1
Costa, S.C.
Universidade Estadual de Londrina
Departamento de Estatística
Parcelas Subdivididas
Silvano Cesar da Costa
Londrina - Paraná
Costa, S.C.
Experimentos em Parcelas Subdivididas
Nos experimentos fatoriais, todas as combinações de tratamentos são distribuídas nas unidades experimentais, seguindo a casualização característica de
um delineamento inteiramente casualizado, em blocos ao acaso, ou em quadrados latinos.
Entretanto, outros tipos de casualização são possíveis e uma dessas alternativas nos leva ao experimento em parcelas subdivididas.
Há muitas variações do experimento em parcelas subdivididas e cada variação impõe certas restrições.
O experimento básico envolve a designação de tratamentos de um fator às
parcelas.
Estas, por sua vez, podem ser arranjadas no delineamento inteiramente ao
acaso, em blocos completos casualizados, ou em quadrado latino.
2
Costa, S.C.
Deve-se designar às parcelas os tratamentos para os quais se deseja, ou que
se pode, ter uma precisão menor.
Os tratamentos do segundo fator são então designados, por sorteio, às subparcelas dentro de cada parcela.
Tal disposição permite obter uma estimativa geral de maior precisão para os
efeitos dos tratamentos do segundo fator.
Tem-se, portanto, dois resíduos distintos: um correspondente às parcelas e
outro às subparcelas dentro das parcelas.
Em casos mais complexos, as subparcelas podem, também, ser repartidas em
subsubparcelas. Tem-se, neste caso, três resíduos distintos:
Resíduo (a), referente às parcelas;
Resíduo (b), à subparcelas e
Resíduo (c), correspondendo às subsubparcelas.
3
4
Costa, S.C.
A decomposição do número de graus de liberdade de um experimento em
parcela subdividida com a tratamentos primários, b tratamentos secundários
e c repetições.
Tabela 1: Parcela subdividida no delineamento inteiramente casualizado.
CV
Tratamento A
Resíduo(a)
gl
a−1
a(c − 1)
Parcelas
ac − 1
Tratamento B
b−1
A×B
(a − 1)(b − 1)
Resíduo(b)
a(b − 1)(c − 1)
Total
abc − 1
5
Costa, S.C.
Tabela 2: Parcela subdividida no delineamento em blocos casualizados.
CV
gl
Blocos
b−1
Tratamento A
a−1
Resíduo(a)
(a − 1)(b − 1)
Parcelas
ab − 1
Tratamento B
c−1
A×B
(a − 1)(c − 1)
Resíduo(b)
a(b − 1)(c − 1)
Total
abc − 1
6
Costa, S.C.
Tabela 3: Parcela subdividida no delineamento em quadrado latino.
CV
gl
Linhas
a−1
Colunas
a−1
Tratamento A
a−1
Resíduo(a)
(a − 1)(a − 2)
Parcelas
a2 − 1
Tratamento B
c−1
A×B
(a − 1)(c − 1)
Resíduo(b)
a(a − 1)(c − 1)
Total
a2 c − 1
7
Costa, S.C.
Exemplo: Suponha o caso de um experimento com três rações (A, B, e C ),
em seis blocos casualizados, cada parcela constituída por dois animais. Em
uma determinada fase do ensaio, os bovinos, dentro de cada parcela, passaram a receber, por sorteio, um dos tipos de suplementos minerais (M ou P ).
Os ganhos de pesos individuais, ao nal do experimento, são apresentados
na Tabela 4.
Tabela 4: Ganhos de pesos, em quilos, ao nal do experimento.
Blocos
I
II
III
IV
V
VI
Totais
M
107
117
122
111
90
116
663
A
P
89
101
98
101
95
90
574
Tipos de Ração
B
M
P
116
101
136
110
130
104
122
91
117
100
114
94
735
600
M
90
112
99
105
110
114
630
C
P
96
89
92
78
90
93
538
Totais
599
665
645
608
602
621
3.740
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Costa, S.C.
