Estatística
Aula 08
Medidas de posição Prof. Diovani Milhorim
Medidas de posição
MODA:(Mo)
Denominamos moda o valor que ocorre com
maior freqüência em uma série de valores.
Medidas de posição
MODA:(Mo)
Desse modo, o salário modal dos empregados
de uma indústria é o salário mais comum,isto é,
o salário recebido pelo maior número de
empregados dessa indústria.
Medidas de posição
MODA - Dados não-agrupados:
Quando lidamos com valores não-agrupados, a
moda é facilmente reconhecida: basta, de
acordo com a definição, procurar o valore que
mais se repete.
A série de dados:
7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15.
tem moda igual a 10.
Medidas de posição
MODA - Dados não-agrupados:
Podemos, entretanto, encontrar séries nas
quais não exista valor modal, isto é, nas quais
nenhum valor aparece mais vezes que outros.
É o caso da série:
3, 5, 8, 10, 12, 13.
Esta série não apresenta moda (amodal).
Medidas de posição
MODA - Dados não-agrupados:
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois
ou mais valores de concentração. Dizemos,
então, que a série tem dói ou mais valores
modais.
Na série:
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
Nesta sérieduas modas: 4 e 7 (bimodal).
Medidas de posição
MODA - Dados agrupados:
Uma vez agrupados os dados, é possível
determinar imediatamente a moda: basta fixar o
valor da variável de maior freqüência.
Medidas de posição
MODA – Sem intervalo de classes
exemplo
Nesta distribuição de freguência a moda corresponde
ao valor 3 da variável (maior freguência = 12)
Medidas de posição
MODA - Com intervalo de classes


A classe que apresenta a maior freqüência é
denominada classe modal. Pela definição,
podemos afirmar que a moda, neste caso, é
o valor dominante que está compreendido
entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da
moda consiste em tomar o ponto médio da
classe modal.
Medidas de posição
MODA - Com intervalo de classes
Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos então:
Mo = ( l* + L*) / 2
Onde:
l* é o limite inferior da classe modal
L* é o limite superior da classe modal
Medidas de posição
MODA - Com intervalo de classes
Para a distribuição abaixo: vamos calcular a
moda
Medidas de posição
MODA - Com intervalo de classes
Temos que a classe modal é i = 3, l* = 158 e L* = 162
Como:
Mo = l* + L* / 2
Vem:
Mo = 158 + 162 / 2
Logo:
Mo = 160 cm.
320 / 2 =160
Medidas de posição
MODA - Com intervalo de classes
Exercício: Complete o esquema para o cálculo da moda
da distribuição de freqüência
Medidas de posição
MODA - Emprego da Moda:
A moda é utilizada:
a) Quando desejamos obter uma medida rápida
e aproximada de posição;
b) Quando a medida de posição deve ser o
valor mais típico da distribuição.
Medidas de posição
MEDIANA (Md)
A mediana é outra medida de posição definida como o
número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes dispostos segundo uma
ordem.
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de
valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza,
é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa
em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Medidas de posição
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9.
De acordo com a definição, o primeiro passo a ser dado é o da
ordenação (crescente ou decrescente) dos valores.
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o
mesmo número de elementos à direita e à esquerda
Temos então que:
Md = 10
Medidas de posição
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana
será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os
dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto
médio.
Assim, a série de valores:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21.
Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.
Logo: Md = (10 + 12 )/ 2 = 22/2 = 11
onde:
Md = 11
Medidas de posição
MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:
Verificamos que, estando ordenados os valores
de uma série e sendo n o numero de elementos
da série, o valor mediano será:


o termo de ordem (n + 1) / 2, se n for ímpar;
a média aritmética dos termos de ordem
n/2 e n/2 +1, se for par.
Medidas de posição
MEDIANA (Md): Dados agrupados:
Se os dados se agrupam em uma distribuição de
freqüência, o cálculo da mediana se processa de modo
muito semelhante àquele dos dados não-agrupados,
simplicando, porém, a determinação prévia das
freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos que
determinar um valor tal que divida a distribuição em
dois grupos que contenham o mesmo número de
elementos.
Medidas de posição
MEDIANA (Md): Dados agrupados:
Para o caso de uma distribuição, porém, a
ordem, a partir de qualquer um dos extremos é
dada por:
∑ fi / 2
Medidas de posição

MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:
Neste caso, é o bastante identificar a
freqüência acumulada imediatamente superior
à metade da soma das freqüências . A mediana
será aquele valor da variável que corresponde
a tal freqüência acumulada.
Medidas de posição

MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:
Exercicio: Calcule a mediana
nº de defeitos (xi)
0
1
2
3
4
5
nº de máquinas (fi)
7
8
17
14
9
5
15
60
Medidas de posição

MEDIANA (Md): com intervalo de classe:
A classe mediana é aquela em que a frequência relativa
acumulada
atinge
os
50%.
O valor exato da mediana pode calcular-se utilizando uma regra de
três simples, admitindo que as observações se distribuem
uniformemente pela amplitude da classe.
h = amplitude da classe da mediana
li = limite inferior da classe que deve conter a mediana
fc = freguência da classe que deve conter a Mi
Mi = mediana
fa[1-i] =freguência acumulada anterior da classe que deve conter a mediana
Medidas de posição

MEDIANA (Md): com intervalo de classe:
Exercicio: Determine a mediana da freguência abaixo: