AJUSTE DE CURVAS
6.1 Introdução
6.2 Método dos quadrados mínimos
6.2.1 Caso discreto
6.2.2 Caso contínuo
6.3 Caso não-linear
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
 No capítulo anterior vimos uma forma de
trabalhar com uma função definida por uma
tabela. A interpolação polinomial.
 Nem sempre a interpolação é aconselhável.
1. Quando se quer aproximar um valor da função
fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação.
2. Quando os valores são medidas experimentais
com erros. Neste caso a função deve passar pela
barra de erros não pelos pontos.
AJUSTE DE CURVAS
6.1- INTRODUÇÃO
 Graficamente, a extrapolação e o ajuste por
barras de erros são vistos abaixo:
f ( x)  e x
f (x)
Curva ajustada
Barra de
erros
f x 
x
Curva extrapolada
x
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
 Temos que ajustar estas funções tabeladas por
uma função que seja uma “boa aproximação” e
que permita extrapolações com alguma margem
de segurança.
 Dado os pontos
x1 , f ( x1 ) , x 2 , f ( x 2 ) ,......, x m , f ( x m )
num intervalo [a,b], devemos escolher funções
g1 ( x) , g 2 ( x) , ....... , g n ( x) , e constantes
1 ( x) ,  2 ( x) , ....... ,  n ( x) tais que a função
( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x)   n g n ( x) se aproxime de f (x ).
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a
determinar 1 ( x) ,  2 ( x) , ....... ,  n ( x) aparecem
linearmente.
 Note que as funções g1 ( x) , g 2 ( x) , ....... , g n ( x)
podem ser funções não-lineares, por exemplo:


g1 ( x)  e x , g 2 ( x)  1  x 2 , .......
PROBLEMA 1
Como escolher as funções g1 ( x) , g 2 ( x) , ....... , g n ( x) ?
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO
Podemos escolher as funções
g1 ( x) , g 2 ( x) , ....... , g n ( x)
observando os pontos tabelados ou a
partir de conhecimentos teóricos do
experimento.
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
 Seja dada na tabela:
x
-1.0
-0.75
-0.6
-0.5
-0.3
0
0.2
0.4
0.5
0.7
1.0
f(x)
2.05
1.153
0.45
0.4
0.5
0
0.2
0.6
0.512
1.2
2.05
 Devemos construir o diagrama de dispersão
Diagrama de dispersão – caso discreto
2,5
2
f(x)
1,5
Série1
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
2
g
(
x
)

x
 Escolhemos 1
a partir da forma dos
pontos no diagrama de dispersão.
 Procuramos a função que se aproxime ao
máximo de f (x) que tenha a forma
( x)  1 g1 ( x)   x
2
(parábola passando pela origem)
 PROBLEMA 2: Qual o valor de  que gera
melhor ajuste da parábola?
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
 Dada uma função f (x) contínua em [a,b] e
escolhidas as funções g1 ( x) , g 2 ( x) , ...... , g n ( x)
todas contínuas em [a,b], devemos determinar as constantes  1 ,  2 , ..... ,  n de modo
que a função
( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x)  ....   n g n ( x)
se aproxime ao máximo de f (x) .
AJUSTE DE CURVAS
6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
 Tanto no caso discreto quanto no caso
contínuo o que significa ficar mais próxima?
 Idéia: A função x  é tal que o módulo da
área sob a curva x   f (x) seja
mínimo!!!
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Objetivo: encontrar os coeficientes j tais
que a função
( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x)     n ( x) g n ( x)
se aproxime ao máximo de f(x)
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Consiste em escolher os j’s de modo que
a soma dos quadrados dos desvios seja
mínima.
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Desvio em x k : d k  f ( xk )  ( xk )
Se a soma dos quadrados dos desvios
m

k 1
dk 
2
m

( f ( x k )  ( x k )) 2
k 1
é mínima, cada desvio d k  f ( xk )  ( xk )
será pequeno. Assim, j’s devem ser tais
que minimizem a função
F ( 1 ,  2 ,   n ) 
m

k 1
[ f ( x k )  ( x k )] 2
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Para obter um ponto mínimo devemos
encontrar os números críticos, ou seja, j’s
tais que
F
 j
 0,
j  1,2  n
( 1 , 2 , n )
onde F(1 ,  2 ,   n ) 
m

k 1
[ f ( x k )  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )] 2
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
 Calculando as derivadas, temos
F
 j

( 1 , 2 , n )
m
2
[ f (x
k
)  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )][  g j ( x k )]
k 1
 Igualando a zero,
m
[ f ( x
k 1
k
)  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )][ g j ( x k )]  0, j  1,2, , n
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Ou seja, temos um sistema linear a
resolver
m
[ f (x
k
)  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )][ g1 ( x k )]  0
k
)  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )][ g 2 ( x k )]  0
k
)  1 g1 ( x k )   2 g 2 ( x k )     n g n ( x k )][ g n ( x k )]  0
k 1
m
[ f (x
k 1

m
[ f (x
k 1
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto
Reescrevendo o sistema,
m
[
 g (x
1
k
k 1
 g (x
1
g
n ( xk
k 1
m
[
) g1 ( x k )]1    [
m
k
) g 2 ( x k )]1    [
k 1
 f (x
k
) g1 ( x k )
k 1
m
g
) g1 ( x k )] n 
m
n ( xk
) g 2 ( x k )] n 
k 1
m
 f (x
k
) g 2 ( xk )
k
) g n ( xk )
k 1

m
[
 g (x
1
k 1
k
) g n ( x k )]1    [
m
g
k 1
n ( xk
) g n ( x k )] n 
m
 f (x
k 1
Sistema linear de n equações com n incógnitas
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas
 Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que
melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3).
Calculemos para g1 ( x)  1 e g 2 ( x)  x .
4
4
4
1 .1    x .1    f ( x
k
).1k
 x .1    x .x    f ( x
).x k
k
k
1
k 1
k
2
k 1
4
k 1
4
k
k 1
k
k
1
4
k
k 1
k
2
k
k 1
(1  1  1  1)1  (2  5  7  8) 2  (1  2  3  3)
(2  5  7  8)1  (2 2  5 2  7 2  8 2 ) 2  (2.1  5.2  7.3  8.3)
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas
Logo,
 4 22   1   9 
22 142    57

