O estudo que fizemos sobre distribuições de
frequências, até agora, permite-nos descrever, de modo
geral, os grupos de valores que uma variável pode
assumir. Podemos localizar a maior concentração de
valores, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou
ainda, se há uma distribuição por igual.
Porém, para ressaltar as tendências características de
cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com
outras, necessitamos introduzir conceitos que se
expressem através de números, que nos permitam traduzir
essas tendências. Esses conceitos são denominados
elementos típicos da distribuição e são:
1. Medidas de posição;
2. Medidas de variabilidade ou dispersão;
3. Medidas de assimetria;
4. Medidas de curtose.
Na verdade esses elementos típicos da distribuição são
parâmetros numéricos que podem fornecer informações
sobre uma dada população. Em nosso estudo vamos
priorizar:
1. Medidas de tendência central – MÉDIA, MODA e
MEDIANA;
2. Medidas de separatrizes – MEDIANA, DERCIL, QUARTIL,
PERCENTIL;
3. Medidas de dispersão – DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA,
DESVIO PADRÃO e o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.
Uma forma de descrever um grupo como um todo,
utilizando uma única representação deste grupo é se
servir de um valor em torno do qual os elementos do
grupo se encontrem (MÉDIA).
Outra maneira de realizar esta tarefa é escolher o
elemento que mais se repete (MODA) neste grupo.
Pode-se também organizar de forma crescente os
elementos de grupo em questão e utilizar o elemento
central (MEDIANA) como representante típico.
•somam-se os n valores e divide-se o resultado por n;
•só pode ser usada para dados quantitativos;
•pode ser sempre calculada e é única;
•é sensível a todos os valores do conjunto;
•representa um ponto de equilíbrio/centro de gravidade: a
soma dos desvios dos números, a contar da média é 0.
•tem-se também as médias ponderada, geométrica e
harmônica.
Média Aritmética é o quociente da soma dos valores da
variável pelo quantidade de valores somados:
x

x
i
n
EXEMPLO 1: Sabendo-se que a produção leiteira diária da
vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e
12 litros, qual a média diária de produção durante essa
semana?
x

x
i
n
98
x
7
x  14
10  14  13  15  16  18  12

7
EXEMPLO 2: Consideremos a distribuição relativa a 34
famílias de quatro filhos, tomando para variável o número
de filhos do sexo masculino. Calcule a média dessa
distribuição.
Nº de
Meninos
fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
 34
Neste caso, calculamos a média ponderada, em que além
de levarmos em conta os valores da variável, também
incluímos no cálculo a frequência com que cada um deles
aparece na distribuição.
Nº de
Meninos
fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
 34
x f

x
f
i
i
i
0  2  1 6  2 10  3 12  4  4
x
34
78
x
34
x  2,3 meninos
EXEMPLO
3:
Consideremos
a
distribuição relativa a 40 estaturas.
Calcule a média dessa distribuição.
ESTAT.
(cm)
Freq.
(fi)
128
134
1
134
140
3
140
146
6
146
152
6
152
158
12
158
164
5
164
170
3
170
176
1
176
182
1
182
188
2
Total
 40
Neste caso, calculamos a média ponderada, apenas com a
observação de que cada intervalo passa a ser
representado pelo seu ponto médio.
ESTATURA
(cm)
xi
Freq.
(fi)
128
134
131
1
134
140
137
3
140
146
143
6
146
152
149
6
152
158
155
12
158
164
161
5
164
170
167
3
170
176
173
1
176
182
179
1
182
188
185
2
Total
 40
x f

