Medidas de Posição
Medidas de Tendência Central: buscam caracterizar e definir o
centro da distribuição de um conjunto de dados.



Média Aritmética;
Mediana;
Moda;
1
Média aritmética

Num estudo sobre o salário semanal dos funcionários de
uma fábrica, retirou-se uma amostra de 7 indivíduos
obtendo-se os dados abaixo:
AMOSTRA 1
78
79
85
82
83
84
86
7
x1 
x
i 1
7
i
 82,43
2
Média aritmética

Numa segunda amostragem, também de 7 indivíduos
obteve-se os seguintes dados:
AMOSTRA 2
78
79
85
82
83
84
500
7
x2 
x
i 1
7
i
 141,57
3
Média aritmética

Numa terceira amostragem, ainda de 7 indivíduos
obteve-se os seguintes dados:
AMOSTRA 3
13
79
85
82
83
84
86
7
x3 
x
i 1
7
i
 73,14
4
Média aritmética

Se as amostras 1, 2 e 3 foram retiradas da mesma
população, o que justifica as medias de salários terem
sido tão diferentes?
7
x1 
x
i 1
7
i
7
7
 82,43
x2 
x
i 1
7
i
 141,57
x3 
x
i 1
7
i
 73,14
Qual destas medias é mais representativa?
5
Média aritmética
PROBLEMA!!!:
A media é afetada valores extremos da série, não representando
com precisão a distribuição em que esses valores ocorrem
com freqüência acentuada;
6
Mediana – Dados não Agrupados

É uma medida de tendência central cujo valor localiza-se
no centro exato da serie ordenada;

A mediana separa um conjunto de dados em dois
subconjuntos com o mesmo número de elementos;

Depende da quantidade n de elementos presentes na
serie analisada
7
Mediana
Quando n é Impar

Primeiramente é preciso obter a posição da mediana (a partir do
conjunto ordenado):
PMd = (n+1)/2

Depois encontra-se o elemento que está na posição da mediana.
8
Mediana – Dados não Agrupados

EXEMPLO:
78
79
85
82
83
84
86
n=7
7 1 8
PMd 
 4
2
2
Md = 82
9
Mediana – Dados não Agrupados
Quando n é Par

PMd não é Inteiro!

calcula-se a média entre os valores nas posições
imediatamente anterior e posterior ao de PMd obtido
10
Mediana – Dados não Agrupados

EXEMPLO:
78
79
85
82
83
84
86
89
n=8
8 1 9
PMd 
  4,5
2
2
Md = (82+83)/2
Md = 82,5
11
Calcule a Mediana
A)
53
54
54
57
58
58
58
59
60
62
B)
13
12
14
13
21
16
22
12
Mediana – Dados Agrupados
SEM INTERVALO DE CLASSE
1) Calcular (n/2)
a)
Caso exista Fi, tal que, Fi= (n/2)
xi  xi 1
Md 
2
Caso contrário
A mediana é igual ao valor associado a freqüência
acumulada imediatamente superior a (n/2)
b)
13
Mediana – Dados Agrupados
SEM INTERVALO DE CLASSE
EXEMPLO:
i
Anos de
Estudo
1
2
3
4
5
6
Total
0
3
5
7
9
12
n = 10
(n/2)=4;
fi
Fi
1
1
2
2
1
1
8
1
2
4
6
7
8
F3=4
Logo:
Md = (x3+x4)/2
Md = (5+7)/2
Md = 6
14
Mediana – Dados Agrupados
SEM INTERVALO DE CLASSE
EXEMPLO:
n = 10
i
Anos de
Estudo
1
2
3
4
5
6
Total
0
3
5
7
9
12
fi
(n/2)=4;
Fi
1
2
2
2
2
1
10
1
3
5
7
9
10
Logo:
Md = x3
Md = 5
15
Mediana – Dados Agrupados
COM INTERVALO DE CLASSE
Classe mediana:
é a classe associada a freqüência acumulada
imediatamente superior a (n/2) ;
16
Mediana – Dados Agrupados
COM INTERVALO DE CLASSE
Aplicar a Formula:
EMd  Fant
Md  I  h
f Md
onde:
I = limite inferior da classe mediana;
h = amplitude da classe mediana;
EMd = n/2;
Fant = freqüência acumulada anterio a classe mediana;
fMd = frequencia simples da classe mediana;
17
Exemplo:
1. n/2=18;
i
Peso (Kg)
fi
fri
Fi
Fri
1
42

