LISTA CÁCULO NUMÉRICO I - SME0200
Exercı́cio 1. Considere a matriz
A=
1 ρ
−ρ 1
Sob quais condições o método Gauss-Seidel convergirá com essa matriz?
Exercı́cio 2. Encontre a forma explı́cita da matriz de iteração no método de Gauss-Seidel quando


2 −1

−1 2 −1




−1
2
−1


A=

.. .. ..


.
.
.



−1 2 −1
−1 2
Exercı́cio 3. Considere o sistema Ax = b com
3 2
A=
,
2 6
b=
2
.
−8
Prove a convergência do método dos gradientes para este sistema e realize algumas iterações.
Exercı́cio 4. Considere o sistema linear

  

x1
1
2
0
−1
−2 −10 0  x2  = −12 .
x3
2
−1 −1
4
′
Usando o vetor inicial x(0) = 0 0 0 , realize dois iterações dos métodos:
(a) Gauss-Seidel
(b) Gradiente Conjugado
Exercı́cio 5. Dado o sistema linear

  

3
2 −1 −0 0
x1
−1 4 −1 0  x2   5 

  

 0 −1 4 −1 x3  = −15 ,
7
x4
0
0 −1 2
′
cuja solução é x = 2 1 −3 2 ,
(a) resolva-o pelo método dos gradientes conjugados, efetuando os cálculos com 4 algarismos significativos;
(b) mostre a ortogonalidade dos vetores resı́duos.
Exercı́cio 6. Sabendo que uma matriz de ordem 3 tem como autovalores λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = 3, responda:
a) Qual é o polinomio caracterı́stico de A?
b) Quanto vale tr(A2 )?
c) Quais são os autovalores de A−1 ?
d) A matriz A é singular? Porque?
Exercı́cio 7. Seja A uma matriz 4 × 4 cujos autovalores são 1,2,3 e 4. Então começando com um vetor
x(0) escolhido aleatoriamente, e aplicando o método das potências.
a) Seja a matriz B = (A − 3I). Então a sequência dos µ(k) convergirá para?
b) Seja a matriz C = (A + 2I)−1 . Então a sequência dos µ(k) convergirá para?
Exercı́cio 8. Seja A uma matriz n×n conhecida. Começando com um vetor x(0) escolhido aleatoriamente,
e aplicando o método das potências à matriz B = (A−0.2I)−1 , a sequência dos µ(k) converge para 5. Então
é possı́vel concluir que
a) 5 é autovalor de A.
b) 1/5 é autovalor de A.
c) 2/55 é autovalor de A.
d) 0 é autovalor de A.
e) A não tem autovalores positivos menores que 1/5.
Exercı́cio 9. Determinar o autovalor de maior valor

4 2
 2 5
2 1
absoluto da matriz:

2
1 
6
usando o método das potencias. Use como vetor inicial x(0) = (8/9, 8/9, 1)′ . Dê seu valor aproximado após
três iterações.
Exercı́cio 10. Considere a matriz

2 −1 0
 −1 2 −1  .
0
1
2

Determine os autovalores de A usando:
a) O método classico de Jacobi.
b) O método cı́clico de Jacobi.
c) Use o Teorema de Gerschgorin para obter um limite superior do erro nos autovalores estimados.
Exercı́cio 11. Suponha que a matriz A de dimensão n × n tenha autovalores λ1 , . . . , λn ordenados por
|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | ≥ · · · ≥ |λn |,
com autovalores linealmente independentes v (1) , v (2) , . . . , v (n) . Mostre que:
a) Se o método da potencia for aplicado com um vetor inicial x(0) dado por
x(0) = β2 v (2) + β3 v (3) + · · · + βn v (n)
então a sequência {µ(m) } converge para λ2 .
b) Para qualquer vetor x =
n
X
βi v (i) , o vetor x(0) = (A − λ1 I)x satisfaz a propriedade dada no item
i=1
anterior.
c) Mostre que este método pode ser continuado para encontrar λ3 utilizando x0 = (A − λ2 I)(A − λ1 I)x.
Exercı́cio 12. Aplique duas iterações do Algoritmo QR às seguintes matrizes.


2 −1 0
a)  −1 2 −1  .
0 −1 2


3 1 0
b)  1 4 2  .
0 2 1