x
f
i
i
i
131 1  137  3    185  2
x
40
6182
x
40
x  154,55 cm
•Quando
desejamos obter uma medida de posição que
possui a maior estabilidade;
•Quando houver necessidade de um tratamento algébrico
posterior;
•Quando houver a necessidade de se adotar um valor
representativo do conjunto de forma que este valor seja
sensível a todos os demais (todos entram no cálculo da
média);
•é o valor de maior freqüência, aquele que mais se repete;
•existem distribuições bimodais, com 3 modas, etc.;
•nem sempre é única;
•quando todos os valores ocorrem com freqüências
semelhantes, a moda nada acrescenta à descrição;
Por exemplo, o salário modal dos empregados de uma
indústria é o salário mais comum, isto é, o salário
recebido pelo maior número de empregados dessa
indústria.
Quando lidamos com dados não agrupados, a moda é
facilmente reconhecida, de acordo com a definição, basta
procurar o valor que mais se repete.
EXEMPLO 4: Qual a moda da série de dados 7, 8, 9, 10, 10,
10, 11, 12, 13, 15?
Mo  10
EXEMPLO 5: Qual a moda da série de dados 3, 5, 8, 10, 12,
13, 14, 17, 19, 21?
A série não apresentamoda  AMODAL
EXEMPLO 6: Qual a moda da série de dados 2, 3, 4, 4, 4, 5,
6, 7, 7, 7, 8, 9?
Mo  4 e 7 BIMODAL
EXEMPLO 7: Consideremos a distribuição relativa a 34
famílias de quatro filhos, tomando para variável o número
de filhos do sexo masculino. Calcule a moda dessa
distribuição.
Nº de
Meninos
fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
 34
Mo  3
Cuidado!
O que buscamos não é a
maior frequência, mas sim,
o valor da variável que tem
a maior frequência.
EXEMPLO
8:
Consideremos
a
distribuição relativa a 40 estaturas.
Calcule a moda dessa distribuição.
Neste caso, primeiro identificamos
a classe de maior frequência, a
classe modal, depois calculamos o
seu ponto médio, esse valor será a
moda (também chamada de moda
bruta).
l5  L5 152  158
Mo 

2
2
Mo  155
ESTAT.
(cm)
Freq.
(fi)
128
134
1
134
140
3
140
146
6
146
152
6
152
158
12
158
164
5
164
170
3
170
176
1
176
182
1
182
188
2
Total
 40
Para o cálculo da moda de distribuição de dados com
intervalos de classe, há métodos mais elaborados, que nos
dão valores mais exatos, como é o caso do FÓRMULA DE
CZUBER.

f i  f ant 
Mo   i 
h
 fi  f ant    fi  f post 
li : limite inferior da classe modal
h : amplitude da classe modal
fi : frequência da classe modal
fant : frequência da classe anterior à classe modal
fpost : frequência da classe posterior à classe modal
Também neste caso, primeiro temos que achar a classe
modal (de maior frequência)
EXEMPLO
9:
Consideremos
a
distribuição relativa a 40 estaturas.
Calcule a moda dessa distribuição.
ESTAT.
(cm)
Freq.
(fi)
128
134
1
134
140
3
140
146
6
146
152
6
152
158
12
158
164
5
6
Mo  152 
6
67
164
170
3
170
176
1
176
182
1
36
Mo  152 
13
182
188
2
Classe modal: 152 a 158.

12  6
Mo  152
6
12  6  12  5
Mo  154,76 cm
Total
 40
EXEMPLO 10: Calcule a moda da
distribuição:
Classe modal: 55 a 65.

18  12
Mo  55 
10
18  12  18  14
6
Mo  55 
10
64
Mo  55  6
Mo  61
O escore com maior número de alunos foi o
61 pontos.
•Quando
desejamos obter uma medida rápida e
aproximada de posição;
•Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico
da distribuição;
•divide um conjunto ordenado de dados em dois grupos
de igual quantidade: de um lado, valores maiores, de
outro, menores;
•pode ser sempre calculada e é única;
•é insensível aos valores extremos do conjunto;
•para número par de dados a mediana é a média entre os
dois valores centrais.
A Mediana é definida como o número que se encontra no
centro de uma série de números, estando dispostos
segundo uma ordem.
Quando lidamos com dados não agrupados, a mediana é
facilmente reconhecida, basta, de acordo com a definição,
colocar os valores da variável em ordem e identificar
aquele que fica no centro.
EXEMPLO 10: Qual a mediana da série de dados 5, 13, 10,
2, 18, 15, 6, 16, 9?
2,5,6,9,10,13,15,16,18
Md  10  valor central 
EXEMPLO 11: Qual a mediana da série de dados 2, 6, 7, 10,
12, 13, 18, 21?
2 valores centrais :10 e 12
10  12
Md 
2
Md  11
Nesse caso devemos determinar previamente as
FREQUÊNCIAS ACUMULADAS, e após, determinar um
valor tal que divida a distribuição de frequências em dois
grupos que contenham o mesmo número de elementos.
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir
de qualquer um dos extremos, é dada por:
f
i
2
Neste caso, é o bastante identificar a frequência
acumulada onde está incluso o valor equivalente a metade
da soma das frequências, e valor seguinte a esse número
encontrado.
EXEMPLO 12) Calcule a mediana da distribuição abaixo.
Nº de
Meninos
fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
 34
Primeiro vamos determinar
frequências acumuladas.
as
Nº de
Meninos
fi
Fi
f
0
2
2
2
1
6
8
2
10
18
3
12
30
4
4
34
O valor encontrado
(17) está incluso na
classe 3 (valor da
variável 2) e o
seguinte também.
Total
 34
-
Md  2
i
34

