MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 29
PRODUTO MISTO
Fixação
1) (CESGRANRIO) Três arestas de um paralelepípedo P partem de (0, 0, 0) e tem a outra
extremidade nos pontos (2, 2, 1), (3, 0, -1) e (1, 1, -2), respectivamente. O volume de P é:
a) 19
b) 15/2
c) 19/2
d) 15
e) 5
Fixação
a2) Consideremos os seguintes pontos do R3: O = (0,0,0), A(1,0,0), B(0,-1,0) e C(0,1,1). Qual o
volume da pirâmide OABC ?
Fixação
3) Para que os vetores (10,11,u), (2,1,0) e (1,2,1) de R3 sejam coplanares, qual deve ser o
valor de u?
Fixação
4) Dados os pontos A = (3, 2, 1), B = (2, 3, -1) e C = (-1,2,3). Calcule:
a) A área do triângulo ABC;
b) O volume do tetraedro OABC;
c) O volume do paralelepípedo cujas arestas são AO, OB, e OC.
Proposto
1) O cosseno do ângulo formado pelos vetores abaixo é igual a:
→ → →
→
→
→
→
→
u = 2i - 4j + 4k e v = -3j + 2j + 6k
a) 1/21
b) 2/21
c) 4/21
d) 5/21
e) 8/21
Proposto
2) Considere os pontos P = (1, 0), Q = (630, 1), R= (2, 4) e S = (0, 1260) do IR2. O ângulo entre
os vetores PQ e RS é:
a) nulo;
b) agudo;
c) reto;
d) obtuso;
e) raso.
Proposto
3) Se u e v são vetores unitários e ortogonais, então, o produto escalar de (u + v ) por (u - v ) vale:
a) 0
b) 1
c) -1
d) 20
e) 2 (u - v )
Proposto
:4) Dados o triângulo de vértices A (0,1,-1), B (-2,0,1) e C (1,-2,0), calcule a medida da altura
relativa ao lado AB.
Proposto
5) Calcule a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2u e - v, sendo
u = (2,-1,0) e v = (1,-3,2).
Proposto
6) Verifique se são coplanares os seguintes vetores:
a) u = (3, -1, 2) v = (1, 2, 1) e w = (-2, 3, 4);
b) u = (2, -1, 0) v = (3, 1, 2) e w = (7, -1, 2).
Proposto
7) O volume do paralelepípedo de arestas AB, AC, e AD, sendo A (0, 0, 4), B (2, 1, 8), C (2, 0,
9) e D (2, 5, 7) mede:
a) 13 u.v.
b) 6 u.v.
c) 14 u.v.
d) 26 u.v.
e) 52 u.v.
Proposto
8) Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) e D (4,2,7).
Proposto
9) Sendo a = (1, 1, 1), b = (1, -1, 1) e c = (1, 0 , 1 - a)
calcule a de modo que a, b e c sejam coplanares.
Proposto
10) Sendo A = (2, 0, 0), B = (0, 0, -2), C = (0, 0, -2) e D = (-3, -3, 1), calcule o volume
do tetraedro DABC.