INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO
Bento
Dezembro de 2011
DISTRIBUIÇÕES
 Para dar sentido ao aparente caos dos resultados
brutos, os investigadores começam por dar uma
ordem aos dados. O primeiro passo consiste em
formar uma distribuição, isto é, a disposição de
qualquer conjunto de resultados por ordem de
magnitude.
Resultados de QI
não ordenados
Distribuição de resultados
de QI
75
100
105
95
120
130
95
90
115
85
115
100
110
100
110
130
120
115
115
110
110
105
100
100
100
95
95
90
85
75
A distribuição permite ao observador perceber as tendências gerais mais rapidamente do que
seria capaz com um conjunto de resultados brutos desordenados. Para simplificar ainda mais a
nossa inspecção dos dados, podemos apresentá-los como uma distribuição de frequências. Uma
distribuição de frequências é uma listagem de cada resultado, alcançado, acompanhada pelo
número
de
indivíduos
que
obtiveram
esse
resultado.
X (Resultado bruto)
130
120
115
110
105
100
95
90
85
75
f (frequência de ocorrência)
1
1
2
2
1
3
2
1
1
1
EIXO DO X E EIXO DO Y
Para além de apresentarem as distribuições de
frequências sob a forma de tabelas, os estatísticos
apresentam frequentemente os dados sob a forma
gráfica. Um gráfico tem a vantagem de constituir uma
espécie de “imagem” dos dados. É habitual indicar os
resultados brutos, ou valores reais da variável, no eixo
horizontal, eixo dos X, chamado abcissa. A frequência
de ocorrência é apresentada na vertical, ou eixo dos Y,
chamado ordenada.
Histogramas e polígonos de frequências
Para construir um histograma, é desenhado um rectângulo sobre
cada resultado bruto. A altura do rectângulo indica a frequência de
ocorrência de cada resultado.
Histogramas e polígonos de
frequências
Para construir um polígono de frequências, em vez dos rectângulos,
utiliza-se um único ponto para designar a frequência de cada
resultado. Estes pontos são depois unidos por uma série de linhas
rectas.
Medidas de tendência central
Para nos ajudar a compreender as semelhanças e as
diferenças entre os indivíduos, possuímos algumas
técnicas úteis para descobrir a média, ou valor típico,
de uma distribuição. Conhecer a média do QI para
uma determinada turma pode ajudar-nos a planear o
currículo, a decidir o nível a que devem ser ensinados
alguns dos temas, ou a escolher livros na biblioteca. A
informação acerca do valor típico de uma distribuição
permite-nos interpretar de forma mais significativa
todos os resultados da distribuição.
Os estatísticos têm três métodos para obter o valor
típico de uma distribuição, e cada um deles permite,
quando utilizado de forma adequada, obter uma
imagem tão correcta quanto possível da distribuição.
Estes métodos fornecem as chamadas medidas de
tendência central, assim designadas porque descrevem
o resultado típico, médio ou central de uma
distribuição; informam-nos acerca do resultado de um
indivíduo médio ou típico. A escolha do método mais
adequado pode ser difícil, pois a interpretação dos
dados pode variar acentuadamente em função do
método utilizado
MÉDIA ARITMÉTICA
 Se lhe for dado um conjunto de resultados de QI, e lhe
pedirem para descobrir o valor médio, o mais provável
é que calcule a média aritmética. Isto é, que some
todos os resultados de QI e divida depois a soma pelo
número total de resultados. A média aritmética,
geralmente designada apenas por média é certamente
a medida de tendência central mais frequentemente
utilizada.

X = ∑X/N
130
120
115
115
110
110
105
100
100
100
95
95
90
85
75
______
X = ∑X/N =
X=
PROPRIEDADES DA MÉDIA
ARITMÉTICA
A média é uma medida de tendência central adequada
no exemplo precedente porque a distribuição é
aproximadamente equilibrada, ou seja, não existem
resultados extremos em qualquer direcção. Dado que a
média é calculada somando todos os resultados de
uma distribuição, não é facilmente influenciada por
resultados extremos, a não ser que os resultados
extremos se situem todos na mesma direcção. A média
é normalmente uma medida estável de tendência
central.
A interpretação da média pode, por vezes, ser
enganadora, especialmente em grupos em que a
própria população, ou dimensão da população, se
modifiquem. Por exemplo, a média de QI numa turma típica de
“caloiros” universitários é habitualmente cerca de cinco pontos mais
baixa do que a média da mesma turma quando os alunos mais tarde
chegam a finalistas. Será que isto indica que os alunos aumentam os
seus QI á medida que frequentam a faculdade? Não, porque dado
que a dimensão da turma de finalistas é quase sempre
menor do que a dos “caloiros”, as duas já não
constituem uma única população. Os que têm o QI
mais baixo da turma de “caloiros” têm tendência a
abandonar a faculdade, e a nunca chegar a finalistas.
