MAT1202 - Gabarito Resumido - P3 - 2012-1
Profas.: Ana Cristina e Christine
26 de Junho de 2012
Questão 1
Considere a matriz onde a e b são números reais.




A=
a
b
0
0
b
a
0
0
0
0
a
b
0
0
a
b



,

a) (0,8) Apresente os autovalores de A (em função de a e b, se necessário).
Observe que os autovalores de A são os autovalores das matrizes
A1 e A2, ambas quadradas de ordem 2, localizadas nos cantos superior esquerdo (A1) e inferior esquerdo (A2) de A. Os autovalores
de A1 são a + b e a − b e os autovalores de A2 são 0 e a + b.
b) Considere a 6= 0. Decida se as afirmações a seguir são falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta em cada item.
(b.1) (0,6p) Se a = b, então A é ortogonalmente diagonalizável.
VERDADEIRA. Neste caso A é simétrica e portanto, ortogonalmente diagonalizável.
1
(b.2) (0,6p) Se a = −b, então A não é diagonalizável.
VERDADEIRA. Neste caso, os autovalores de A são 0 (multiplicidade 3) e 2a. Resolvendo o sistema Av = 0 para encontrar os
autovetores associados ao autovalor 0, verifica-se que suas soluções
são da forma (0, 0, t, s), logo o autoespaço associado a este autovalor
tem dimensão 2 (e não três). Dessa forma A não admite base de
autovetores e portanto não é diagonalizável.
(b.3) (0,6p) Se a = 1 e b = 0 então A é diagonalizável mas não ortogonalmente.
VERDADEIRA. Neste caso, os autovalores de A são 1 (multiplicidade 3) e 0. Resolvendo o sistema Av = v para encontrar os
autovetores associados ao autovalor 1, verifica-se que suas soluções
são da forma (t, s, r, 0), logo o autoespaço associado a este autovalor tem dimensão 3. Além disso, resolvendo o sistema Av = 0
para encontrar os autovetores associados ao autovalor 0, otém-se a
forma (0, 0, l, −l). Então A admite base de autovetores (por exemplo {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, −1)}) mas esta base não é
ortogonal. (verifique!)
c) (0,4p) Considerando a = 2 e b = −1 determine os autovalores da matriz B = 2 · A3 − 3 · A2 + 3 · I
Autovalores de A: 0, 1, 1, 3
Autovalores de A3 : 0, 1, 1, 27
Autovalores de A2 : 0, 1, 1, 9
Autovalores de I: 1,1,1,1
Logo, os autovalores de B são: 3, 2, 2, 30
2
Questão 2
Seja A a matriz não diagonalizável a seguir


−1 1
1

0 
A= 0 0
,
0 1 −1
a) (1,5p) Usando cálculo funcional, encontre um polinômio p(x) que calcule An para n par.
Polinomio caracterı́stico de A é p(λ) = (−1 − λ)(−λ(−1 − λ)). Logo
seus autovalores são λ1 = λ2 = −1 e λ3 = 0. Como o enunciado
garante que A não é diagonalizável sabemos que o polinômio procurado é de grau 2 e deve satisfazer p(0)=f(0), p(-1) = f(-1) e p’(-1)
= f ’(-1) onde p(x) = ax2 + bx + c e f (x) = xn . Resolvendo este sistema
e considerando n par, tem-se que a = n − 1, b = n − 2 e c = 0. O
polinômio procurado é portanto, p(x) = (n − 1)x2 + (n − 2)x
b) (0,5p) Apresente explicitamente a matriz A100 .
Utilizando o item (a) verifica-se que p(A) = A100 = 99A2 + 98A

Logo, A100

1 98 −100

0
0 
= 0
,
0 −1
1
3
Questão 3
Uma determinada população de fêmeas foi dividida em 3 faixas etárias. As
fêmeas da faixa etária i geram, em média, ai filhotes onde a = (0, 3, 3). Além
disso, a proporção de fêmeas da faixa etária i que não sobrevive é bi onde
b = (3/4, 2/3, 1).
a) (0,6p) Apresente a matriz de Leslie que traduz esta situação e seu polinômio caracterı́stico.


0
3 3

0 0 
L =  1/4
,
0 1/3 0
cujo polinômio caracterı́stico é:
p(λ) = −λ(λ2 ) − 3(−λ/4) + 3(1/12) = −λ3 + 3λ/4 + 1/4
b) (0,6p) Sabendo que λ = −1/2 é um dos autovalres de L, determine seus
outros autovalores e decida justificando se L tem autovalor dominante.
(−1/2) + λ2 + λ3 = 0 e (−1/2) · λ2 · λ3 = 1/4 dessa forma λ1 = λ2 = −1/2 e
λ3 = 1, que é autovalor dominante de L já que seu módulo é maior
que o módulo dos demais autovalores de L.
c) (0,8p) Supondo que num determinado tempo, existam 1600 indivı́duos
desta espécie. Determine como eles devem estar distribuı́dos nas 3 faixas
etárias consideradas.
O autovetor associado ao autovalor dominante é obtido resolvendo
o sistema Lv = v e é da forma (12t, 3t, t), t 6= 0. Assim os 1600 indivı́duos estarão distribuı́dos da seguinte forma:
Faixa 1: 1200
Faixa 2: 300
Faixa 3: 100
4