2a Lista de Exercı́cios de Introdução à Álgebra Linear
IMPA - Verão 2009
Professor: Marcelo Viana
Exercı́cio 1. Dê exemplos de matrizes A e B tais que:
(i) A + B é não invertı́vel embora A e B sejam invertı́veis.
(ii) A + B é invertı́vel, embora A e B não sejam invertı́veis.
(iii) A, B e A + B são todas invertı́veis.
No último caso, use A−1 (A + B)B −1 = B −1 + A−1 para mostrar que
B −1 + A−1 é também invertı́vel - e obtenha a fórmula de sua inversa.
Exercı́cio 2. Se possı́vel, obtenha matrizes 3 por 3, B, tais que:
(i) BA = 2A, para qualquer A
(ii) BA = 2B, para qualquer A
(iii) BA tem a primeira e última linhas de A invertidas, para qualquer
A.
(iv) BA tem a primeira e última colunas de A invertidas, para qualquer A.
Exercı́cio 3. Seja A uma matriz com componentes 1 sobre a diagonal:


1 a12 · · · a1,n−1 a1n
0 1 · · · a2,n−1 a2n 



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A=


0 0 · · ·
1
an−1,n 
0 0 ···
0
1
Seja N = A − I. Mostre que N n+1 = 0 . Note que A = I + N . Mostre
que A é invertı́vel, e que sua inversa é (I + N )−1 = I − N + N 2 − ... +
(−1)n N n .
Exercı́cio 4. Se N é uma matriz quadrada tal que N r+1 = 0 para algum
inteiro positivo r, mostre que I − N é invertı́vel e que sua inversa é
I + N + N 2 + ... + N r .
Exercı́cio 5. Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. Defina seu traço,
tr(A), pela soma dos elementos da diagonal principal,
tr(A) = a11 + ... + ann
Por exemplo, o traço de
2 −1
3 2
é igual a 2 + 2 = 4.
1
2
(i) Sejam A, B matrizes de ordem n. Mostre que tr(AB) = tr(BA)
.
(ii) Se é B invertı́vel, mostre que tr(B −1 AB) = tr(A) .
Exercı́cio 6. Seja S um subconjunto de Rn . Dizemos que S é convexo
se, dados quaisquer dois pontos P e Q em S, o segmento ligando P
a Q está contido em S. (i.e., tP + (1 − t)Q ∈ S, ∀ 0 ≤ t ≤ 1.) Seja
L : Rn → Rm uma transformação linear. Mostre que a imagem sob L
de um conjunto convexo é convexo.
Exercı́cio 7. Seja L : Rn → R uma transformação linear. Seja S o
conjunto de todos os pontos A de Rn tal que L(A) ≥ 0 . Mostre que S
é convexo.
Exercı́cio 8. Sejam V e W espaços vetoriais e suponha que dim V =
dim W . Seja F : V → W uma aplicação linear. Se F é sobrejetora,
prove que F é um isomorfismo.
Exercı́cio 9. Sejam V e W espaços vetoriais, e suponha que dim V <
dim W . Prove que a aplicação F : V → W não pode ser sobrejetiva.
Exercı́cio 10. Mostre que se U , W são subspaços de V de dimensão
finita, então
dim U + dim W = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ).
Exercı́cio 11. Sejam V um espaço vetorial e P : V → V uma aplicação
linear tal que P ◦ P = P . Sejam U e W a imagem e o núcleo de P ,
respectivamente. Mostre que V é a soma direta de U e W . (Dica:
Para mostrar que V é a soma, escreva um elemento de V na forma
v = v − P v + P v).
Exercı́cio 12. Sejam V um espaço vetorial e, P1 , P2 aplicações lineares
de V em si mesmo. Suponha que elas satisfazem as seguintes condições:
(i) P1 + P2 = I (aplicação identidade)
(ii) P1 ◦ P2 = 0 e P2 ◦ P1 = 0
(iii) P1 ◦ P1 = P1 e P2 ◦ P2 = P2 .
Mostre que V é igual a soma direta das imagens de P1 e P2 , respectivamente.
Exercı́cio 13. Seja A uma aplicação linear de um espaço vetorial em si
mesmo e suponha que:
A2 − A + I = 0
(onde I é a aplicação identidade). Mostre que A−1 existe e é igual a
I − A.
3
Exercı́cio 14. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja T um
operador linear sobre V . Suponha que posto(T 2 ) = posto(T ). Prove