A MEDIANA
 Em algumas situações, no entanto, a utilização da
média pode conduzir a uma imagem extremamente
distorcida do valor típico de uma distribuição.
Observemos a distribuição seguinte de vencimentos
mensais (em escudos)
50 000 000$00
150 000$00
150 000$00
98 000$00
97 500$00
97 500$00
97 000$00
96 500$00
95 000$00
92 500$00
90 000$00
90 000$00
88 000$00
_________
51 242 000$00
Mediana
X = 3 941 692$30
Um dos valores de rendimento (50 000000$00) situa-se
tão acima de todos os outros, que a utilização da média
dos rendimentos dá uma imagem ilusória de grande
riqueza a esta distribuição. Uma distribuição que é
desequilibrada devido a uns poucos
resultados
extremos numa direcção diz-se assimétrica.
Uma representação muito mais
exacta da
tendência central de uma distribuição assimétrica
é a mediana ou ponto central da distribuição.
Embora a média seja de 3 941 692$30, a mediana é 97
000$00, o que constitui um reflexo mais correcto do
rendimento típico da distribuição.
 Dado que as distribuições de rendimentos são
habitualmente assimétricas, deve estar-se atento face à
possibilidade de sobrestimação dos valores, quando é
apresentada a média dos rendimentos. A mediana é
geralmente um valor mais adequado quando se trata
de descrever rendimentos.
 Para calcular a mediana, verifique que os valores
estão sob a forma de uma distribuição, isto é, por
ordem de magnitude. Depois, conte até metade
dos resultados.
 No exemplo anterior, há treze resultados na
distribuição. Por conseguinte, contamos para baixo
seis resultados e o sétimo coincide com a mediana.
 Se houver um número par de resultados numa
distribuição, a mediana é calculada determinando o
ponto que se situa exactamente a meio do caminho
entre os dois valores centrais, ou seja, 114,5.
120
118
115
114
114
112
____
693
114,5 Mediana
X = 115,50 Média
120
118
115
114
114
6
____
587
114,5 Mediana
X = 97,83 Média
Ao contrário da média, a mediana não é afectada pela presença
de um resultado extremo em qualquer direcção, como se pode
ver no exemplo da direita.
 Representação gráfica de distribuições assimétricas:
(a) negativamente assimétrica; (b) positivamente
assimétrica.
________________
(a)
_________________
(b)
As distribuições são classificadas de acordo com a
direcção da sua “cauda”. Quando a cauda está do lado
direito, diz-se que a curva tem uma assimetria
positiva.; quando a “cauda” é para a esquerda, tem
uma assimetria negativa.
QUARTIS
De forma análoga à mediana, definem-se duas outras
medidas estatísticas que têm, por vezes, bastante
interesse para o conhecimento de uma distribuição
estatística – os quartis. A separação da distribuição
(ordenada) é feita em três valores: Q1, Q2 e Q3, em
que o Q2 é, naturalmente, a mediana.
O valor Q1, que separa os primeiros 25% dos dados
ordenados por ordem crescente dos restantes 75%,
chama-se 1º Quartil.
O 3º Quartil é o valor Q3 que divide a distribuição em
duas partes, sendo 75% dos dados menores ou iguais a
Q3 e os restantes 25% maiores ou iguais.
QUARTIS
O cálculo do 1º e do 3º quartil faz-se de modo análogo
ao do cálculo da mediana. Com efeito, uma vez
ordenados os dados, o 1º quartil é o valor
correspondente à mediana da primeira metade da
distribuição e o 3º quartil é o valor mediano da
segunda metade.
3 7 8 8 8 9 10 10 10 11 11 11 11 11 12 13 14
Q1
Q1= 8+8/2 = 8
Q2= Md = 10
Q3= 11+11/ 2 = 11
Md
Q3
A MODA
 A terceira medida de tendência central é denominada
moda. A moda é o resultado que ocorre com maior
frequência numa distribuição. Num polígono de
frequências, a moda é o ponto em que a curva atinge o
seu nível mais elevado; num histograma localiza-se na
barra mais alta. Algumas distribuições, designadas
bimodais, têm duas modas. Distribuições deste tipo
ocorrem quando os resultados se agrupam em dois
locais separados, ou quando o grupo que está a ser
medido se compõe possivelmente de dois subgrupos.
Exercício
As classificações obtidas por um aluno ao longo do ano
lectivo foram as seguintes:
8
11
15
16
7
12
5
6
9
5
1. Determine a classificação mediana, modal e os quartis
2. Determine a amplitude.
3. Supondo que a média mínima exigida para aprovação
nesta disciplina é de 10 valores, qual a situação final
deste aluno? Justifique.