52
6
0,17
6
0,17
2
52

62
9
0,25
15
0,42
3
62

72
9
0,25
24
0,67
4
72

82
2
0,06
26
0,72
5
82

92
4
0,11
30
0,83
6
92

102
6
0,17
36
1,00
Total
36 1,00
2. A classe modal é a classe 3
EMd  Fant
Md  I  h
f Md
18  15
3
 62  10
9
9
Md  62  10(0,333...)  62  3,33  65,33
Md  62  10
18
Exercício: Construa a tabela com as freqüências simples,
acumulada, relativa e relativa acumulada para o peso de
36 alunos
47
47
48
49
49
50
53
54
54
57
58
58
58
59
60
62
63
64
64
64
67
70
70
71
72
80
83
84
87
90
93
95
95
96
97
97
Exercício : Calcule a mediana
n = 36;
n é par!!
PMd = ((n+1)/2) = 37/2 = 18,5
Md =(64+64)/2 = 64
19
i
Altura (m)
fi
fri
Fi
Fri
1
1.55

1.60
7
0,23
7
0,23
2
1.60

1.65
5
0,17
12
0,40
3
1.65

1.70
6
0,2
18
0,6
4
1.70

1.75
3
0,1
21
0,7
5
1.75

1.80
7
0,23
28
0,93
6
1.80

1.85
2
0,07
30
1
30
1,00
Total
Calcule a mediana para a Tabela acima:
20
Mediana

Num estudo sobre o salário semanal dos funcionários de
uma fábrica, retirou-se uma amostra de 7 indivíduos
obtendo-se os dados abaixo:
AMOSTRA 1
78
79
85
82
83
84
86
7
x1 
 xi
i 1
7
Calcule a Mediana da serie acima
 82,43
Md1 = 83
21
Mediana

Numa segunda amostragem, também de 7 indivíduos
obteve-se os seguintes dados:
AMOSTRA 2
78
79
85
7
x2 
x
i 1
7
i
82
83
84
500
Calcule a Mediana da serie acima
 141,57
Md2 = 83
22
Mediana

Numa terceira amostragem, ainda de 7 indivíduos
obteve-se os seguintes dados:
AMOSTRA 3
13
79
85
7
x3 
x
i 1
7
i
82
83
84
86
Calcule a Mediana da serie acima
 73,14
Md3 = 83
23
Mediana
VANTAGENS:
Valores extremos nao interferem no seu resultado;
Indicada quando existe valore discrepantes;
DESVANTAGENS:
Exige a ordenação dos dados;
24
Moda
Valor de uma serie de dados que ocorre com maior
freqüência
2
3
4
4
4
4
5
7
7
Mo = 4
Amodal: não existe um valor com maior numero de
repetições;
78
79
85
82
83
84
500
25
Moda
Multimodal: uma serie de dados que dois ou mais valores
(com a mesma freqüência) se destaquem dos demais.
EXEMPLO:
2
3
4
4
4
5
7
7
7
N serie acima temos duas modas: 4 e 7;
Neste caso dizemos que a serie é bimodal!
Crie uma serie com três modas
26
Moda- Dados Agupados
Sem intervalo de classe
Basta escolher o valor(es) com a maior freqüência.
EXEMPLO:
i
Salario fi
1
2
3
4
5
6
7
53
54
57
58
59
60
62
1
2
1
3
1
1
1
Na serie acima Mo= 58
27
Moda- Dados Agupados
Com intervalos de classe


A classe com maior freqüência é denominada classe
modal;
Escolhe-se como moda o valor correspondente ao
ponto médio da classe modal
28
Moda- Dados Agupados
Com intervalos de classe

i
EXEMPLO:
Salários
fi
1
37,78 
40,22
2
2
40,22 
42,66
0
3
42,66 
45,10
9
4
45,10 
47,54
16
5
47,54 
49,98
15
6
49,98 
52,42
37
7
52,42 
54,86
10
8
54,86 
57,30
7
9
57,30 
59,74
0
10
59,74 
62,18
4
Total
100
1) Determinar a Classe modal
49,98  52,42
2) Ponto médio da Classe modal
52,42  49,98
Mo 
 51,2
2
29
Moda- Dados Agupados
Com intervalos de classe

EXEMPLO:
i
1) Determinar a Classe modal
fi
Altura (m)
1
1.55

1.60
7
2
1.60

1.65
5
3
1.65

1.70
6
4
1.70

1.75
3
5
1.75

1.80
7
6
1.80

1.85
2
Total
Bimodal!!!
2) Ponto médio da Classe modal
2 classes modais
3) Calcule as modas
30
30
Moda- Dados Agupados
Com intervalos de classe