 17
2
No caso de existir uma frequência acumulada (Fi), tal que:
Fi
f


i
2
Ou seja, o valor que corresponde à metade da soma cai
numa classe, e o valor seguinte a ele cai noutra classe, a
mediana será dada por:
xi  xi 1
Md 
2
Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da
variável correspondente a essa frequência acumulada e o
seguinte.
EXEMPLO 13) Calcule a mediana da distribuição abaixo.
xi
fi
12
1
14
2
15
1
16
2
17
1
20
1
Total
 8
Primeiro vamos determinar
frequências acumuladas.
xi
fi
Fi
f
12
1
1
2
14
2
3
15
1
4
16
2
6
17
1
7
20
1
8
Total
 8
-
i
as
8
 4
2
Esse valor (4) cai na
classe 3 e o seguinte
(5) na classe 4.
15  16
Md 
2
Md  15,5
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto
do intervalo em que está compreendida a mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na
qual se acha a mediana – CLASSE MEDIANA. Essa classe
será aquela correspondente à frequência acumulada
imediatamente superior a:
f
i
2
Depois de identificarmos a classe mediana, o próximo
passo é definir em que ponto dessa classe está a
mediana.
Para isso, valor adotar a seguinte fórmula:
  fi

 Fant 

2

 h
m d  li 
fi
Onde:
li : limite inferior da classe mediana;
Fant : frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana;
fi : frequência simples da classe mediana;
h : amplitude do intervalo da classe mediana;
EXEMPLO 14: Consideremos a
distribuição relativa a 40 estaturas.
Calcule
a
mediana
dessa
distribuição.
ESTAT.
(cm)
Freq.
(fi)
128
134
1
134
140
3
140
146
6
146
152
6
152
158
12
158
164
5
164
170
3
170
176
1
176
182
1
182
188
2
Total
 40
ESTAT.
(cm)
Freq.
(fi)
Fi
f
2
128
134
1
1
134
140
3
4
140
146
6
10
146
152
6
16
152
158
12
28
158
164
5
33
164
170
3
36
170
176
1
37
176
182
1
38
182
188
2
40
Total
 40
50% dos alunos possuem
estatura máxima de 154 cm.
i
40

 20
2
Classe mediana: 152 a 158.
  fi

 Fant 

2

 h
Md  li 
fi
Md

20  16 
 152 
6
12
4
Md  152   6
12
Md  152  2
Md  154
EXEMPLO 15: A tabela abaixo representa os escores
(pontuação) obtidos por um grupo de 58 alunos,
matriculados em uma determinada disciplina.
f
2
i
58

 29
2
Classe mediana: 55 a 65.
  fi

 Fant 

2

 h
Md  li 
fi
Md
50% dos alunos possuem
escore máximo de 61,67 pontos.

29  17 
 55 
10
18
120
Md  55 
18
Md  55 6,67 Md  61,67
•Quando
desejamos obter o ponto que divide a
distribuição em partes iguais;
•Quando há valores extremos que afetam de uma maneira
acentuada a média;
•A variável em estudo é salário.