Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Duração: 90 minutos
5º Teste
Teste de MATEMÁTICA 12º Ano
28 de Maio 2004
Prof. Luís Abreu
Nome __________________________ Turma ___
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as
alternativas que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Atenção! Se apresentar mais do que uma
resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. Considere a função t definida por t ( x ) = sen(e x ) .
Indique qual das expressões seguintes define t ' , função derivada de t.
(A) e x cos(e x −1 )
2. O complexo 2cis
π
10
(B) e x cos(e x )
(C) − cos(e x )
(D) x cos(e x )
é uma das raízes quintas de um complexo Z. Então Z é:
(B) – i
(A) i
(C) 32 i
(D) 32
3. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [ABC].
Sabe-se que:
• Os vértices do triângulo pertencem à circunferência e o ponto C está sobre o eixo das ordenadas.
• O ponto B desloca-se sobre o arco da circunferência, de tal forma que se tem sempre, [AB]
paralelo ao eixo das abcissas.
forma com o semi-eixo
• Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude do ângulo que OB
⎤ π⎡
.
⎦ 2 ⎢⎣
positivo das abcissas, x ∈ ⎥ 0,
A área do triângulo [ABC] é dada, em função de x, por:
(A) sen x (1 + cos x )
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(B) cos x (1 + sen x )
(C) 2.cos x.senx
(D) tgx + 2 cos x
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4. Na figura está representado um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro na
origem e raio 3 e cujos vértices são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes de índice
sete de um certo número complexo.
O vértice A pertence ao eixo real.
Qual dos seguintes números complexos tem por imagem
geométrica o vértice B?
(A) 37 cis ⎜ π ⎟
⎛9 ⎞
⎝7 ⎠
(B) 3 cis ⎜ π ⎟
⎛9 ⎞
⎝7 ⎠
⎛8 ⎞
⎝7 ⎠
(D) 3 cis ⎜ π ⎟
⎛8 ⎞
⎝7 ⎠
(C) 37 cis ⎜ π ⎟
5. Num saco estão três bolas, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em
simultâneo, duas bolas do saco. Seja X o menor dos números saídos. Qual é a distribuição de
probabilidades da variável aleatória ?
(A)
(C)
(B)
xi
1
2
P( X = xi )
1
2
1
2
xi
1
2
3
P( X = xi )
1
3
1
3
1
3
(D)
xi
1
2
P( X =
2
3
1
3
xi
1
2
3
P( X = xi )
1
6
1
3
1
2
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações
necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. ^ é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
π
(1 − 3i ) 2 + (2cis ) 4
1.1 Sem recorrer à calculadora, determine
6 cis π
12
apresentando o resultado na
forma algébrica.
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1.2 Seja Z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto
situado no 2º quadrante e pertencente à recta definida pela condição Im(Z)=3. Sejam B a imagem
geométrica de Z , conjugado de Z e C a imagem geométrica de –Z, simétrico de Z.
a) Represente, no plano complexo, um triângulo [ABC], de acordo com as condições
enunciadas.
b) Sabendo que a área do triângulo [ABC] é 24, determine Z, na forma algébrica.
⎧ x − 2senx,
⎪
2. Considere a função f, real de variável real, definida por f ( x) = ⎨
⎪⎩2 x − tgx,
− 2π ≤ x ≤ 0
0< x<
π
2
e cujo gráfico se encontra parcialmente representado na figura seguinte
2.1 Determine o valor exacto de −
π
6
+ f (−
5π
).
6
2.2 Mostre que f é contínua no ponto de abcissa zero.
2.3 Prove que a recta x =
π
2
é a única assimptota do gráfico de f.
⎤ π⎡
.
⎦ 2 ⎢⎣
2.4 Estude f quanto à monotonia e existência de extremos no intervalo ⎥ 0,
2.5 Calcule, se existir, lim
−
x →0
f ( x)
.
x
2.6 O ponto P é ponto de inflexão do gráfico de f. Determine as suas coordenadas.
2.7 Recorrendo à calculadora, apresente, com aproximação às centésimas, o contradomínio
da função e as abcissas dos pontos do gráfico de f com ordenada cos
π
3
.
Explique como procedeu. Na sua explicação, deve incluir o(s) gráfico(s) que considerou
para resolver esta questão.
FIM
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