Raizes de Equacões Não-lineares
Aurora Pozo
Introdução
• Seja F(x) uma função real definida num
intervalo [a, b].
• Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a
todo ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.
Zeros de Equações Transcendentes e
Polinomiais
Fases na determinação de raízes
• Fase I - Isolamento
– Nesta fase o objetivo é o de determinar um
intervalo [a; b], o menor possível, que contenha
uma única raiz.
Teorema de Bolzano
• Teorema: Se uma função f(x) contínua num
intervalo [a, b] assume valores de sinais
opostos nos pontos extremos deste intervalo,
isto é, f(a). f(b) < 0, então o intervalo conterá,
no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0; em
outras palavras haverá, no mínimo, um
número ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.
• Se f’ preservar o sinal em (a,b) então a raiz é
única.
Procedimento I:
• Esboçar o gráfico de f, determinando os
intervalos [xi, xi+1] que contenham uma
única raiz.
• Este objetivo pode ser cumprido
gerando-se uma tabela de pontos (xi;
f(xi)), onde os pontos inicial e final, bem
como o valor do passo considerado (xi+1
¡ xi), dependerão do problema
considerado e da experiência do usuário.
Procedimento II:
• Decompor a função f, se possível, na forma
f=g+h, onde os gráficos de g e h sejam
conhecidos e mais simples.
• Neste caso, os pontos de interseção dos
gráficos de g e h representam as raízes de
f(x)=0.
Exemplo:
• Isolar as raízes de f(x) = 2x - cos x.
• Inicialmente, façamos a decomposição da
função f dada:
– f(x) = 0 → 2x - cos(x) = 0
– g(x) = 2x , h(x) = cos(x)
Funções Scilab
function[a] = f(x)
a = x*cos(x) - 1
function muda(x0,h)
while (f(x0)*f(x0+h) >0),
x0=x0+h;
end
a=x0
b=x0+h;
printf('Muda sinal em:\na=%f f(x0)=%f\nb=%f f(x0+h)=%f',a,f(x0),b,f(x0+h))
x=[0:0.1:10];
y=x.*cos(x)-1;
plot(x,y);xgrid();