Processamento de Sinais
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
1
Homepage: http://www.redes.unb.br/lasp
Processamento de Sinais em Alta Resolução (1)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada
 Premissas sobre os sinais


Arranjo Linear Uniforme (ULA)
Frentes de onda planares
Banda estreita

Quantos sinais são recebidos?
 Ordem do modelo

Assume-se que a quantidade de
amostras temporais N é maior que
a quantidade de sensores M.

Problema
sobredeterminado:
assume-se que a quantidade de
sensores é maior que a quantidade
de fontes d.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (2)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Dados complexos
• Sensores sempre retornam dados reais.
• Exemplos de transformações de sinais reais em complexos
1) Separação das componentes em fase e em quadratura
2) Transformada de Hilbert: sinal na forma analítica
3) Análise Tempo-Frequência
• Transformada de Fourier de tempo curto, do inglês
Short-Time Fourier Transform (STFT)
4) Polarização das antenas: vertical e horizontal
Processamento de Sinais em Alta Resolução (3)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada


Frentes de onda circulares: mapemaneto em duas variáveis
Frentes de onda planares: mapeamento com uma única variável
• Maior distância entre fonte e arranjo de antenas
• Espaçamento entre as antenas e quantidade de antenas
Processamento de Sinais em Alta Resolução (4)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Banda estreita
Processamento de Sinais em Alta Resolução (5)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Mistura instantânea no caso de sinais banda estreita.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (6)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Somente uma frente de onda, i.e., d = 1.

Relação entre a direção de chegada  e a
frequência espacial 

c é a velocidade da onda eletromagnética no
ar e f é a frequência do sinal banda estreita.
Se o sinal tem  = 0, então o desvio de fase 
entre as saída é zero.
0

 1
2
3

M-1
Processamento de Sinais em Alta Resolução (7)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada
Estrutura Vandermonde
Processamento de Sinais em Alta Resolução (8)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Assumindo o caso de N amostras temporais

A matriz de dados
vetor linha de dados
vetor coluna diretor

Posto da matriz de dados
Todas as linhas e colunas são linearmente dependentes.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (9)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada

Superposição de d fontes
na Figura de exemplo d = 4.

Sendo N > M = 5, o posto da matriz
X é igual a 4.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (10)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada
Matriz de símbolos
Matriz diretora


sendo N > M > d, o posto da matriz X é igual a d.
A é uma matriz Vandermonde.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (11)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada
• Caso sem ruído: não realístico
=
• Caso com ruído
+
+
Processamento de Sinais em Alta Resolução (12)

Modelo de dados da estimação cega da direção de
chegada
• Estimação cega
– Dadas apenas as medições ruidosas
, deseja-se obter
e
– Passo 1) Estimar a ordem do modelo, i.e., d, via técnicas de
seleção da ordem do modelo
– Passo 2) Estimar as frequências espaciais
para i = 1, …, d
e a partir delas as direções de chegada
, para i = 1, …, d
– Passo 3) Reconstruir a matriz diretora A dada a estrutura
Vandermonde e as direções de chegada
– Passo 4) Estimar a matriz de símbolos S via Moore Penrose
pseudoinversa
.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (13)

Matriz de covariância
• Define-se a função correlação como sendo:
• Assume-se d sinais não-correlacionados e o ruído é gerado
por variáveis independentes e identicamente distribuídas
(i.i.d.).
Processamento de Sinais em Alta Resolução (14)

Matriz de covariância
Sinais e ruído não-correlacionados
Processamento de Sinais em Alta Resolução (15)

Matriz de covariância
• Matriz de covariância do ruído
Processamento de Sinais em Alta Resolução (16)

Matriz de covariância
• Matriz de covariância dos sinais
Processamento de Sinais em Alta Resolução (17)

Matriz de covariância
• Matriz de covariância de amostras
– Na prática, apenas um número limitado de amostras está
disponível.
– Notar que:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (18)

Beamforming
Como escolher o vetor ?
Critério de escolha?
Como filtrar sinais de cada direção?
Assume-se o número de fontes e as
direções conhecidos.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (19)

Beamforming
• Atraso e Soma, do inglês Delay and Sum
- Caso de uma única fonte e sem ruído
- Escolhendo o caso em que:
Interferência construtiva
• Na prática, existem ruído e sinais de outras direções.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (20)

Beamforming
• Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção
(MVDR)
• Primeira técnica de processamento de sinais em alta
resolução e não baseada na decomposição em autovalores
(EVD)
• Dada a saída do filtro:
• A potência de saída é dada por:
• Note que:
J. Capon, “High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis”, Proc. IEEE,
Vol. 57, 1408-1418, 1969
Processamento de Sinais em Alta Resolução (21)