que a imagem e o núcleo de T são disjuntos, i.e., tem somente o vetor
nulo em comum.
Exercı́cio 15. Seja V o espaço das funções polinomiais com coeficientes
reais p : R → R que tem grau 2 ou menor:
p(x) = c0 + c1 x + c2 x2
Defina três funcionais lineares sobre V por:
Z 1
Z 2
f1 (p) =
p(x)dx, f2 (p) =
p(x)dx,
0
0
Z
f3 (p) =
−1
p(x)dx.
0
Mostre que {f1 , f2 , f3 } é uma base para V ∗ exibindo uma base para V
da qual ela é a base dual.
Exercı́cio 16. Seja E = F1 ⊕ F2 = G1 ⊕ G2 . Se F1 ⊂ G1 e F2 ⊂ G2 ,
prove que F1 = G1 e F2 = G2 .
Exercı́cio 17. Verdadeiro ou falso. Dada uma transformação linear
A : E → F:
(i) Se v ∈ E é tal que Av = 0 então v = 0.
(ii) Se Aw = Au + Av então w = u + v.
(iii) Se v é uma combinação linear de u1 , ..., um então Av é combinação
linear de Au1 , ..., Aum .
(iv) Se u, v, w ∈ E são colineares (isto é, pertencentes a uma mesma
reta) então Au, Av, Aw são colineares.
Exercı́cio 18. Seja A : R2 → R2 a projeção sobre o eixo x, paralelamente à reta y = ax(a 6= 0). Isto significa que, para todo v = (x, y),
tem se Av = (x0 , 0), tal que v − Av pertence à reta y = ax. Exprima
x0 em função de x e y e escreva a matriz de A relativamente à base
canônica de R2 .
Exercı́cio 19. No espaço vetorial P sobre R, dos polinômios com coeficientes reais, considere os operadores lineares D, A : P → P de
derivação (Dp(x) = p0 (x)) e multiplicação por x (Ap(x) = xp(x)) respectivamente. Determine DA − AD.
Exercı́cio 20. Escreva a expressão de um operador A : R2 → R2 cujo
núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x.
Exercı́cio 21. Dadas as tranformações lineares A : E → F , B : F → G,
diga se cada uma das seguintes implicações é verdadeira ou falsa:
(i) BA sobrejetiva ⇒ B sobrejetiva.
(ii) BA sobrejetiva ⇒ A sobrejetiva.
4
(iii) BA injetiva ⇒ B injetiva.
(iv) BA injetiva ⇒ A injetiva.
Prove ainda que se, E = F = G tem dimensão finita, então as quatro
implicações são verdadeiras.
Exercı́cio 22. Encontre uma base para o núcleo da transformação linear
A : R3 → R2 dada pela matriz
1 0 2
A=
1 1 4
e verifique que ele é ortogonal ao espaço V , gerado pelas linhas. Dado
x = (3, 3, 3), decomponha-o em uma componente x1 , em V , e outra x2 ,
no núcleo de A.
Exercı́cio 23. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre uma
corpo F . Seja V ∗∗ o dual do espaço V ∗ . Mostre que cada elemento
v ∈ V dá origem a um elemento λv ∈ V ∗∗ e que a função v 7→ λv é um
isomorfismo.
Exercı́cio 24. Sejam A, B duas matrizes que podem ser multiplicadas.
Mostre que posto(AB) ≤ posto(A) e posto(AB) ≤ posto(B).
Exercı́cio 25. Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau
menor ou igual a n. Se f, g ∈ Pn , defina
Z1
hf, gi = f (t)g(t)dt
0
Encontre a matriz deste produto interno com relação à base {1, t, ..., tn }.
Exercı́cio 26. (i) Uma matriz é chamada anti-simétrica se At = −A.
Mostre que qualquer matriz M pode ser expressa como uma soma
de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica, unicamente determinadas.(Dica: A = 21 (M + M t ))
(ii) Mostre que se A é anti-simétrica, então A2 é simétrica.
(iii) Seja A anti-simétrica. Mostre que det(A) = 0 se A é uma matriz
quadrada de ordem ı́mpar.
Exercı́cio 27. Dizemos que uma matriz quadrada real e simétrica é
positiva definida se hAv, vi > 0 para todo v 6= 0. Se A, B são são
matrizes reais simétricas e de mesma ordem, dizemos que A < B se
B − A é positiva. Mostre que se A < B e B < C então A < C.