VARIABILIDADE
Do mesmo modo que as medidas de tendência central
nos dão informações acerca da semelhança existente
entre as medições, as medidas de variabilidade
informam-nos acerca de como os resultados diferem
ou variam. As medidas de variabilidade são cruciais em
educação, uma vez que nos dão informação vital acerca
de um dos temas fundamentais da Psico-pedagogia –
as diferenças individuais.
A AMPLITUDE
Uma forma de descrever a variabilidade em qualquer
distribuição de resultados é calcular a amplitude (A).
A amplitude é a diferença entre o resultado mais
elevado e o resultado mais baixo, e constitui uma
medida da extensão total da distribuição.
A amplitude é representada por um único valor.
Por exemplo, se o resultado mais alto numa
distribuição de QI for 140 e o resultado mais baixo for
60, então A é igual a 80.
DESVIO-PADRÃO
O DESVIO-PADRÃO (DP): Representa a essência do
conceito de variabilidade. Embora a amplitude seja
importante, ao dar algum significado a um conjunto de
resultados, tem uma limitação bastante significativa:
baseia-se em apenas dois resultados, o mais elevado e o
mais baixo. O desvio-padrão, pelo contrário, toma
em consideração todos os resultados existentes na
distribuição. Por conseguinte, o desvio-padrão é uma
medida de variabilidade que indica o grau em que
todos os valores de uma distribuição se desviam da
média.
DESVIO PADRÃO
 Quanto maior for o valor numérico do DP, mais os
valores se distanciam da média. Quanto mais pequeno
o valor do DP, menos os resultados se distanciam da
média, agrupando-se mais estreitamente à sua volta.
Uma distribuição com um desvio-padrão baixo diznos que o grupo que está a ser medido é homogéneo
enquanto uma distribuição com um desvio-padrão
elevado descreve um grupo heterogéneo de resultados.
O desvio-padrão, ou desvio típico, é sempre expresso
por um único valor.
Para se calcular o DP, seguem-se os seguintes passos:
X
15
12
10
9
9
8
7
2
__
72
X²
225
144
100
81
81
64
49
4
___
748
X = ∑X/N = 72/8 = 9,00
DP = √ ∑X²/N - X² = √ 748/8 – 9,00²
= √ 93,50 – 81,00 = √ 12,50
DP = 3,535 = 3,54
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Some os X´s para obter ∑X
Divida por N para obter X
Eleve ao quadrado cada X para obter X²
Some esses quadrados para obter ∑X²
Divida o valor de ∑X² por N e subtraia o quadrado da
média, X².
Extraia a raiz quadrada para obter o DP
PERCENTIS
Um percentil é o ponto da distribuição no qual ou
abaixo do qual se situa uma determinada percentagem
de casos. Por exemplo, um resultado no percentil 95
significa que 95% dos resultados se situam nesse ponto
ou abaixo dele, enquanto um resultado no percentil 5
significa que apenas 5% dos resultados se situam nesse
ponto ou abaixo dele.
PROPRIEDADES DA MÉDIA, MEDIANA,
MODA, VARIÂNCIA E DP
 MÉDIA:
•
BEM DFINIDA, FÁCILMENTE INTERPRETÁVEL E FÁCIL DE CALCULAR
•
PRESTA-SE BEM A TRATAMENTOS ALGÉBRICOS
•
PÕES EM JOGO OS VALORES DE TODOS OS DADOS
•
MUITO INFLUENCIADA PELOS DADOS EXTREMOS
 MEDIANA:
•
BEM DEFINIDA, FÁCIL DE INTERPRETAR E DE DETERMINAR
•
NÃO É INFLUENCIADA PELOS CASOS EXTREMOS OU ABERRANTES
•
NÃO SE CALCULA TENDO EM CONTA TODOS OS DADOS
•
NÃO SE PRESTA AO TRATAMENTO ALGÉBRICO
Propriedades (Cont.)
 MODA:
•
FÁCIL DE INTERPRETAR E FÁCIL DE DETERMINAR
•
NÃO É INFLUENCIADA PELOS EXTREMOS
•
PODE PÔR EM EVIDÊNCIA A HETEROGENEIDADE DUM GRUPO
•
NÃO TEM EM CONTA TODOS OS DADOS
•
NÃO SE PRESTA A TRATAMENTO ALGÉBRICO
 VARIÂNCIA (Média dos quadrados dos desvios)
•
É UMA BOA MEDIDA DE DISPERSÃO
•
É SEMPRE POSITIVA
•
NÃO TEM A MESMA UNIDADE QUE OS DADOS
 DESVIO PADRÃO
•
UMA DAS MAIS USADAS MEDIADS DE DISPERSÃO
•
É SEMPRE POSITIVA
•
TEM A MESMA UNIDADE QUE OS DADOS
FIM