ME623
Planejamento e Pesquisa
Experimentos com um Único Fator
(Completamente Aleatorizados)
2
Experimentos com um Único Fator
One-Way ANOVA

ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t
se temos apenas um fator com 2 níveis?
3
Experimentos com um Único Fator
One-Way ANOVA

ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t
se temos apenas um fator com 2 níveis?

Em ANOVA geralmente temos o fator A
com a tratamentos(níveis)
4
Experimentos com um Único Fator
One-Way ANOVA

ANOVA = Analysis of Variance
Qual a relação de uma ANOVA com o Teste t
se temos apenas um fator com 2 níveis?

Em ANOVA geralmente temos o fator A
com a tratamentos(níveis)

Qual é então a motivação para ANOVA?
5
Teste t da aula anterior
> y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35,
3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -0.59, 2.57)
> y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12,
3.98, -4.87, -2.34, 3.02, -0.08, 1.27)
> t.test(y1, y2, var.equal=TRUE)
ANOVA:
> grupo <- factor(rep(1:2, each=10),
labels=c(“Supl", “Placebo"))
 fit <- aov(c(y1,y2) ~ grupo)
6
Vamos começar com um exemplo...

Uma engenheira quer investigar a resistência
de uma nova fibra sintética usada para fazer
camisetas.

Ela sabe que a porcentagem de algodão na
composição da fibra afeta a resistência.

Será quer aumentar a porcentagem de
algodão aumentará a resistência da fibra?

A porcentagem de algodão deve ser entre
10 e 40% para que o produto final tenha
outras características de qualidade desejáveis
(como poder aplicar uma estampa)
7
Exemplo (cont.)

Testar 5 níveis do percentual de algodão: 15,
20, 25, 30, e 35%

Repetir o experimento 5 vezes para cada
percentual

Perguntas
1.
2.
3.
4.
5.
Quantos fatores?
Qual é o fator?
Quantos níveis? Quais são?
Quantas replicações?
Quantas UE são necessárias?
8
Aleatorização
%
Algodã
o
Ordem Ensaio
U
E
Orde
m
Ensaio
%
Algodã
o
1
8
20
2
18
30
3
10
20
15
1
2
3
4
5
4
23
35
20
6
7
8
9
10
5
1
15
25
11
12
13
14
15
6
5
15
30
16
17
18
19
20
7
14
25
35
21
22
23
24
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
16
30
23
25
35
24
19
30
25
3
15
Por que mesmo que a
aleatorização é importante?
9
DADOS EXPERIMENTAIS
%
Algodã
o
15
20
Observações
1
2
3
4
5
7
12
7
17
15
12
11
18
9
18
25
30
35
14
19
7
18
25
10
18
22
11
19
19
15
19
23
11
Resistência medida em lb/in2
Tota
l Média
49
9.8
77
15.4
88
17.6
108
21.6
54
10.8
376
15.04
10
Visualização dos Dados
Figura: Boxplot da resistência para
cada % de algodão
Figura: Dotplot da resistência versus
% de algodão
Existe alguma indicação de que a porcentagem de
algodão afeta a resistência da fibra sintética?
11
A Análise de Variância

Queremos testar se existe diferença entre as
resistências média para todos os a=5 níveis do
fator A

E por que não aplicar o teste t para todos os
pares de médias?
P(não rejeitar H0| H0 é verdadeira) = (1 − 0.05)10 = 0.60
P(Erro Tipo I) = 1 – 0.60 = 0.40

O procedimento apropriado para testar a
igualdade de várias médias é conhecido como
Análise de Variância
12
A Análise de Variância (ANOVA)
Representação típica dos dados em experimentos com um fator
Tratamento
ou Fator A
(nível)
1
2
.
.
.
a
y11
y21
.
.
.
ya1
Observações
y12 . . . y1n
y22 . . . y2n
.
.
.
...
.
.
.
ya2 . . . yan
Totais Médias
y1·
y2·
y1·
y2·
.
.
.
ya·
y··
ya·
y··
13
Modelo

As observações do experimento (variáveis
aleatórias) são descritas através do modelo:
14
Modelo

As observações do experimento (variáveis
aleatórias) são descritas através do modelo:

Restrição:
15
Modelo

As observações do experimento (variáveis
aleatórias) são descritas através do modelo:

Porque precisamos da Restrição?
16
Modelo

As observações do experimento (variáveis
aleatórias) são descritas através do modelo:

Porque precisamos da Restrição?
Temos k médias m + t i : média pop. do fator I
 k+1 parâmetros! Identificabilidade!

17
Efeito Fixo ou Aleatório?
Efeito Fixo: os a tratamentos foram especificamente escolhidos.
Conclusões aplicam-se APENAS aos tratamentos considerados na análise
Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma
amostra aleatória de uma população de
tratamentos.
Conclusões podem ser estendidas à população de tratamentos
18
Formulando as Hipóteses
Queremos testar a igualdade das médias dos a
tratamentos, ou seja,
Veja que
Portanto, a hipótese acima é equivalente a testar se
os efeitos dos tratamentos são nulos:
19
Notação
20
Decomposição da Soma de Quadrados

Soma de Quadrados Total (SST)

Exercício: Demonstrar!!!
21
Decomposição da Soma de Quadrados

Soma de Quadrados Total (SST)
SSA é a soma de que?
 SSE é a soma de que?

22
Decomposição da Soma de Quadrados

Soma de Quadrados Total (SST)

SSA é a soma de que? Mede dif. média dos trat
SSE é a soma de que? Sobra: devido ao erro

23
Graus de Liberdade das Soma de
Quadrados
Soma de
Graus de
Quadrados Liberdade (gl)
Explicação
a–1
a níveis do Fator A
SSA
SSE
a(n – 1) = N – a
n – 1 gl dentro de cada
nível do fator A
SST
N–1
N observações no total
24
Estimador de σ2

Soma de Quadrados dos Erros

O termo entre colchetes dividido por
éa
variância amostral para o i-ésimo tratamento:

Então um estimador de
é dado por
25
Quadrados Médios (MS)

Definição:

Quadrado Médio do Erro (MSE)

Quadrado Médio do Fator A (MSA)
26