Autovalores e Autovetores
Lucia Catabriga
Algoritmos Numéricos II
Computação Cientı́fica
Universidade Federal do Espı́rito Santo
10 de junho de 2014
Resumo
Este texto tem por objetivo introduzir os conceitos básicos para o cálculo
aproximado de autovalores e autovetores dentro do contexto da disciplina
A;goritmos Numéricos II do Departamento de Informática da Universidade
Federal do Espı́rito Santo (DI/UFES). Não é um texto completo, apenas
introdutório, detalhes devem ser consultados em ?? .
Capı́tulo 1
Introdução
Neste capı́tulo estudaremos métodos numéricos para encontrar autovalores
e autovetores de matrizes com coeficientes reais. Os autovalores e correspondentes autovetores de uma matriz satisfazem a propriedade:
Se multiplicarmos a matriz por um autovetor encontramos um multiplo
do próprio autovetor, com constante de multiplicidade conhecida por autovalor.
Seja
16 −24
18
0
A = 3 −2
−9
18 −17
2
o vetor 1 satisfaz a
0
2
2
16 −24
18
3 −2
0 1 = 4 1
0
0
−9
18 −17
2
Portanto 1 é autovetor com autovalor correspondente igual a 4.
0
Como o autovetor foi pré-multiplicado pela matriz é conhecido como
autovetor direito. A equação algébrica para o autovalor λ e correspondente
autovetor direito q de uma matriz A é:
Aq = λq
observe que esta equação só tem sentido para matrizes quadradas, portanto
somente tais matrizes possuem autovalores.
1
Um método para encontrar os autovalores de uma matriz A pode ser
ilustrado através da matriz do exemplo anterior.
q1
q1
16 −24
18
3 −2
0 q2 = λ q2
q3
q3
−9
18 −17
que pode ser escrito na forma
q1
0
(16 − λ)
−24
18
3 (−2 − λ)
0 q2 = λ 0
q3
0
−9
18 (−17 − λ)
que é um sistema homogêneo. Este sistema só tem solução não-trivial (qi 6=
0) se a matriz for singular, ou seja se o determinante for nulo.
(16 − λ)
−24
18
3 (−2 − λ)
0 = 0 ⇔ λ3 + 3λ2 − 36λ + 32 = 0
det
−9
18 (−17 − λ)
ou
(λ − 4)(λ − 1)(λ + 8) = 0
que é denominada equação caracteristica. Os autovalores da matriz A são
λ = 4, λ = 1 e λ = −8.
Em geral a equação Aq = λq pode ser representada pelo sistema homogêneo (A−λI)q = 0. Se A é uma matriz de ordem n o sistema homogêneo
tem solução não-trivial se
(a11 − λ)
a12 . . .
a1n
a21 (a22 − λ) . . .
a2n
det
..
.. = 0
.. . .
.
.
.
.
an1
an2 . . . (ann − λ)
A equação caracteristica tem a forma geral:
λn + cn−1 λn−1 + . . . + c1 λ + c0 = 0
O método da equação caracterı́stica não é um bom processo numérico
para determinar os autovalores de uma matriz. O número de operações necessárias para obter os coeficientes da equação caracterı́stica é muito grande.
Nos próximos itens desenvolveremos processos mais eficientes para determinar os autovalores.
Diversas aplicações recaem em problemas de autovalores, tais como:
• Flambagem de uma coluna
2
• Vibração de estruturas
• Vibrações amortecidas
• Cadeias de Markov
No final deste capı́tulo desenvolveremos algumas aplicações citadas. Estas
aplicações nos levaram a determinar autovalores e autovetores de matrizes
que apresentam caracterı́sticas especiais, por exemplo matrizes tridiagonais.
Na próxima seção apresentamos algumas propriedades importantes de autovalores e autovetores que serão usadas no desenvolvimento numérico.
1.1
Algumas Propriedades de Autovalores
1. A equação caracterı́stica pode ser fatorada na forma:
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λn ) = 0
Esta equação mostra que uma matriz de ordem n tem n autovalores .
Porém os autovalores não são necessariamente distintos (por exemplo,
podemos ter λ1 = λ2 = λn−1 ).
2. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz é chamada
traço. Sendo que:
tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann = −cn−1 = λ1 + λ2 + . . . + λn
ou seja:
A soma dos autovalores de uma matriz é igual ao traço da matriz
3. O produto dos autovalores da matriz é igual ao determinante da matriz
detA = (−1)n c0 = λ1 λ2 . . . λn
Portanto se A é singular, existe pelo menos um autovalor λi = 0
4. A matriz A e sua transposta At tem os mesmos autovalores, pois o
detA = detAt .
5. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal. Então se A é triangular:
det(A − λI) = (a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ)
Portanto os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos da diagonal.
3
6. Se as linhas e colunas correspondentes de uma matriz são trocadas os
autovalores permanecem os mesmos. Por exemplo:
q1
q1
16 −24
18
3 −2
0 q2 = λ q2
q3
q3
−9
18 −17
Se trocarmos a linha 1 com a linha 2 e a coluna 1 com a coluna 2,
obtemos:
q2
q2
−2
3
0
−24 16
18 q1 = λ q1
q3
q3
18 −9 −17
observe que os autovalores permanecem os mesmos, mas ao autovetores
tem a 1a. coordenada q1 trocada com a segunda coordenada q2 .
7. Considere uma matriz A 4x4 e um autovalor λ. Multiplicando a segunda linha de A por f, a segunda coluna de A por 1/f e a segunda
componente de q por f, obtemos:
q1
a11 a12 /f
a13
a14
f a21
a22 f a23 f a24 f q2
a31 a32 /f
a33
a34 q3
q4
a41 a42 /f
a43
a44
q1
= λ f q2
q3
q4
Portanto se uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar
e a coluna correpondente é multiplicada pelo inverso do escalar os
autovalores permanecem os mesmos.
O cálculo dos autovetores associados envolvem a solução de um sistema
homogêneo. Para cada autovalor definimos um sistema de n equações e n
incógnitas
(A − λI)q = 0
Por exemplo:
A matriz
16 −24
18
0
A = 3 −2
−9
18 −17
tem por autovalores λ1 = 4, λ2 = 1 e λ3 =
λ1 = 1 é o vetor q tq (A − λI)q = 0, ou seja
q1
15 −24
18
3 −3
0 q2 =
q3
−9
18 −18
4
−8. O autovetor associado a
0
0 m21 = 0.2
m31 = −0.6
0
0
q1
15 −24
18
∼ 0 1.8 −3.6 q2 = 0 L3 = 2L2
q3
0
0 3.6 −7.2
Considerando somente L1 e L2 , chegamos a:
q1 = q2 = 2q3
Portanto qualquer vetor que possui esta propriedade é autovetor associado
ao autovalor
λ= 1.
2
Seja q = 2 .
1
Para encontrar cada autovetor são necessários n3 /3 multiplicações se a
matriz dos coeficientes for cheia e não simétrica. Portanto a determinação
dos autovetores não é considerado um processo numérico trivial, mesmo
quando os autovalores são conhecidos.
É possı́vel combinar a equação padrão dos autovalores com todos os
autovalores e correspondentes autovetores na forma:
λ
1
λ2
q1 q2 . . . qn q1 q2 . . . qn
=
A
..
.
λn
isto é,
AQ = QΛ
onde Λ é a matriz diagonal dos autovalores.
Q matriz quadrada contendo todos os autovetores.
5
Capı́tulo 2
Métodos Iterativos Simples
2.1
Método Das Potências
O objetivo do método das potências é determinar o autovalor de maior
módulo dentre todos os autovalores de uma matriz.
Seja A uma matriz de ordem n.
Sejam λ1 , λ2 , . . . , λn os autovalores de A e q1 , q2 , . . . , qn os autovetores
correspondentes.
Suponha que |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |. Vamos desenvolver um processo
iterativo para determinar λ1 .