O modelo linear para o experimento em parcelas subdivididas no delineamento em blocos ao acaso é dado por:
yijk = µ + τi + βj + (τ β)ij + γk + (τ γ)ik + (βγ)ik + (τ βγ)ijk ,


 i = 1, 2, . . . , a
j = 1, 2, . . . , b


k = 1, 2, . . . , c
em que:
a) yijk é o valor observado no i-ésimo tratamento, j -ésimo bloco e k-ésima
subparcela;
b) µ é uma constante;
c) τi é o efeito do i-ésimo tratamento (ração);
d) βj é o efeito do j -ésimo bloco;
e) (τ β)ij é o resíduo da parcela;
f) γk é o efeito do k-ésimo suplemento mineral;
g) (τ γ)ik e (βγ)jk são as interações;
h) (τ βγ)ijk é o resíduo da subparcela;
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Costa, S.C.
Considerando que as pressuposições para a realização da análise de variância foram atendidas, passa-se, então, a construção do quadro de análise de
variância que é dado por:
Tabela 5: Quadro da Análise de Variância.
C.V.
S.Q.
g.l.
Q.M.
Fcalc
Blocos
SQBlocos
j−1
SQBlocos
j−1
QM Blocos
QM Res(a)
Tratamentos
SQT rat
i−1
SQT rat
i−1
QM T rat
QM Res(a)
Resíduo(a)
SQRes(a)
(Parcelas)
SQP arcelas
ij − 1
Subparcelas
SQSubparc
k−1
SQSubparc
k−1
QM Subparc
QM Res(b)
T rat × Subparcelas
SQInter
(i − 1)(k − 1)
SQInt
(i−1)(k−1)
QM Subparc
QM Int
Resíduo(b)
SQRes(b)
i(j − 1)(k − 1)
SQRes(b)
i(j−1)(k−1)
Total
SQT otal
ijk − 1
(i − 1)(j − 1)
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Costa, S.C.
em que as somas de quadrados são dadas por:
SQT otal
=
a ∑
b ∑
c
∑
2
yijk
−C
2

a ∑
b ∑
c
∑

yijk 
C=
i=1 j=1 k=1
i=1 j=1 k=1
SQT rat
SQBlocos
SQP arcelas
=
a
1 ∑ 2
yi·· − C
j × k i=1
=
b
1 ∑ 2
y·j· − C
i × k j=1
=
a
b
1 ∑∑ 2
y −C
k i=1 j=1 ij·
SQRes(a) =
SQP arcelas − SQT rat − SQBlocos
N
Costa, S.C.
SQSubparc
=
c
1 ∑ 2
y··k − C
i×j
k=1
SQT rat, Subparc =
b
c
1 ∑∑ 2
yi·· − C
i × k j=1
k=1
SQInter
=
SQRes(b) =
SQT rat, Subparc − SQT rat − SQSubparc
SQT otal − SQP arcelas − SQSubparcec − SQInter
11
12
Costa, S.C.
Para facilitar o cálculo das somas de quadrados, pode-se construir tabelas
auxiliares, como apresentado na Tabela 6.
Tabela 6: Tabela auxiliar para cálculo das somas de quadrados das parcelas.
Blocos (2)
Tipos de Ração (Tratamentos)
Totais
A (M + P)
B (M + P)
C (M + P)
I
196 (107+89)
217 (116+101)
186 (90 + 96)
599
II
218 (117+101)
246 (136+110)
201 (112+ 89)
665
III
220 (122+ 98)
234 (130+104)
191 ( 99+ 92)
645
IV
212 (111+101)
213 (122+ 91)
183 (105+ 78)
608
V
185 (90+ 95)
217 (117+100)
200 (110+ 90)
602
VI
206 (116+ 90)
208 (114+ 94)
207 (114+ 93)
621
1.237 (12)
1.335 (12)
1.168 (12)
3.740
Totais
Costa, S.C.
Para o cálculo das somas de quadrados das Parcelas, tem-se:


C
SQTotal
=
b ∑
c
a ∑
∑
2
yijk 
i=1 j=1 k=1
N
(107 + 117 + · · · + 90 + 93)2
=
= 388.544,4
3×2×6
a ∑
b ∑
c
∑
2
=
yijk
−C
i=1 j=1 k=1
= (1072 + 1172 + · · · + 902 + 932 ) − 388.544, 4 = 6.061,556
SQTrat
=
a
1 ∑ 2
y −C
j × k i=1 i··
=
1
× (1.2372 + 1.3352 + 1.1682 ) − 388.544, 4 = 1.173,722
2×6
13
Costa, S.C.
SQBlocos
SQParcelas
SQRes(a)
14
=
b
1 ∑ 2
y·j· − C
i × k j=1
=
1
× (5992 + · · · + 6212 ) − 388.544, 4 = 582,2222
2×3
=
a
b
1 ∑∑ 2
yij· − C
k i=1 j=1
=
1
× (1962 + 2182 + · · · + 2002 + 2072 ) − 388.544, 4 = 2.377,556
2
= SQP arcelas − SQT rat − SQBlocos
= 2.377, 556 − 1.173, 722 − 582, 2222 = 621,6111
Para o cálculo das demais somas de quadrados, utiliza-se a Tabela 7.
15
Costa, S.C.
Tabela 7: Tabela auxiliar para cálculo das somas de quadrados das Subparcelas.
Suplementos (6)
Tipos de Ração
Totais
A
B
C
M
663
735
630
2.028
P
574
600
538
1.712
Totais
1.237 (12)
1.335 (12)
1.168 (12)
3.740
Costa, S.C.
SQSubparc
=
c
1 ∑ 2
y··k − C
i×j
k=1
SQTrat,Subparc
=
1
× (2.0282 + 1.7122 ) − 388.544, 4 = 2.773,778
3×6
=
b
c
1 ∑∑ 2
yi·· − C
i × k j=1
k=1
=
=
SQInter
SQRes(b)
1
(6632 + 5742 + · · · + 6302 + 5382 ) − 388.544, 4
3×2
4.057,889
= SQT rat, Subparc − SQT rat − SQSubparc
= 4.057, 889 − 1.173, 722 − 2.773, 778
= 110,3889
= SQT otal − SQP arcelas − SQSubparcec − SQInter
= 6.061, 556 − 2.377, 556 − 2.773, 778 − 110, 3889
= 799,8333
16
Costa, S.C.
17
Assim, o quadro da análise de variância para os dados da Tabela 4 ca:
Tabela 8: Quadro da análise de variância do experimento em parcelas subdivididas no delineamento em blocos ao acaso.
Causa da Variação
S.Q.
g.l.
Q.M.
Fcalc P r(> F )
Blocos
582, 22
5
116, 44
Ração
1.173, 72
2
586, 86
9, 441 0, 004976∗∗
Resíduo(a)
621, 61 10
62, 16
(Parcelas)
2.377, 556 17
(−6) ∗∗∗
Suplementos
2.773, 78
1 2.773, 78 52, 0192 3, 011 × 10
Ração × Suplementos
110, 39
2
55, 19 1, 0351 0, 3792
Resíduo(b)
799, 83 15
53, 32
Total
6.061, 556 35
Os efeitos das Rações e dos Blocos são testados usando o Resíduo(a).
Os efeitos dos Suplementos e da Interação são testados usando o Resíduo(b).
18
Costa, S.C.
Verica-se da Tabela 8 que a interação entre os tipos de Ração e Suplementos
não foi signicativa, havendo efeito dos fatores principais: Ração e Suplemento.
Logo, aplica-se o teste de Tukey para vericar quais os tipos de Ração que
diferem entre si.
No caso de Suplementos, como só há dois níveis, não é necessário a aplicação
do teste de Tukey.
Assim, aplica-se a Equação 2 para Ração, observando-se que o QM Res utilizado será o Residuo(a) da Tabela 8.
