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GEOMETRIA ANALÍTICA
PRODUTO VETORIAL
Sejam os vetores u = x1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z 2 k , denominamos de produto vetorial de u e v e
indicamos por u x v ao vetor:
w=
y1
y2
z1
z
i + 1
z2
z2
x1
x
j + 1
x2
x2
y1
k ,
y2
ou seja,
w = u x v = ( y1 z 2 − y 2 z1 ) i + ( z1 x 2 − z 2 x1 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 ) k .
Pode ser indicado também pelo determinante simbólico:
i
w = u x v = x1
x2
j
k
y1
y2
z1 .
z2
Propriedades do Produto Vetorial
Sejam u = x1 i + y1 j + z1 k , v = x2 i + y2 j + z 2 k , w = x3 i + y3 j + z3 k e α ∈ R , então:
a) u x u = 0
b) u x v = - ( v x u ) (anti-comutativa)
c) (α u ) x v = u x (α v ) = α (u x v )
d) u x ( v + w ) = u x v + u x w (distributiva)
Obs: u x v = 0 se, e somente se u e v forem LD ( paralelos) ou um deles é nulo.
Características de w = u x v
a) Módulo: u x v = u v sen θ (onde o θ é o ângulo entre eles).
b) Direção:
Dados u = x1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z 2 k temos:
w = u x v = ( y1 z 2 − y 2 z1 ) i + ( z1 x 2 − z 2 x1 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 ) k
u •w =
v •w =
c) Sentido u x v
(Regra do Saca Rolha)
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam u e v , dois vetores não paralelos e um ponto O qualquer. Dessa forma temos definido:
a)
um paralelogramo
2
v
O
u
b) um triângulo
v
( metade do paralelogramo)
O
u
Estamos interessados em determinar a área desses polígonos. Vamos analisar
v
h
θ
O
u
Área do paralelogramo = base . altura
base = u
altura = h = v sen θ
Daí,
Área do paralelogramo =
u
v sen θ
Área do paralelogramo = u x v u.a.
Portanto a área do triângulo é:
Área do triângulo =
1
u x v u.a.
2
PRODUTO MISTO
Dados os vetores u = x1 i + y1 j + z1 k , v = x2 i + y2 j + z 2 k , w = x3 i + y3 j + z3 k , definimos de produto misto
de u , v e w e indicamos [ u , v , w ] ao número real:
[u ,v ,w ] = (u x v ) • w
i
u x v = x1
x2
j
y1
y2
k
z1 = ( y1 z 2 − y 2 z1 ) i + ( z1 x 2 − z 2 x1 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 ) k
z2
3
[ u , v , w ] = ( u x v ) • w = ( y1 z 2 − y 2 z1 ) x 3 + ( z1 x 2 − z 2 x1 ) y 3 + ( x1 y 2 − x 2 y1 ) z 3 =
= x 3 y1 z 2 − x 3 y 2 z1 + x 2 y 3 z1 − x1 y 3 z 2 + x1 y 2 z 3 − x 2 y1 z 3
Obs: Calcule:
x1
y1
z1
x2
x3
y2
y3
z2 =
z3
Propriedades de Produto Misto:
a) u , v e w são coplanares (LD) se , e somente se [ u , v , w ] = 0.
Obs: A,B,C,D pertencem ao mesmo plano se AC , AB e AD forem coplanares.
b) produto misto independe da ordem circular: [ u , v , w ] = [ v , w , u ] = [ w , u , v ].
c) [ u + b , v , w ] = [ u , v , w ] + [ b , v , w ].
d) [ u , v , w ] não se altera se a um fator se adicionar uma combinação linear dos outros dois, por exemplo:
[ u , v , w ] = [ u , v + α u + β w , w ].
e) O produto misto troca de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos:
[ u , v , w ] = - [ v , u , w ].
f) [ u , v , m w ] = [ u , mv , w ] = [ mu , v , w ] = m [ u , v , w ].
Interpretação Geométrica
Três vetores não coplanares (ou seja, LI) e um ponto determinam três sólidos:
a) um paralelepípedo
w
v
u
b) um prisma de base triangular
w
O volume do prisma é a metade do paralelepípedo.
v
u
c) um tetraedro
w
O volume do tetraedro é um terço do prisma de base triangular.
v
u
Queremos determinar o volume destes sólidos:
No caso do paralelepípedo temos que: Vpa = (área da base) . (altura)
4
área da base = u x v
w
u x v
Do triângulo
h
θ
v
x
O Volume do paralelepípedo será:
u xv
w cos θ =
Daí temos:
Vpa =
1
2
1
Vt =
6
Vpt =
[u , v , w ]
u.v.
[u , v , w ]
u.v.
[u , v , w ]
u.v.
(u x v ) • w
w θ h
h
w
h = w cos θ
u
Vpa =
cos θ =
= [u , v , w ] u.v.