Seja u(0) uma combinação linear dos autovetores correspondentes:
u(0) = c1 q1 + c2 q2 + . . . + cn qn
Os autovetores são linearmente independentes.
u(1) =
Au(0)
u(2) = A2 u(0)
= c1 Aq1 + c2 Aq2 + . . . + cn Aqn
= c1 λh1 q1 + c2 λ2 q2 + . . . + cn λn qn i
= λ1 c1 q1 + c2 λλ21 q2 + . . . + cn λλn1 qn
i
h
= λ1 c1 Aq1 + c2 λλ12 Aq2 + . . . + cn λλn1 Aqn
2
2 λ2
2
= λ1 c1 q1 + c2 λ1 q2 + . . . + cn λλn1 qn
Se pré-multiplicarmos a expressão pela matriz A k-vezes obtemos:
"
u(k) = Ak u(0) = λk1 c1 q1 + c2
λ2
λ1
k
q2 + . . . + c n
λn
λ1
k
qn
#
Como |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |, temos que λλ1i < 1, para i = 2, . . . , n.
k
Portanto quando k → ∞ λλ1i
→ 0 para i = 2, . . . , n.
6
Então, o vetor
"
c 1 q1 + c 2
λ2
λ1
k
q2 + . . . + c n
λn
λ1
k
#
qn → c 1 q1
que é um autovetor associado a λ1 . Portanto podemos afirmar que para
valores grandes de k
u(k) ≃ λk1 c1 q1
u(k) tende a ser proporcional ao autovetor q1 . Considerando que o autovetor
pode ter tamanho arbitrário (ou seja, um autovetor multiplicado por um
escalar tem o mesmo autovalor associado) é conveniente normalizar o vetor
que gera o processo iterativo depois de cada multiplicação. O algoritmo
iterativo para determinar q1 pode ser representado através das equações:
(k)
v = Au(k)
u(k+1) = α1 v (k)
onde α = ± k v (k) k
Exemplo: Considere a matriz
528.2 547.6 156.4
A = 273.8 312.8 98.0
78.2 98.0 39.0
Seja u(0) = (1 1 1)(t) e considere a norma do máximo para obter o valor
de α.
• Iteração 1
1
1232.1
1
528.2 547.6 156.4
273.8 312.8 98.0 1 = 684.6 = 1232.1 0.5556
| {z }
0.1747
215.3
1
78.2 98.0 39.0
α
|
|
{z
} | {z } |
{z
}
{z
}
A
• Iteração 2
• Iteração 3
A
u(0)
v (0)
859.7
1
1
0.5556 = 464.7 = 859.7 0.5406
| {z }
139.5
0.1747
0.1622
α
{z
} | {z }
{z
}
|
|
u(1)
A
u(1)
v (1)
u(2)
1
1
849.5
0.5406 = 458.8 = 849.5 0.5400
| {z }
0.1622
0.1616
137.3
α
|
|
{z
} | {z }
{z
}
u(2)
v (2)
7
u(3)
• Iteração 4
849.1
1
1
0.5400 = 458.6 = 849.1 0.5400
| {z }
137.4
0.1616
0.1619
α
{z
} | {z }
{z
}
|
|
A
u(3)
v (3)
u(4)
O autovetor aproximado é u(4) ≃ q1 com erro inferior a 10−3 . O autovetor
correspondente é λ1 ≃ 849.1.
Quando a norma do máximo é usada o sinal de α pode ser o mesmo do
maior elemento em módulo. Neste caso α convergirá para λ1 até mesmo
quando ele for negativo, além disso a sequência de vetores convergirá normalmente para q1 .
Exemplo:
Encontre o maior autovalor da matriz
16 −24
18
0
A = 3 −2
−9
18 −17
usando u(0) = (1 1 1)(t) e norma do máximo para obter o valor de α. Faça
algumas iterações.
Após construir algumas iterações é possivel observar que a convergência
para o autovalor pode ser mais rápida que a convergência para o autovetor
associado.
Em geral, dependendo de cada aplicação, é possı́vel escolher uma aproximação inicial para o autovetor associado ao autovalor de maior módulo
através de algum critério. Porém, quando não existe alguma informação, é
necessário um cuidado especial para não escolher u(0) tal que o coeficiente c1
seja nulo ou muito pequeno quando comparado com os outros coeficientes.
Para implementações computacionais do método das potências, a determinação do vetor inicial u(0) é feita através de procedimentos automáticos.
Um procedimento bastante usado consiste em gerar os elementos dos vetor
(0)
através de números randômicos no intervalo −1 ≤ ui ≤ 1. Quando este
processo é usado a probabilidade de ocorrer c1 = 0 é bem pequena.
