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Questão 6
Na figura abaixo, os pontos A1, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro
na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A1 e A4 pertencem ao eixo x. São dados também os pontos B = (2, 0) e C = (0, 1).
y
A3
A2
C
P
0
A4
A5
B
A1
x
A6
—
Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos
OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine
←→
a) a equação da reta OP.
←→
b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono.
Resolução
—
—
a) Como os triângulos OPB e OPC têm áreas iguais, OP é mediana do triângulo OBC, e P é ponto médio de BC.
Assim:
 2 + 0 0 + 1

P = 
,
 ∴ P = 1,
2 
 2

1

2 
←→
O coeficiente angular m da reta OP é tal que:
1
–0
1
m= 2
∴ m=
1– 0
2
←→
Então, uma equação de OP é y – 0 =
Resposta: y =
x
1
⋅ ( x – 0), ou seja, y = .
2
2
x
2
1
←→
←→
——
b) Seja Q o ponto onde a reta OP intercepta o lado A1 A2. Como Q é ponto da reta OP, temos Q = (2a, a), com
a 0. (I)
Do enunciado, temos a figura:
y
A3
A2
Q
P
R’
0 2a
A4
a
60º A1
R
x
3
3 – 2a
Q’
A5
A6
No triângulo retângulo A1QR, temos:
tg 60° =
QR
∴
A1R
3=
∴ a=
∴ a=
a
3 – 2a
3 3
⋅
2 3 –1
2 3 +1 2 3 –1
18 – 3 3
11
(II)


36 – 6 3 18 – 3 3 
De (I) e (II), vem Q = 
.
,

11
11 



6 3 – 36 3 3 – 18 
Da congruência dos triângulos OQR e OQ’R’, temos que Q’ = (– 2a, – a). Então, Q′ = 
.
,


11
11






36 – 6 3 18 – 3 3 
6 3 – 36 3 3 – 18 
Resposta: 
e 
,
,




11
11
11
11




2