 2   
1
 1   4 22   9  1  142  22  9   2 / 7 

   22 142 57   22




4  57 5 / 14
   84 
 2 
2 5
( x)   x
7 14
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Retas
3,5
3
2,5
2
Série1
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas
 Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos
quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela
x
-1.0
0.75
-0.6
-0.5
-0.3
0
0.2
0.4
0.5
0.7
1.0
f(x)
2.05
1.153
0.45
0.4
0.5
0
0.2
0.6
0.512
1.2
2.05
 Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola
pela origem seria uma boa escolha, logo seja,
g1 ( x)  x 2  ( x)  1 x 2   x 2
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas
Logo temos apenas uma equação dada por
11
[
 g (x
1
k
) g1 ( x k )]1 
k 1
 1
 f (x
k
) g1 ( x k )
k 1
11
11
 g ( x )  f ( x
2
1
k
k 1
 1
11
k
) g1 ( x k )
k 1
11
11
2




(
x
)

(
x
)
 k  k f ( xk )
4
k 1
k 1
Calculando as somas, segue que:
2.8464 1  5.8756  1  2.0642  ( x)  2.0642 x 2
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Discreto - Parábolas
Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada
com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos
fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é
dada por
( x)  2.0642 x 2
Comentário 2: Uma parábola da forma ( x)  1   2 x   3 x 2
permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a
ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos
intermediários, o que aumenta o tempo de processamento.
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Para a notação não ficar carregada, consideremos
apenas duas funções de ajuste
 Sejam f (x) contínua em [a,b] e g1 ( x) e g 2 ( x) também
contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério.
 Desejamos encontrar ( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x) mais
próxima de f (x) . Neste caso quais são 1 e  2 ?
 Do critério de mínimos quadrados:
2


f
(
x
)


(
x
)
dx
a
b
ser mínimo!!!!!!!!
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Calculando
2


f
(
x
)


(
x
)
dx 
a
b



  f ( x)
b
 2 f ( x) ( x)  ( x) 2 dx
2
 2 f ( x)  1 g 1 ( x)   2 g 2 ( x)   1 g 1 ( x)   2 g 2 ( x) dx
a
  f ( x)
b
a

b
a
f ( x) dx  2 

2
2

b
a
f ( x) g 1 ( x) dx  1  2 


b
2

  g 1 ( x) 2 dx  1  2 
a


 F ( 1 ,  2 )


2

b
a

b
a

f ( x) g 2 ( x)dx  2 

g 1 ( x) g 2 ( x) dx  1 2  



b
a
2
g 2 ( x) 2 dx  2

6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Analogamente ao caso discreto, minimizando F (1 ,  2 )

F ( 1 ,  2 )  0 para
 i
Para i  1 
 2 


b
a
 2 


b
a

F ( 1 ,  2 )  0
 1
f ( x) g 1 ( x)dx  2 


Para i  2 
i  1,2

b
a
g 1 ( x) dx  1  2 


2

g 1 ( x) g 2 ( x) dx  2  0

b
a

F ( 1 ,  2 )  0
 2
f ( x) g 2 ( x)dx  2 



b
a
g 2 ( x) dx  2  2 


2

b
a
g 1 ( x) g 2 ( x) dx  1  0

6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo
 Segue o sistema linear





b

b
a
a
g1 ( x) dx 1  


2

g 2 ( x) dx  2  


2
b
a

b
a
g1 ( x) g 2 ( x) dx  2  



g1 ( x) g 2 ( x) dx 1  


b
a

b
a
f ( x) g1 ( x)dx

f ( x) g 2 ( x)dx

 Comentário: Se g1 ( x) e g 2 ( x) forem duas funções LI,
então o sistema tem solução única para 1 e  2 .
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
 Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos
3
f
(
x
)

4
x
quadrados que melhor se ajusta a função
no
intervalo [0,1]. Seja g1 ( x)  1 e g 2 ( x)  x . , logo
( x)  1 g1 ( x)   2 g 2 ( x)  1   2 x
 Calculando os termos do sistema linear 2X2
 a11
a
 21
a12   1   b1 
  

a 22   2  b2 
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
 Calculando os termos do sistema linear
a11 
1

g 1 ( x) dx 
2
0
a 21  a12 
a 22 
a
b


b1 
b2

b
a
b
a
1

0
1

0
1 dx  1
g 1 ( x) g 2 ( x) dx 
g 2 ( x) dx 
2
1

0
f ( x) g 2

0
x dx  1 / 2
x 2 dx  1 / 3
b

( x)dx  
f ( x) g 1 ( x) dx 
1
a
b
a
4 x 3 dx  1
4 x 4 dx  4 / 5
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
 Obtemos o sistema linear
1

1


2 1
1


2

1   1   4
1
2

3
5
2
 1  
4
5
2 
18
5
 Logo, a reta que melhor ajusta f ( x)  4 x 3 no intervalo
[0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por
4 18
( x)    x
5 5
6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Caso Contínuo - Reta
> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);
f ( x)  4 x 3
(x)