Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 06
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne
Santos de Assis
Aula 06
 Medidas de Locação

Média aritmética simples

Média aritmética ponderada

Mediana

Moda
CVDOT
Medidas de Locação (ou de tendência central)

As medidas de locação mostram o valor representativo em
torno do qual os dados tendem a agrupar-se

São utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto
de dados observados
Média aritmética simples

É a mais importante medida de locação

Média amostral

Média populacional
Média Aritmética Simples
Média Amostral
Se n observações de uma amostra forem
representadas por x1, x2,..., xn, a média
amostral será:
n
x
x
i 1
i
n
Média Populacional
N
Quando a população tiver um número finito
de observações (N), a média populacional
será:

x
i 1
N
i
Média Aritmética Simples

Exemplo 1
Resultados
Determinar a média aritmética dos resultados de
resistência à compressão apresentados
n
x
26
27
25
27
34
28
29
24
17
25
26
27
12
x x
i 1
n
i
26  27  25  ...  17  25  26  27


 26, 25
12
12
i 1
i
Média Aritmética Simples

Exemplo 2
Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à
compressão apresentados no exemplo 1 da aula 4
n
x
40
x x
i 1
n
i
49  50  50...  69  71


 58,375
40
40
i 1
i
Média Aritmética Simples

Exemplo 3
Abaixo estão listadas as medidas das quantidades de chumbo
(em microgramas por metro cúbico, ou g/m3) no ar. A Agência
de Proteção Ambiental americana estabeleceu um padrão de
qualidade do ar para o chumbo: 1,5 g/m3. As medidas
registradas abaixo foram registradas no local do Edifício 5 do
Word Trade Center, em dias diferentes, logo após a destruição
causada pelos ataques terroristas de 11 de setembro de 2001.
Após os desmoronamento dos dois edifícios do Word Trade
Center, houve muita preocupação sobre a qualidade do ar. Ache
a média para esta amostra de medidas de níveis de chumbo no
ar.
5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10
Medidas de Locação
Média aritmética ponderada

Em algumas situações, os números que queremos sintetizar
têm graus de importância (pesos) diferentes
n
A média aritmética ponderada dos números x1, x2,..., xn,
com pesos p1, p2,..., pn, será:
xp 
x p
i 1
n
i
i
p
i 1
i
Exemplos:
após a prova final, utiliza-se da média aritmética ponderada para o cálculo da
média semestral do aluno
O coeficiente de rendimento de um aluno da Ufal é calculado por esta média.
Os pesos são as cargas horárias semestrais das disciplinas

Medidas de Locação
Média para dados agrupados

Sempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadas
antes de os dados serem agrupados

Muitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuição
de freqüência
Considere que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto
médio da classe  em cada uma delas, o ponto médio se repete f vezes
k
x 
 x .n
i 1
k
i
i
n
i 1
i
Soma de todos os valores amostrais
Número total de valores amostrais
xi – Ponto médio da i-ésima classe, ni – Frequência da i-ésima classe
k – Número de classes
Média para dados agrupados

Exemplo 4
Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão
agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 – aula 04)
Média para dados agrupados

Exemplo 4
k
x 
 x .n
i
i 1
k
i
n
i
i 1
6
x 
 x .n
i 1
6
i
i
n
i 1
i
50.8  54.7  58.9  62.6  66.6  70.4 2348


 58, 70
87966 4
40
Média para dados agrupados

Comparação – Exemplos 2 e 4
x  58,375
x  58,70
Medidas de Locação
Mediana

Medida da tendência central, que divide os dados
em duas partes iguais (valor do “meio” do conjunto)
Cálculo da
Mediana
 Se o número de observações for ímpar, a
mediana será o valor central das observações
colocada em ordem crescente
 Se o número de observações for par, a mediana
será a média entre os dois valores centrais das
observações colocadas em ordem crescente
Mediana

Exemplo 6
Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis
de chumbo no ar.
5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10
Colocando os resultados em ordem crescente:
0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40
Cálculo da mediana:
0,73  1,10 1,83
~
x

 0,915
2
2
Lembrando da média: 1,538 g/m3
Mediana

Exemplo 7
Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis
de chumbo no ar, substituindo o valor 5,40 g/m3 pelo valor 1,20
g/m3
1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10
Colocando os resultados em ordem crescente:
0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,20
Cálculo da mediana:
0,73  1,10 1,83
~
x

 0,915
2
2
Agora e média muda: 0,838 g/m3
Mediana
Comparação entre média e mediana

Comparação entre os exemplos 6 e 7
Resultados
ordenados
Resultados
ordenados
0,42
0,48
0,73
0,42
0,48
0,73
1,10
1,10
5,40
x  1,538
~
x  0,915
Caso 1
1,10
1,10
1,20
x  0,838
~
x  0,915
Caso 2
Mediana
Comparação entre média e mediana

A mediana é a mesma (0,915) em ambos os casos

O exemplo ilustra os seguintes fatos:
A média é muito sensível a valores extremos
A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito
altos ou muito baixos
Medidas de Locação
Mediana para dados agrupados

O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações
estejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cada
classe

Nesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linear

Exemplo 8
Determinar a mediana dos resultados de resistência à compressão
agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)
Mediana para Dados Agrupados

Exemplo 8

Como existem 40 dados, a mediana é o 20º elemento, e pertence à
terceira classe (ver N2 e N3)

Para determinar o 20º elemento, interpolaremos, obtendo:
Mediana para Dados Agrupados
Exemplo 8

Classe da
mediana
20  15 24  15

x
60  56
24
20
x
15
56
x = 2,22
~
x
60
~
x  56  2,22  58,22
Medidas de Locação
Moda

É o valor da observação que ocorre com a maior freqüência

No caso de dados agrupados, é o ponto média da classe de
maior freqüência


A média é uma medida mais adequada ao caso de dados
agrupados. Nesse caso, a classe de maior freqüência se chama
classe modal
No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem
utilidade como elemento representativo ou sintetizador do
conjunto
Moda

Exemplo 9
Determinar a classe modal e a moda dos resultados de resistência à
compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)
Classe modal:
Moda: 58
Medidas de Locação
Resumo para dados não agrupados
Fonte: Mario F. Triola. Introdução à estatística (2005)
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Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne
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