2.1.1
Caracterı́sticas da Convergência do Método das Potências
O autovetor u(k) pode ser expresso:
u(k) = q1 + e(k)
onde
e
(k)
=
λ2
λ1
k
c2
q2 + . . . +
c1
8
λn
λ1
k
cn
qn
c1
Por hipótese temos que |λ1 | > |λ2 | ≥ . . . ≥ |λn |, portanto para valores
grande de k o erro pode ser aproximado por
ke
(k)
(k)
λ2 |c2 |
k q2 k
k∼ λ1
|c1 |
É possivel provar que |c2 | ∼ |c1 |.
Através desta aproximação é possı́vel estimar o número de iterações necessárias para atingir uma tolerância pré-fixada. Para exemplificar, suponha
que desejamos calcular os autovalores de uma matriz com tolerância de 10−s .
k
Como já foi mostrado o erro na iteração k depende do quociente λλ12 , então:
k
λ2 ≃ 10−s
λ1 k≃
−sln10
ln|λ2 /λ1 |
Portanto se λλ21 estiver próximo de 1, o método das potências converge
vagarosamente.
É possı́vel acelerar a convergência do método das potências. Nota-se que
o uso da Norma Euclidiana no método para normalizar os autovetores e
determinar os autovalores correspondentes aceleram a convergência, principalmente no caso de matrizes simétricas. Porém este processo não estabelece
um critério simples para a escolha do sinal de α. Em geral, adota-se que o
sinal de α deve ser tal que as componentes do autovetor de uma iteração
a outra permanecam com o mesmo sinal. Outro processo similar a norma
euclidiana para matrizes simétricas em termos de precisão é usar o Coeficiente de Rayleigh para normalizar o vetor v (k) :
α=
(u(k) )t Au(k)
(u(k) )t v (k)
=
(u(k) )t u(k)
(u(k) )t u(k)
Apesar da precisão deste critério ser similar a da norma euclidiana, não
existe o incoveniente da escolha do sinal.
Portanto poderiamos definir o seguinte algoritmo:
9
Algoritmo 1: Método da Iteração Inversa
1
2
3
4
5
6
Entrada: A,v (0) ,ǫ,kmax
Inicializar ρ (ρ = 1.0)
Inicializar λk (λk = 0.0)
while ρ > ǫ and k < kmax do
u = Av (k)
Resolva U v = y
T
v (k) u
7
λk+1 =
8
v (k+1) =
9
ρ=
10
11
12
T
v (k) v (k)
u
λk+1
|λk+1 −λk |
|λk+1 |
k =k+1
end
Saı́da: λk+1 , v (k+1)
No entanto, podemos escalonar a sequência v (k) , antes de calcular o λk .
(k)
Para isso, seja y (k) = kuu(k) k , então ky (k) k = 1.
T
Ay (k) ≈ λk y (k)
λk =
y (k) Ay (k)
T
y (k) y (k)
T
= y (k) u(k+1)
Exemplo:
Considere a Matriz simétrica
2 −1
−1
2 −1
A=
−1
2 −1
−1
2
O autovalor de maior módulo calculado pelo método das potências é
λ = 2.61803. A tabela abaixo mostra a tolerância atingida para algumas
iterações, demonstrando que o uso da norma euclidiana e/ou do coeficiente
de Rayleigh acelera moderadamente a convergência. Para tal, Considere
(k)
(k−1) k
u(0) = {1, 1, 1, 1} e critério de parada ku ku−u
< ǫ.
(k) k
N. Máximo
N. Euclidiana
C. de Rayleigh
2.2
4 iterações
1.538 × 10−2
1.124 × 10−2
1.124 × 10−2
6 iterações
3.305 × 10−4
2.391 × 10−4
2.391 × 10−4
8 iterações
7.035 × 10−5
5.091 × 10−6
5.091 × 10−6
10 iterações
1.498 × 10−7
1.083 × 10−7
1.083 × 10−7
Método da Potência Inversa
O método da potência inversa é usado para determinar o autovalor de menor
valor absoluto e seu correspondente autovalor de uma matriz A. De forma
10
semelhante ao método das potências, o método é útil para determinar o
menor autovalor em módulo, desde que o mesmo esteja bem separado dos
demais, isto é, seja menor que todos os outros e não muito próximo do
segundo menor. Considerando que |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ . . . ≤ |λn−1 | > |λn |,
desejamos calcular |λn |. Sabemos que se λ é autovalor de A, λ−1 é autovalor
de A−1 . Portanto se λn é o menor autovalor em módulo de A, λ−1
n é o maior
autovalor de A−1 em módulo. Assim, dado
2.3
Método da Sequência de Sturm
Em geral a solução numérica de um problema de autovalor não envolve a
determinação do polinômio caracterı́stico, pois o cáculo do mesmo necessita
de muitas operações o que é enviável computacionalmente. Porém para
matrizes tridiagonais simétricas é possı́vel obter o polinômio caracterı́stico
através de um processo simplificado.
