EXERCÍCIO DE RECAPITULAÇÃO 1. Integre as seguintes funções: 6 a) β«(8. x 3 + 6. cos π₯ β π₯4 + 5) dx b) β«[x 2 . cos(π₯ 3 + 1)] dx c) β« e2π₯ dx INTEGRAÇÃO POR PARTES β« π’ ππ£ = π’. π£ β β« π£ ππ’ ο· Exemplos: a) β« π₯ cos(π₯) ππ₯ b) β« ln(π₯) ππ₯ c) β« π₯π 2π₯ ππ₯ Para fazer a integração por partes, devemos denominar dois termos: uma que será a função u e que sabemos derivar e outra que sabemos integrar que chamaremos de dv. a) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. Depois derivamos o primeiro e integramos o segundo (sem a inclusão da constante). π’(π₯) = x ππ’ = 1dx ππ£ = cos(π₯)ππ₯ π£ = β« cos(π₯)ππ₯ = π ππ(π₯) Aplicando a fórmula: π’. π£ β β« π£ ππ’ π₯. π ππ(π₯) β β« π ππ(π₯)1 ππ₯ π₯. π ππ(π₯) β [β cos(π₯)] + πΆ π₯. π ππ(π₯) + cos(π₯) + πΆ Ou seja: β« π₯ cos(π₯) ππ₯ = π₯. π ππ(π₯) + cos(π₯) + πΆ b) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. A única função, neste caso, é o ln(x). Para aplicar o método consideremos que o 1 será a outra função. π’(π₯) = ln(x) 1 ππ’ = dx π₯ ππ£ = 1 ππ₯ π£ = β« 1 ππ₯ = π₯ Aplicando a fórmula: π’. π£ β β« π£ ππ’ ln(π₯). π₯ β β« π₯ 1 dx π₯ x. ln(π₯) β β« 1 dx x. ln(π₯) β π₯ + πΆ Ou seja: β« ln(π₯) ππ₯ = x. ln(π₯) β π₯ + πΆ c) Primeiro identificamos o u(x) e o dv. Nesse método, não existem regras para determinar u(x) ou dv. Poré, embora tenha que ser integrada, normalmente a função dv é mais complexa que a função u(x). ππ£ = e2π₯ ππ₯ π’(π₯) = x ππ’ = 1dx π£ = β« e2π₯ ππ₯ Repare que para obter a integral de dv, precisamos aplicar o método da substituição: π(π) = eπ ππ = eπ ππ π = 2π₯ ππ =2 ππ₯ π£ = β« e2π₯ ππ₯ = β« eπ ππ eπ e2π₯ = = 2 2 2 Agora podemos aplicar o método da integração por partes: π’. π£ β β« π£ ππ’ π 2π₯ e2π₯ ββ« 1 ππ₯ 2 2 π 2π₯ 1 π₯. β β« e2π₯ ππ₯ 2 2 π 2π₯ 1 e2π₯ π₯. β +πΆ 2 2 2 2π₯ 2π₯ π e π₯. β +πΆ 2 4 π₯. Simplificando a equação: π 2π₯ 1 (π₯ β ) + πΆ 2 2 β« π₯π 2π₯ ππ₯ = π₯. π ππ(π₯) + cos(π₯) + πΆ EXERCÍCIOS 2. Aplicando o método da integração por partes, resolva as seguintes integrais: a) β« π₯π 4π₯ ππ₯ b) β« π₯ sen(π₯) ππ₯ c) β« π₯ ππ(π₯) ππ₯ 3. Por vezes, a integração por partes deve ser aplicada mais de uma vez para que se obtenha uma solução. Sabendo disso, resolva as seguintes integrais. a) β« π₯ 2 π 4π₯ ππ₯ b) β«(π₯ 2 + π₯). sen(π₯) ππ₯ 4. Um corpo de massa m oscila em um sistema massa-mola conforme indicado na figura abaixo: Nessas circunstâncias, a aceleração do corpo de massa m é dada por: π=β π π . π΄. cos (β π‘) π π onde A é a amplitude de oscilação. Um determinado corpo de massa π = 0,1 ππ está preso a uma mola de π = 0,1 π/π. Devido à ação de uma força dissipativa, a sua amplitude varia com o tempo de acordo com a relação: π΄ = 20 β π‘ 10 Nessas condições, determine a equação da velocidade (v) e da posição (S) desse corpo em função do tempo.
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