagonalizável. b) Construa um exemplo de matriz não diagonal de ordem 2 que
é diagonalizável mas não é inversı́vel.
7. A é uma matriz de ordem 5 com dois autovalores. Um autoespaço tem
dimensão 3 e o outro tem dimensão 2. A é diagonalizável? Por que?
1 1
4
8. a) Diagonalizando, calcule A , onde A =
. b) Diagonalizando, calcule
1 1
A4 , onde


1 1 1
A = 1 1 1
1 1 1
c) O que vc pode dizer sobre os autovalores de uma matriz quadrada de ordem n
onde todas as entradas são iguais a 1? E se todas as entradas são iguais a 2?
1