Unidade 3 – Estudo do plano
3.12 Distância entre ponto e plano
Considere o plano  de equação ax + by + cz + d = 0 e o ponto P(xo, yo, zo). A distância do
ponto P até o plano  é dada pela distância de P ao pé da perpendicular ao plano traçada por P.
 P(xo,yo,zo)
d(P,)

ax + by +cz + d = 0
Será demonstrado no final da aula, que essa distância pode ser calculada analiticamente pela
seguinte fórmula:
d(P,  ) 
| ax o  by o  cz o  d |
a2  b2  c 2
Observe que nesta fórmula o numerador é o módulo do número obtido pela substituição das
variáveis x, y e z pelas coordenadas do ponto P, e o denominador é a norma do vetor normal ao plano.
Exemplo. Calcular a distância do ponto P(- 4, 2, 5) ao plano  : 2x + y + 2z + 8 = 0.
3.13 Distância entre dois planos paralelos
Para calcularmos a distância entre dois planos paralelos, basta escolhermos um ponto em um
dos planos e calcular a distância desse ponto até o outro plano.
1
P
d(1,2) = d(P,2)
2
Exemplo. Calcule a distância entre os planos 1 : 2x – 2y + z – 5 = 0 e 2 : 4x – 4y + 2z + 14 = 0.
1
Unidade 3 – Estudo do plano
3.14 Distância entre reta e plano
Considere um plano  e uma reta r // . Para calcularmos a distância dessa reta até o plano ,
basta escolhermos um ponto na reta r e calcular a distância desse ponto até o plano .
P
r
d(r,) = d(P,)

 x  3t  1

Exemplo. Calcule a distância da reta r :  y  2 t  1 , t  R até o plano  : x + 2y + z + 3 = 0.
 zt

Observação. Demonstração da fórmula que fornece a distância entre ponto e plano.
BP
n

P
n


d(P,) = || AP || e cos  
B
|| AP ||
d(P,)
A
 || AP || = || BP ||.cos
(1)
|| BP ||
| n.BP |
Mas como  é o ângulo entre os vetores n e BP , temos cos  
(2)
|| n || . || BP ||
Substituindo (2) em (1) segue que: || AP || = || BP ||.
| n.BP |
|| n || . || BP ||
=
| n.BP |
(3)
|| n ||
Assim, lembrando que n = (a,b,c) e que BP = (xo – x, yo – y, zo – z) segue de (3) que:
d(P,  ) 
| ax o  by o  cz o  d |

a2  b2  c 2
2