Seja A uma matriz tridiagonal de ordem n:
α1 β 1
β 1 α2 β 2
β 2 α3
β2
A=
..
..
..
.
.
.
βn−2 αn−1 βn−1
βn−1 αn
Considere a sequência formada por
α1 β 1
β 1 α2
β2
.
.
..
..
..
fk (λ) = det
.
βk−2 αk−1 βk−1
βk−1 αk
para 1 ≤ k ≤ n e f0 (λ) ≡ 1.
Assim
f1 (λ) = α1 − λ
f2 (λ) = (α1 − λ)f1 (λ) − β12 f0 (λ)
..
.
2 f
fk (λ) = (αk − λ)fk−1 (λ) − βk−1
k−2 (λ)
O processo descrito para obter o polinômio caracterı́stico fn (λ) requer
2n − 3 multiplicações. Podemos então considerar qualquer método numérico
para encontrar os zeros do polinômio caracterı́stico. Porém a sequência
{fk (λ), 1 ≤ k ≤ n} possui propriedades especiais e por isso é denominada
por sequência de Sturm. Tais propriedades nos levarão a isolar facilmente
os autovalores de A.
11
Propriedade da Sequência de Sturm: Seja a função de valores inteiros
s(λ) que guarda o número de trocas de sinal de membros consecutivos da
sequência {fk (λ)}. Dado um intervalo [a, b], o número de raı́zes da equação
fn (λ) = 0 (ou o número de autovalores de A) no intervalo [a, b] é igual a
|s(a) − s(b)|. Se algum membro é nulo, ou seja, suponha que fj (λ) = 0.
Neste caso, observa-se a troca de sinal entre os membros fj−1 (λ) e fj+1 (λ),
pois se fj (λ) = 0 então fj−1 (λ) 6= 0.
É possivel determinar o intervalo que contenha os autovalores de uma
matriz. Suponha uma matriz A de ordem n. Seja λ um autovalor e q um
autovetor correspondente, portanto
Aq = λq
suponha que o autovetor está normalizado, ou seja, existe uma componente
qk = 1 e |qi | < 1 para i 6= k, assim:
q1
q1
×
× ... × ... ×
q2
q2
×
× ... × ... ×
..
..
.
.
ak1 ak2 . . . akk . . . akn 1 = λ 1
..
..
.
.
×
× ... × ... ×
qn
qn
O produto da linha k com o vetor q gera a equação:
ak1 q1 + ak2 q2 + . . . + akk + . . . + akn = λ
Portanto
λ − akk =
X
akj qj
j6=k
como |qj | < 1
|λ − akk | ≤
X
|akj |
j6=k
O intervalo que contém todos os autovalores é formado pela união de
todos os intervalos definidos na expressão anterior, ou seja para todo k.
Exemplo:
A Sequência de Sturm da matriz
2 −1
2 −1
A = −1
−1
2
é dada por
12
f0 (λ) = 1
f1 (λ) = (2 − λ)
f2 (λ) = (2 − λ)f1 (λ) − 1
f3 (λ) = (2 − λ)f2 (λ) − f1 (λ)
O intervalo que contém todos os autovalores é dado pela união dos intervalos:
|λ − 2| ≤ 1
|λ − 2| ≤ 2
|λ − 2| ≤ 1
Todos os autovalores de A estão no intervalo [0,4]. Observe que f3 (2) = 0,
portanto λ = 2 é autovalor da matriz A. Na tabela a seguir calculamos um
autovalor de A no intervalo (2,4), usando a propriedade de Sturm. O processo consiste inicialmente em observar o número de trocas de sinal que
ocorre no intervalo [2,4], que é igual a 2 (sendo que λ = 2 é autovalor. Este
fato, significa que existe somente um autovalor no intervalo (2,4). O processo iterativo deve continuar sempre particionando o intervalo que contém
o autovalor ao meio até que uma determinada tolerância pré-fixada seja
atingida.
