Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
4.a Aula: Matriz de Transição de Estado
Matriz de Transição de Estado
 Nas seções anteriores definimos um par de Equação de Estado :
(1)
(2)
Matriz de Transição de Estado
 Onde para duas ou mais Equações Diferenciais simultâneas:
 A e C são matrizes 2 x 2 ou de maior ordem;
 b e d são vetores coluna com duas ou mais linhas;
 Nesta seção vamos introduzir a Matriz de Transição de Estado :
 (t )  e At
(3)
 A Matriz de Transição de Estado é a solução da Equação de Estado

x  Ax  bu (condições iniciais x0  x(t0 ))
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
 Os autovalores de uma Matriz (n x n) são as raízes da Equação
característica:
det[ A   I ]  0
(4)
 Onde I é a matriz (n x n) identidade de A.
 Os autovalores são as vezes chamados de raízes características .
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
 Determinante de uma matriz A de 1ª ordem:
Dada uma matriz quadrada A de 1ª ordem A = [a11], seu determinante será
o número a11. Ou seja:
det A = a11
 Determinante de uma matriz A de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada A de 2ª ordem, seu determinante será obtido
fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e
o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
 Determinante de uma matriz A de 3ª ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3
utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
 O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
 2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos
elementos das duas diagonais paralelas à principal.
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
 3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto
dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:
 4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2
e 3, ou seja:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
Exemplo 1:
 Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
4
A  
 2
5

1 
 Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ A   I ]  0
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
 4 5 1 0   4 5
AI  
 




2
1
0
1
2
1



 
 

det( A   I )  0  (4   )(1   )  10  0
 2  5  6  0
1  1
2  6
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Exemplo 2:
 Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
 2 1 

A  
0 1


 Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ A   I ]  0
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
 2 1  1 0   2 1 
AI  
 




0 1 0 1 0 1 
det( A   I )  0  (2   )(1   )  0
(  1)(  2)  0
1  1
2  2
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Exemplo 3:
 Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
1
0
0

A 0
0
1


 6 11 6 
 Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ A   I ]  0
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
1
0  1 0 0    1
0 
0

AI  0
0
1    0 1 0    0 
1 

 
 

 6 11 6  0 0 1   6 11 6 
det( A   I )  0
 3  6 2  11  6  0
(  1)(  2)(  3)  0
1  1
2  2
3  3
Computação da Matriz de Transição de Estado
 Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os
autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n.
det[ A  i I ]  0
Onde:
i  i  1, 2, ..., n
(5)
Computação da Matriz de Transição de Estado
 Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio.
 As raízes do polinômio da Equação 5 podem ser números reais ou
complexos.
At
 A evolução da Matriz de Transição de Estado e
é baseada no Teorema de
Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como
um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A:
e At  a0I  a1A a2 A2 ... an1An1
(6)
Computação da Matriz de Transição de Estado
Na equação (6) os coeficientes ai
autovalores (lambda)
(i = 0, 1, 2,...n-1) são funções dos
 Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou
seja, são distintos:
1  2  3  ...  n
 Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:
a0  a11  a2 12  ...  an 11n 1  e1t
a0  a12  a2 22  ...  an 12n 1  e2t
a0  a1n  a2 n2  ...  an 1nn 1  ent
Computação da Matriz de Transição de Estado
Exemplo 4:
 Determine a matriz de transição de estado
 2 1 

A  
0 1


 Solução:
 Resolvendo-se os autovalores da matriz A:
det[ A   I ]  0
e.
At
. Dada a matriz A.
Autovalores da Matriz A
 2 1  1 0   2 1 
AI  
 




0 1 0 1 0 1 
det( A   I )  0  (2   )(1   )  0
(  1)(  2)  0
1  1
2  2
Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)
 Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois
primeiros termos da equação (6):
e At  a0 I  a1A
(7)
 Os coeficientes a0 e a1 podem ser determinados pelas Equações :
a0  a11  e
1t
a0  a12  e
2 t
Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)
 Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados:
a0  a1 (1)  e1t
a0  a1 (2)  e2t
 Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:
a0  2et  e2t
t
a1  e  e
2 t
Cálculo da Matriz de Transição de Estado
 Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se:
e At  (2et  e2t ) I  (et  e2t ) A
 Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:
0
t
2t  2 1 
0 1  (e  e ) 0 1




At
t
2t 1
e  (2e  e )
Cálculo da Matriz de Transição de Estado
 Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição
de estado:
e2t
e At  
 0
t
e e
e
t
2t 


Computação da Matriz de Transição de Estado
Exercício 5 (lista):
 Determine a matriz de transição de estado
 5 7 5 


A  0 4 1


 2 8 3
e. At
. Dada a matriz A.