Nona Lista: Autovalores, Autovetores, Diagonalização
Turma de Ciência da Computaçao
Álgebra para Computação 2012.1
Escolha duas das três seções abaixo para fazer.
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Questões do Gilbert Strang
Conjuntos 5.2, 5.3 e 5.5 do Gilbert Strang vermelho quarta edição. Pouco importa se
inglês ou portugês. Para saber as questões associadas a você siga a regrinha abaixo.
(Nome = mesmo nome que na ata.)
• Adenildo fica com as questões 1, 6, 11, . . . de cada conjunto;
• Berenice fica com as questões 2, 7, 12, . . . de cada conjunto;
• Clotilde fica com as questões 3, 8, 13, . . . de cada conjunto;
• Daylison fica com as questões 4, 9, 14, . . . de cada conjunto;
• Eberardo fica com as questões 5, 10, 15, . . . de cada conjunto;
• Fidelino fica com as questões 1, 6, 11, . . . de cada conjunto;
• ...
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Questões Fundamentais
(1) Use a expansão em autovetores a fim de achar uma fórmula fechada para:
(a) Fn = 2Fn−1 − 3Fn−2 , F1 = F0 = 1.
(b) Gn = Gn−1 + 2Gn−2 , G1 = G0 = 1.
(c) Hn = 3Hn−1 − 2Hn−2 , H1 = H0 = 1.
(d) In = 2In−1 + In−2 , I1 = I0 = 1.
Mostre o que acontece quando n → ∞ para cada caso acima.
1
(2) Considere as seguintes

.2 .2

.3 .4
A=
.5 .4
matrizes:

.5
.5 .5
cos θ − sin θ

.3 , B =
,C =
sin θ cos θ
0 .5
.2
(a) A é diagonalizável? Se sim, diagonalize A. Existe limn→∞ An ?
(b) B é diagonalizável? Se sim, diagonalize B. Existe limn→∞ B n ?
(c) C é diagonalizável? Se sim, diagonalize C. Existe limn→∞ C n ?
(3) Considere matrizes unitárias U, V (i.e., matrizes M tal que M H M = I), mostre
que os autovalores de U e V tem valor absoluto 1. Mostre que U V também é
unitário.
(4) Mostre um exemplo para cada cenário abaixo (ou mostre que tal exemplo não
existe).
(a) Uma matriz 3 × 3 com autovalores 1, 3, 4 e determinante 9.
(b) Uma matriz 5 × 5 com dois autovalores de multiplicidade algébrica 2 e
multiplicidade geométrica 1.
(c) Uma matriz n × n com um autovalor de multiplicidade algébrica n, e
multiplicidade geométrica 1.
(d) Uma matriz 3 × 3 com autovalores i, 1, 2.
(e) Uma matriz de Markov 4 × 4 com autovalores 1, 0.2, −0.1, 0.1.
(f) Uma matriz de Markov 4 × 4 com autovalores 1, −1.1, 0.2, 0.1.
(g) Uma matriz de Markov 3 × 3 com autovalores 1, 0.5, 0.4.
π
(h) Uma matriz unitária 2 × 2 com autovalores e 6 i , e
11π
i
6
.
(i) Uma matriz hermitiana 3 × 3 com autovalores i, −i, 2.
(j) Uma matriz anti-simétrica 3 × 3 com autovalores −1, 1, 2.
(5) Mostre que a matriz AT A é semidefinida positiva.
(6) Seja X uma matriz quadrada n × n. Suponha que existe um inteiro positivo
m com (X 2 + I)m = 0. Mostre que n não pode ser ı́mpar.
(7) Problemas 4, 17, 40 do conjunto 5.2 do Gilbert Strang (livro em português).
(8) Problemas 6, 16, 29 do conjunto 5.3 do Gilbert Strang (livro em português).
2
(9) Problemas 4, 16, 17, 37, 42 do conjunto 5.5 do Gilbert Strang (livro em português).
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Questões Sofisticadas
(1) Conhecendo apenas a11 , a22 , . . . , ann , os elementos da diagonal da matriz A, e
D o determinante de A. Se A é invertı́vel, ache o traço de A−1 .
P
i
(2) Considere a sequência Fn = k−1
i=0 (1/k) Fn−i−1 , com valores iniciais F0 , F1 , . . . , Fk−1 .
A sequência F diverge para qualquer k ≥ 2 e quaisquer valores iniciais? Justifique.
(3) Considere a matriz A do item (2) das Questões Fundamentais. Existe algum
vetor v0 tal que limn→∞ An v0 = (1, 1, 1)? Justifique.
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Questão Avançada
Neste problema, a gente se propõe a usar o seguinte fato, corolário do “Teorema da
Inércia de Sylvester”, para estimar os autovalores de uma matriz real simétrica A:
• O número de pivôs negativos, positivos e nulos de A correspondem respectivamente
ao número de autovalores negativos, positivos e nulos de A.
Observe que se λ é autovalor da matriz simétrica A, então λ + c é autovalor da
matriz simétrica A + cI; autovetores permanecem os mesmos. Use esses dois fatos
para estimar com certa precisão os autovalores de A. (Dica: Observe que se para A,
o número de pivôs negativos é 5, e para A + 100I o número de pivôs negativos é 2,
então 3 autovalores estão compreendidos entre −100 e 0. Elabore sobre a idéia da
busca binária e da eliminação de Gauss para a eficiência do método.)
• Use JAVA para a implementação.
• Caso resolvam fazer a questão, quero apenas um código para toda turma; este
código será enviado por e-mail para mim com o subject “[MA531] Questão
Avançada Lista 9”.
• O trabalho pode ser dividido como quiserem entre a turma, aproveitem.
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• Quero o código .java e um README.txt ensinando como usar o programa de
vocês.
• Se eu conseguir usar o programa de vocês após ler o README.txt, e as estimativas estiverem corretas, a turma receberá a pontuação.
• A entrada é: (i) um inteiro n (n ≤ 100); (ii) n × n inteiros representando as
entradas da matriz (real / simétrica); (iii) , a precisão desejada.
• Não usar pontos flutuantes!
• A saı́da é: n pontos flutuantes, cada um representando uma estimativa do
i-ézimo autovalor de A.
• Aproveitem tudo que vocês aprenderam em IP.
• Se a turma enviar mais de uma solução sortearei apenas uma para avaliar.
• Prazo, 15/06/2012.
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