λ
2
4
3
3.5
3.25
3.375
3.4375
3.40625
3.421875
3.4140625
3.4179688
3.4142968
2.4
f0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
f1
0
-
f2
+
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
f3
0
- 4.0
+ 1.0
- 0.375
+ 0.546875
+ 0.1503906
- 0.0954589
+ 0.0315856
- 0.0621452
+ 0.0006041
- 0.0150806
- 0.0003333
No. trocas de sinal
1
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
3
Método da Iteração Inversa
Seja Q a matriz que contém em cada coluna os autovetores de A e Λ a matriz
diagonal contendo os autovalores correspondentes:
AQ = QΛ
onde
13
q1 q2 . . . qn
Q=
e
Em particular
Aqi = λi qi
λ1
Λ=
λ2
..
.
λn
p/ i = 1, 2, . . . , n
Sem perda de generalidades, pode-se assumir que k qi k∞ = 1 ∀i.
Seja λ uma aproximação de um autovalor λk . Considere z (0) um vetor condição inicial para o cálculo do autovalor correspondente λ (ou λk ).
Define-se duas sequências {w(m) } e {z (m) } tq
(A − λI)w(m+1) = z (m) e z (m+1) =
w(m+1)
p/ m ≥ 0
k w(m+1) k∞
O processo que acabamos de apresentar é essencialmente o Método das
potências aplicado a matriz (A − λI)−1 . Porém a matriz (A − λI) é malcondicionada, pois
det(A − λk I) = 0 sendo
λ ≈ λk
O processo de obtenção do autovalor λ(≈ λk ) causa o acúmulo de erros
de arredondamento na matriz (A−λk I), o que leva a concluir que estes erros
equilibram a instabilidade. É possivel estudar com cautela este fato, porém
neste texto não aprofundaremos esta discussão. O vetor z (m) gerado pelas
sequências descritas converge para o autovetor correspondente de λk .
2.4.1
Implementação do Método
A fatoração LU será usada para decompor a matriz (A − λI) e resolver o
sistema (A − λI)w(m+1) = z (m) . Portanto dado uma aproximação z (m) :
LU w(m+1) = z (m)
w(m+1)
⇓
⇒
p/ m ≥ 0
(m+1)
(m)
Ly
= z
k w(m+1) k∞
U z (m+1)
= y (m+1)
Como (A − λI) é quase singular, o último elemento da diagonal de U
pode ser bem pequeno. Caso seja nulo, é possı́vel executar uma pequena
alteração no seu valor ou alterar o valor aproximado λ e recalcular L e U .
Este procedimento, em geral oferece bons resultados.
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A condição inicial z (0) , a princı́pio, poderia ser um vetor com números
randômicos de -1 a 1. Porém demonstra-se que o seguinte procedimento leva
a melhores resultados:
1
1
z (0) = Le onde e = .
..
1
Assim
y (1) = e ⇒ U w(1) = e
z (m+1) =
w(m+1)
k w(m+1) k∞
onde
Ly (m+1) = z (m)
e
U w(m+1) = y (m)
Exemplo 1:
A matriz
2 1
A = 1 3 1 tem por autovalor λ = 1.2679
1 4
0.7321
1
1
1.7321
1
A − 1.2679I =
1
2.7321
0.7321
1.0
1.0
LU = 1.3659 0.3662
2.7307 0.0014
z (0) = Le ⇒ y (1)
y (2)
y (3)
=
1
1
..
.
1
1.0
2661.9365
⇒ w(1) = −1947.8037 ⇒ z (1) = −0.7317
0.2683
714.2857
1.0
15984.869
1.0
= −2.0976 ⇒ w(2) = −11701.523 ⇒ z (2) = −0.7320
0.2679
4283.000
5.9962
1.0
15986.031
1.0
= −2.0979 ⇒ w(3) = −11702.373 ⇒ z (3) = −0.7320
0.2679
4283.3111
5.9966
Norma de k z (3) − z (2) k= 0.
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