Beamforming
• Capon: Resposta de Mínima Variância sem Distorção
(MVDR)
• Deseja-se maximizar a potência para a direção
- independente do sinal, ou seja, estatisticamente
• Restrição:
Como maximizar/minimizar
uma função quadrática com
uma função de restrição?
Processamento de Sinais em Alta Resolução (22)

Beamforming
• Método dos multiplicadores de Lagrange
Multiplicador de
- Equação de Lagrange
Lagrange
Restrição
Função a ser max/min
Processamento de Sinais em Alta Resolução (23)

Beamforming
• Método dos multiplicadores de Lagrange
- Equação de Lagrange:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (24)

Beamforming
• Método dos multiplicadores de Lagrange
- Equação de Lagrange:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (25)

Beamforming
• Método dos multiplicadores de Lagrange
- Equação de Lagrange:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (26)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência: variando
Processamento de Sinais em Alta Resolução (27)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 1
Processamento de Sinais em Alta Resolução (28)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 1
Processamento de Sinais em Alta Resolução (29)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 2
Processamento de Sinais em Alta Resolução (30)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 2
Processamento de Sinais em Alta Resolução (31)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via DS: cenário 3
Processamento de Sinais em Alta Resolução (32)

Beamforming
• Densidade Espacial de Potência via Capon: cenário 3
Processamento de Sinais em Alta Resolução (33)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Comparação com a Transformada de Fourier (TF)
• Transformada de Fourier (TF) projeta os dados sobre exponenciais
complexas. Cada vetor da TF mapeia uma certa frequência.
• A TF não leva em conta a estrutura dos dados.
– Transformada Karhunen-Loeve
• ou Transformada Hotelling
• ou Transformada de Autovetores
• Leva em conta a estrutura dos dados.
– Definição de um autovetor:
onde
é um autovetor e
é um autovalor.
Processamento de Sinais em Alta Resolução (34)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Para encontrar os autovalores:
– Dados um certo autovalor, o seu autovetor correspondente pode
ser encontrado substituindo na equação abaixo:
– Com todos os autovetores e autovalores encontrados, é possível
se rescrever a matriz A da seguinte forma:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (35)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (36)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:
Processamento de Sinais em Alta Resolução (37)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Calcule os autovalores e os autovetores da seguinte matriz:
– Autovetores são unitários:
– Repetir procedimento para
Processamento de Sinais em Alta Resolução (38)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Matriz de correlação
– Em caso de
– Em caso de
Processamento de Sinais em Alta Resolução (39)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
– Passo 1) Cálculo da matriz de covariância de amostras
– Passo 2) Decomposição em autovalores e autovetores da matriz
de covariância de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (40)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (41)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (42)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (43)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (44)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (45)

Decomposição em Autovalores e Autovetores
– Interpretação física da decomposição em autovalores e
autovetores da matriz de correlação de amostras
Processamento de Sinais em Alta Resolução (46)

Autovalores da matriz de covariância de amostras
d = 2, M = 8
10
8
6
i
• SNR  ∞, N  ∞
– M-d autovalores nulos
– d autovalores de sinais não nulos
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Eigenvalue index i
8
Processamento de Sinais em Alta Resolução (47)

Autovalores da matriz de covariância de amostras
d = 2, M = 8, SNR = 0 dB
10
8
6
i
• SNR finito, N  ∞
– M - d autovalores de ruído iguais
– d autovalores de sinais
– Comportamento assintótico dos
autovalores de ruído
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Eigenvalue index i
8
Processamento de Sinais em Alta Resolução (48)

Autovalores da matriz de covariância de amostras
10
d = 2, M = 8, SNR = 0 dB, N = 10
8
• SNR finito, N = 10
i
– M - d autovalores de ruído
– d autovalores de sinais
6
4
2
0
1
2
3
7
6
5
4
Eigenvalue index i
8
Processamento de Sinais em Alta Resolução (49)

Seleção da Ordem do Modelo
• Por que é importante saber a ordem do modelo?
- Caso de subestimação da ordem do modelo:
Sinais são modelados como ruído.
Logo, SNR baixa!
Processamento de Sinais em Alta Resolução (50)

Seleção da Ordem do Modelo
• Por que é importante saber a ordem do modelo?
- Caso de sobrestimação da ordem do modelo:
Ruído é modelado como sinais.
Logo, informação e parâmetros sem sentido!
Processamento de Sinais em Alta Resolução (51)

Seleção da Ordem do Modelo
• Perfil dos autovalores
- Indicação da ordem do modelo d
Inspeção visual: subjetiva e não automatizada
- Estimação automatizada da ordem do modelo
Critério de Informação de Akaike
Original usando máxima verossimilhança
Versão baseada em autovalores
H. Akaike, “A new look at the statistical model identification,” IEEE Transactions on
Automatic Control 19 (6): 716–723 , 1974
M. Wax, and T. Kailath, “Detection of signals by information theoretic criteria,” IEEE
Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing, vol. 33, pp. 387-392, Apr. 1985