√
∆
=
q
QM Res
r
√
= 3, 876777 ×
∆
=
8,8
kg
62, 16111
12
19
Costa, S.C.
Construindo-se a tabela das médias ordenadas em ordem decrescente, tem-se:
Médias (kg)
Ração B
111,25
a
Ração A
103,0833
ab
Ração C
97,3333
b
em que letras iguais indicam médias semelhantes.
No caso dos suplementos, basta observar que a média de ganho de peso
dos animais que foram alimentados com o suprimento M foi de
ȳM = 112, 7 kg
e com o suprimento F foi de
ȳF = 95, 1 kg
mostrando que o suprimento M foi mais eciente no ganho de peso.
Costa, S.C.
Exemplo: Considere o exemplo apresentado por Pimentel Gomes (1990), que
consiste de um experimento com 8 tratamentos (7 adubos verdes e milho)
em blocos ao acaso, com 4 repetições, realizado em dois anos consecutivos
nas mesmas parcelas. Os dados são apresentados na Tabela 9.
20
21
Costa, S.C.
Tabela 9: Produção de adubos verdes e milho (kg de matéria seca verde por
parcela).
Tratamentos
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
Ano1 Ano2 Ano1 Ano2 Ano1 Ano2 Ano1 Ano2
Totais
Mucuna preta
86,8
44,0
102,4
68,4
34,0
33,0
25,8
138,8
686,6
Feijão de porco
90,2
83,8
120,2
91,0
57,2
33,6
77,0
110,2
533,0
Crot. juncea
76,8
56,6
90,8
55,2
32,4
34,8
21,6
106,4
820,4
Guandu
94,0
72,2
104,6
78,8
54,0
33,2
62,4
80,0
578,2
Teph. Candida
88,6
52,4
92,0
49,0
24,4
32,0
19,2
108,0
329,0
Soja
86,4
88,6
112,0
83,4
50,8
33,4
63,6
92,0
276,2
Crot. grantiana
81,6
52,2
84,8
61,2
30,0
33,6
21,0
81,8
354,0
Milho
82,2
83,2
113,6
91,2
46,2
42,6
63,4
90,6
807,8
533,2
663,2
474,6
579,2
465,6
610,2
446,2
613,0
4.385,2
Totais
Proceder à análise considerando um experimento em parcela subdividida no
delineamento em blocos ao acaso, em que o tempo é a subparcela.
22
Costa, S.C.
Para a comparação usando o teste de Tukey, há 4 situações a se considerar.
1o
Caso: A comparação entre médias de tratamentos A é feita utilizando-se
o desvio-padrão sa , sendo:
√
∆=q
s2a
br
em que q é o valor tabelado, correspondendo a a tratamentos e na graus
de liberdade.
2o
Caso: A comparação entre médias de tratamentos B é feita utilizando-se
o desvio-padrão sb , sendo:
√
∆=q
s2b
ar
em que q é o valor tabelado, correspondendo a b tratamentos e nb graus
de liberdade.
23
Costa, S.C.
3o
Caso: A comparação entre médias de tratamentos B num mesmo nível
de A, ainda se utiliza o desvio-padrão sb , sendo:
√
∆=q
s2b
ar
em que q é o valor tabelado, correspondendo a b tratamentos e nb graus
de liberdade.
4o
Caso: A comparação entre médias de tratamentos A num mesmo nível
de B , é um pouco mais complexa, por envolver, simultaneamente, os
desvios- padrões sa e sb . Neste caso, calcula-se s′ , da seguinte forma:
√
′
s =
(b − 1) s2b + s2a
b
sendo que os graus de liberdade de s′ é dado por Satterthwaite:
]
[ 2
2 2
sa + (b − 1)sb
′
n = ( )2
( 2 )2 .
2
2
sa
(b − 1) sb
+
na
nb
Costa, S.C.
Portanto, o teste de Tukey ca:
s′
∆ = q√
r
em que q é o valor tabelado, correspondendo a a tratamentos e n′ graus
de liberdade.
24