Exercicio para casa: mostre q para a tabela abaixo
existem 2 modas Mo = 57 e Mo = 67.
i
Peso (Kg)
fi
fri
Fi
Fri
1
42

52
6
0,17
6
0,17
2
52

62
9
0,25
15
0,42
3
62

72
9
0,25
24
0,67
4
72

82
2
0,06
26
0,72
5
82

92
4
0,11
30
0,83
6
92

102
6
0,17
36
1,00
Total
36 1,00
31
Posição relativa da media, mediana e moda
freq
freq.
Assimétrica
à esquerda
ou negativa
Moda
Média
Mediana
Assimétrica
à direita
ou positiva
Moda
Mediana
Média
freq.
Simétrica
Moda = Média = Mediana
32
Posição relativa da media, mediana e moda
Neste caso:
i
Peso (Kg)
fi
fri
Fi
Fri
1
42

52
6
0,17
6
0,17
2
52

62
9
0,25
15
0,42
3
62

72
9
0,25
24
0,67
4
72

82
2
0,06
26
0,72
5
82

92
4
0,11
30
0,83
6
92

102
6
0,17
36
1,00
Total
x  68,94
36 1,00
Md  65,33
Mo1  57
Mo2  67
33
Polígono de freqüências
x  68,94
9
8
7
6
Md  65,33
5
4
3
2
1
Mo1  57
0
42
52
62
72
C4
82
92
102
Mo2  67
34
Medidas de Posição
Separatrizes: dividem o conjunto em um certo número
de partes iguais.



Mediana
Quartis
Percentis
35
Medidas de Posição
Quartis: dividem a distribuição ordenada em quatro partes
iguais
36
Quartis

Outra medida baseada na ordenação dos dados.
25%
25%
25%
25%
QI
Quartil
inferior
Md
mediana
QS
Quartil
superior
37
Quartis

Outra medida baseada na ordenação dos dados.
25%
25%
25%
25%
QI
Quartil
inferior
Md
mediana
QS
Quartil
superior
38
Avaliação da assimetria por mediana e
quartis
25%
25%
25%
25%
QI
Quartil
inferior
Md
mediana
QS
Quartil
superior
39
Avaliação da assimetria por mediana e
quartis
25%
25%
25%
25%
QI
Quartil
inferior
M d QS
mediana
Quartil
superior
40
Medidas de Posição
Quartis: dividem a distribuição ordenada em quatro partes
iguais
Qnq  x nq.n
1

 4 2


Onde:
Q = quartil q se deseja obter;
nq = numero do quartil que se deseja obter;
x = elemento da serie ordenada
n = tamanho da amostra
41
Medidas de Posição
EXEMPLO
1
Q1  x1 x6
1

 4 2


2
3
5
6
9
 x2  2
Q2  Md  x 2 x 6
1

 4 2


35
Q2 
4
2
 x3,5
Q3  x 3 x 6
1

 4 2


 x5  6
42
Quartis
Calcule Q1, Q2 e Q3 para as series abaixo:a
2
78
3
79
4
4
85
4
82
4
5
83
7
84
7
500
43
Quartis – Dados Agrupados
COM INTERVALO DE CLASSE
Aplicar a Formula:
kn
 Fant
Qk  I  h 4
f Md
onde:
I = limite inferior da classe mediana;
h = amplitude da classe mediana;
n = numero total de dados;
K numero da ordem do quartil
Fant = freqüência acumulada anterior a classe mediana;
fMd = freqüência simples da classe mediana;
44
Exemplo: Calculo de Q2
1. k=2;
i
Peso (Kg)
fi
fri
Fi
Fri
1
42

52
6
0,17
6
0,17
2
52

62
9
0,25
15
0,42
3
62

72
9
0,25
24
0,67
4
72

82
2
0,06
26
0,72
5
82

92
4
0,11
30
0,83
6
92

102
6
0,17
36
1,00
Total
Calcule Q1, Q3;
2. n =36;
kn
 Fant
Qk  I  h 4
f Md
36 1,00
2 . 36
 15
3
Q2  62  10 4
 62  10
9
9
Q2  Md  62  10(0,333...)  62  3,33  65,33
45
i
Altura (m)
fi
fri
Fi
Fri
1
1.55

1.60
7
0,23
7
0,23
2
1.60

1.65
5
0,17
12
0,40
3
1.65

1.70
6
0,2
18
0,6
4
1.70

1.75
3
0,1
21
0,7
5
1.75

1.80
7
0,23
28
0,93
6
1.80

1.85
2
0,07
30
1
30
1,00
Total
Calcule a Q1, Q2 e Q3 para a Tabela acima:
46