Vetores V
Produto Misto
Sejam u, v e w vetores quaisquer. O
produto misto dos vetores u, v e w,
indicado por [u, v, w] , é o número real
 [u, v, w]= (u x v) . w

Exemplo 1
Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e
w = (0,3,-2) , temos:
 [u, v, w] = ?


[v, u, w] =?
Exemplo 1
Dados os vetores u = (1,0,2), v = (-1,1,3) e
w = (0,3,-2), temos:
 [u, v, w] = [(1,0,2) x (-1,1,3)] . (0,3,-2) = (2,-5,1) . (0,3,-2) = -17
 [v, u, w] = [(-1,1,3) x (1,0,2)] . (0,3,-2) =
(2,5,-1) . (0,3,-2) =17

Interpretação geométrica
Seja o paralelepípedo de arestas AB, AD e
AE. Sabemos que o volume V desse
paralelepípedo é:
V = área da base x
altura

Interpretação geométrica
Considerando a altura h desse
paralelepípedo, em relação à base ABCD
e aplicando cálculo vetorial obtem-se
 V =| AB x AD | h

Interpretação geométrica

A altura pode ser calculada como o módulo da
projeção do vetor AE na direção de AB x AD,
pois AB x AD é ortogonal ao plano ABC

h = | proj (AB x AD) AE| = | (AE.(ABxAD)º) (AB x
AD)º| = | (AE.(AB x AD)º)| = | AE | | cosθ|

onde θ é o ângulo entre os vetores AE e ABxAD
Interpretação geométrica

Logo, V = | AB x AD| | AE | | cos θ | =
|(AB x AD ).AE |= | [AB,AD,AE] |

Ou seja, V = | [AB,AD,AE] |
Interpretação Geométrica
Considere agora o tetraedro de arestas
AB, AD e AE. Seja VT o volume desse
tetraedro
 Logo
 VT = 1/3 áreaBase
X altura


Considerando a base ABD desse
tetraedro, nota-se que a altura relativa a
essa base coincide
com a altura do paralelepípedo anterior

Logo, VT = 1/3 (1/2 | AB x AD|) |AE ||cosθ|

=1/6 |(AB x AD ).AE |

= 1/6| [AB,AD,AE] |
Exemplo 2

Considere o paralelepípedo de arestas
OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB =
(1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V
deste paralelepípedo
Exemplo 2
Considere o paralelepípedo de arestas
OA, OB e OC, onde OA = (1,0,2), OB =
(1,1,3) e OC = (2,1,0). Calcule o volume V
deste paralelepípedo
 V =| [OA,OB,OC] | = | (OA x OB) . OC|
 =| (-2,-1,1) . (2,1,0) | = 5 u.v.

Exemplo 2

Calcule a altura deste paralelepípedo
Exemplo 2

Calcule a altura deste paralelepípedo
6
6 6
5 6
| (2,1,0)  (
,
,
) |
u.c.
3
6 6
6
Observação

Considere uma base {v1, v2 , v3}
do espaço. Pela definição do
produto vetorial a base {v1, v2 ,
v1 x v2} é positiva. Assim, se v3
estiver no mesmo semi-espaço
que v1 x v2, em relação a um
plano que contiver
representantes de v1 e v2, a base
{v1, v2 , v3} será também positiva,
já que o observador não muda de
posição. Caso contrário esta
base será negativa
Observação

Pode-se verificar se v3 está no mesmo
semi-espaço que v1 x v2 em relação a um
plano que contiver representantes de v1 e
v2, através do ângulo entre estes vetores.
Caso este ângulo seja agudo, então v3
está no mesmo semi-espaço que v1 x v2,
caso contrário, não
Observação
Por outro lado, para determinar se o
ângulo entre dois vetores é agudo ou
obtuso, basta calcular o produto escalar
entre eles
 (v1 x v2 ) . v3 > 0, temos que o ângulo entre
os vetores é agudo, logo a base {v1, v2, v3}
é positiva, caso contrário, negativa

Observação

Podemos então concluir que uma base
{v1, v2, v3} é positiva se o produto misto
[v1, v2, v3 ] > 0 e será negativa se
[v1, v2, v3 ] < 0
Propriedade 1



[u, v, w] = 0  u, v e w são coplanares
Se [u, v, w] = 0, então o volume do
paralelepípedo cujas arestas são
representantes de u, v e w é zero
Assim, esse paralelepípedo é degenerado, e
portanto, u, v e w são coplanares
Propriedade 2
[u, v, w]= [v, w, u]= [w, u, v]
 Temos que | [u, v, w] | = | [v, w, u] | =
| [w, u, v, ] |, como volume de um mesmo
paralelepípedo. Se u, v e w são L D, então
 | [u, v, w] | =| [v, w, u] | =| [w, u, v ] |= 0

Propriedade 2
Se u, v e w são LI, então as bases
{u, v, w}, {v, w, u} e {w, u, v} pertencem a
mesma classe. Logo
 [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v ]

Propriedade 3

[u, v, w]=- [v, u, w]

[u, v, w] = (u x v) . w= -(v x u) . w=
[(v x u). w] = - [v, u, w]
-
Propriedade 4

(u x v). w= u.(v x w)

(u x v). w= (v x w). u = u.(v x w)
Propriedade 5
[u1 + u2, v,w] = [u1,v,w] + [u2,v,w]
 Deve-se demonstrar a distributividade do
produto vetorial em relação à adição de
vetores
 u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

Propriedade 5
u x (v + w) - (u x v) - (u x w) = 0
 Considere a= u x (v + w) - (u x v) - (u x w)
 a . a = a .(u x (v + w) - (u x v) - (u x w))
= a .(u x (v + w)) - a . (u x v) - a . (u x w)
= (a x u) . (v + w) – (a x u) . v – (a x u) . w
= (a x u) . (v + w) - (a x u) . (v + w) = 0
 Logo a = 0

Propriedade 5

[u1 + u2, v,w] = ((u1 + u2) x v).w = ((u1 x v)
+ (u2 x v) ).w = ((u1 x v) .w) + ((u2 x v) .w) =
[u1,v,w] + [u2 ,v,w]
Propriedade 6

6) t [u, v,w]= [t u, v,w]= [u, t v,w] =[u, v, t w]

[tu, v,w] = (tu x v). w =(u x tv).w= [u, tv,w]
Expressão Cartesiana
Dada uma base ortornomal positiva {i, j, k}
e dados os vetores u = (x1, y1, z1),
v = (x2 , y2 , z2 ) e w = (x3 , y3, z3 )
 [u, v, w] = (u x v) . w = (y1z2- z1y2 , z1x2x1z2 , x1y2- y2x1 ) . (x3 , y3 , z3 ) =
(y1z2-z1y2)x3+(z1x2- x1z2)y3+(x1y2- y2x1)z3

Expressão cartesiana
Exemplo 3
Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC,
sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e
OC = (1,3,2)
 Calcule o valor de x, para que o volume
desse tetraedro seja igual a 2 u.v.

Exemplo 3

Sabemos que o volume VT do tetraedro é
dado por: 1/6| [AB,AD,AE] |
Como VT = 2 u.v., temos:1/6 | 2x - 10 | =2
 Logo, x = 11 ou x = -1
