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Questão 174
Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P
sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância
d ⭐ r sobre a circunferência
y
P
r
x
Q
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
⎛
d⎞
A) r ⎜1 – sen ⎟ .
r⎠
⎝
⎛r⎞
D) rsen ⎜ ⎟ .
⎝d⎠
⎛
d⎞
B) r ⎜1 – cos ⎟ .
r⎠
⎝
⎛r⎞
E) r cos ⎜ ⎟ .
⎝d⎠
⎛
d⎞
C) r ⎜1 – tg ⎟ .
r⎠
⎝
Resolução
Considere a figura em que C é o centro da circunferência:
y
P
r
α
d r
β
P’
Q Q’
C
α: medida do ângulo PĈP’ em radianos;
β: medida do ângulo CP̂’B em radianos.
B
A
x
—
Vamos admitir que CP é paralelo ao eixo x. Assim, temos que α = β e, no triângulo retângulo CBP’, temos:
cos α =
BP′
∴ BP′ = CP′ ⋅ cos α ∴ BP′ = r ⋅ cos α (I)
CP′
No setor circular PCP’, temos α =
d
. (II)
r
A distância QQ’ pedida é tal que:
QQ’ = QA – Q’A = r – BP’
De (I) e (II), temos:
⎛
⎛ d⎞
d⎞
QQ′ = r – r ⋅ cos ⎜ ⎟ ∴ QQ′ = r ⋅ ⎜ 1 – cos ⎟
r⎠
⎝
⎝r⎠
—
Nota: No enunciado não estava claro que CP é paralelo ao eixo x.
Resposta: B