ANÁLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS
PÓS-GRADUAÇÃO EM AGRONOMIA CIÊNCIA DO SOLO: CPGA-CS
MANOVA
Análise de variância multivariada
Carlos Alberto Alves Varella
Introdução
• A análise de variância multivariada é
utilizada para comparar vetores de médias;
• Os dados normalmente são provenientes de
delineamentos estatísticos;
• Um ponto relevante da análise multivariada é
o aproveitamento da informação conjunta
das variáveis envolvidas (REGAZZI, 2000).
Introdução
•
As pressuposições para realização da
MANOVA são as seguintes:
1. Modelo aditivo para efeitos de tratamentos,
blocos (se houver) e erro;
2. Independência dos erros;
3. Igualdade da matriz de covariância 
para todas as amostras;
4. Distribuição multinormal dos erros, com
variância .
Modelo Estatístico: blocos
Y ijr   r  t ir  b jr  e ijr
i  1, 2 ,  , k ;
j  1, 2 ,  , b ;
r  1, 2 ,  , p
r = indexador de variáveis;
Yijr = valor observado da r-ésima variável sob o
efeito do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco;
µr = média geral da r-ésima variável;
tir=efeito do i-ésimo tratamento na r-ésima variável;
bjr= efeito do j-ésimo bloco na r-ésima variável;
eirj= efeito aleatório associado à observação Yijr .
Modelo na Forma Matricial
Y  X  
Y= matriz de valores resposta para os efeitos
de tratamentos bk x p;
X= matriz de valores das p variáveis
independentes bk x (1+k+b);
В= matriz de parâmetros de dimensões
(1+k+b) x p;
ε= matriz de erros de dimensões bk x p.
Sistema de Equações Normais

X ' X  X 'Y
• A solução de mínimos quadrados do
sistema de equações normais é dada pela
matriz:


  1 ,  2 ,  ,  p   X ' X

1
X 'Y
• O sistema admite mais de uma solução,
isto é, a matriz (X’X) não possui inversa
verdadeira.
Solução do Sistema de Equações
Normais
• Impondo-se as restrições de que os
somatórios dos efeitos de tratamentos e
blocos sejam igual a zero, o sistema
apresenta solução única que denotaremos
por:

1
ˆ
   X ' X  AA '  X ' Y  ˆ1 , ˆ 2 ,  , ˆ p

• ̂ =melhor estimador linear ou BLUE de В ;
1
•  X ' X  AA '  =inversa condicional de X’X.
Decomposição da Soma de
Quadrados e Produtos de Totais
• Da mesma forma que no modelo
univariado temos que: blocos ao acaso
A H BE
•
•
•
•
•
A= SQP de Totais;
H= SQP de Tratamentos;
B= SQP de Blocos;
E= SQP do Resíduo.
Todas são matrizes de dimensões p x p
Soma de Quadrados e Produtos de
Totais
• A matriz de soma de quadrados e
produtos de totais que denotaremos por A
é:
A  Y 'Y
Soma de Quadrados e Produtos do
Resíduo
• Do método dos mínimos quadrados temos
que SQPResíduo é:
ˆ ' ˆ  Y ' Y  ˆ ' X ' Y
Y ' Y  Soma de quadrados
ˆ ' X ' Y  Soma de quadrados
e produtos de totais;
e produtos de parâmetros ;
ne= n-Posto[X] graus de liberdade
Graus de Liberdade do Resíduo
• Graus de liberdade do resíduo
denotaremos por ne:
n e  n  Posto  X

n e  kb  k  b  1  kb  k  b  1  k  1 b  1
n e  k  1b  1
Teste para a Hipótese Nula H0
• A hipótese H0 à ser testada, considerando
k tratamentos e p variáveis, é a de que os
vetores de médias de tratamentos são
iguais, isto é:
~
~
~
H :     
0
1
2
k
• O mesmo que testar se os vetores de
efeito de tratamentos são nulos:
~ ~
~
H 0 : t1  t2    tk  0
Testes de Hipótese H0 da MANOVA
• O teste de Wilks é o mais utilizado para
testar a hipótese H0 da MANOVA;
• Outros testes também são utilizados, tais
como Pillai, Hotelling-Lawley e o teste de
Roy, os quais podem apresentar
resultados diferentes para a mesma
análise.
O Teste de Wilks
• O teste de Wilks é representado pela letra
grega (lambda maiúsculo), assim definido:
 
det  E 
det  H  E 

E
H  E
• Na presença de diferenças sistemáticas
entre tratamentos, espera-se sempre obter
LAMBDA menor que um, e tanto mais
significativo quanto menor for seu valor.
Regra de Decisão para Wilks
• Rejeita-se a hipótese nula ao nível de
significância  se:
 cal   tab
• Caso contrário não se rejeita H0 e diz-se
que o teste foi significativo ao nível de
siginificância .
O Teste T2 de Hotelling
• Esse tes